英语口语教学效果评价

英语口语教学实验效果评价
摘要

本文主要是对英语口语教 学实验效果进行评价，我们将本题归为对大量数据
分析整理的统计问题，采用曲线拟合模型、显著性分析 、聚类、灰色关联等数学
方法进行分析得到预期结果。

问题一 本文根据题目所给出的数据首先作图观察成绩的趋势，然后采用曲线拟
合的方法来建立合适的模型： < br>Y?
36.359
1?e
(6?t)
1.3
?29.14
利用模型进行预测，根据预测图探讨需要经过未来几年英语成绩的发展趋势，通
过分析得 出结论：在未来几年内，英语口语的平均分将在70分以下，所以本组认
为如果要达到80分的目标，改 革很有必要。
问题二 本文将评价OTM的效果显著性问题转换为实验前后的成绩对教学实验
有无显著性差异的问题，若影响不显著则说明OTM的效果不显著，据此建立方
差检验模型，构造一个Z 检验统计量，通过假设检验来确定实验前与实验后的成
绩存在显著性差异。然后统计出成绩提高的人数并 通过它们所占总人数的百分比
得出结论：OTM成效显著。
问题三 首先根据11个院系实验 前后四项成绩差值的平均值的偏差程度说明各
系学习英语的氛围是否存在差异。然后根据氛围的相对优劣 程度分成两类，利用
K均值聚类分析的方法得到处在同一水平下的院系的分类结果：
英语学习氛围相对高
英语学习氛围相对低
国贸、动科、机制、动医、水产、GIS
计算机、植科、水族、林学、营销
问题四 我们将本题转换为分析不同班级、院系对OTM效 果是否有影响。本文
采用有相互作用的双因素方差分析，将引起效果总的变异分解为两种因素引起的差异作出数量统计。通过方差分析了解班级、院系及交互作用对测定结果的影响
及影响的相对大小。 最后本文认为是否是实验班、不同的系别以及交互作用对成
绩的影响都是不显著的，所以不论班级与院系 的影响，OTM的效果还是显著的。
问题五 本题要求阐述成绩与口语介绍、口语描述、口语讨论的水 平关系。我们
采用灰色关联分析，求出参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ。然后计算出
介绍 、描述、讨论与成绩之间的贴近程度的关联度,通过比较各关联度的大小来
判断其三者对英语成绩的影响 程度，即认为是水平关系。最后得到口语讨论、口
语描述、口语介绍对口语总分成绩的水平关系的顺序如 下：口语描述>口语讨论>
口语介绍

关键词：
曲线拟合 显著性分析 K均值聚类 双因素方差分析 灰色关联分析

一、问题重述
英语，一直是当代大学生学习生活的主题。英语好，一切好！似 乎已成定律。
我校是农业院校，英语基础不是很好，但是通过全体英语教师的共同努力，我校
学 生的英语水平取得较大进步，英语四级通过率不断攀升。但是真正英语水平的
提高，并不完全是英语四级 通过率的提高，而是英语交流水平的提高，即口语的
提高。为此，我校外语教学研究者进行了近两年的口 语教学实验，摸索出了一套
完整的口语培训方法，简称OTM。一天，就这种培训方法的效果，诸多英语 老
师和管理工作者召开了一场教学研讨会。
第一问：会上，就寻找适合我校学生口语教学方法 必要性的论述中，主要研
究者拿出了我校近十年来我校进行口语教学以来我校学生口语平均成绩，见数据
包中的数据3。她得出了一个数学模型，阐述了我校要达到口语平均成绩接近80
分的长远规划 就必须进行口语教学改革。请你帮她完整地叙述这个模型以及她得
出的结论。
第二问：会上， 由管理者就OTM教学效果向研究者提出疑问。研究者于是
拿出文件夹数据1中的数据来进行论述。请你 帮她就口语介绍、口语描述、口语
讨论、口语总分对OTM的效果进行论证。
第三问：会上有 人认为各个院系学习英语口的氛围存在差异，你是如何看待
的？如果各院系学习口语氛围存在差异，那哪 些院系口语氛围处在同一水平？
第四问：有专家提出，阐述OTM是否存在效果，不能简单地依靠数据 1来
说明。为此，研究者又拿出文件夹数据2的数据，用实验班与对照班的平均成绩
进行对比。 但由于院系、班级不一样，简单的平均对比引起众多人的质疑。请你
帮她解决这一问题。
第五 问：口语总分是单独测试的，其成绩应该与口语介绍、口语描述、口语
讨论的水平有关系，请你详细阐述 这种关系。

二、问题分析
2.1问题一
在问题一中，根据数据3中给 出的近十年来的英语口语教学的学生平均成
绩。本组考虑首先作图观察成绩的趋势，然后利用曲线拟合的 方法来建立合适的
模型，利用模型进行预测，根据预测图探讨需要经过未来几年英语成绩的发展趋
势，如果达到80分的年数较长就说明改革很必要。
2.2问题二
在问题二中，需要通过 数据1中口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总分
的数据对OTM的效果进行论证。首先不考虑院系和 班级的影响，仅将每位学生
的四项成绩整理为实验前与试验后。本题考虑根据Z检验判定实验前与实验后 的
两组数据的差异是否显著。然后统计出口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总
分这四项中实 验后成绩提高的人数，求出它们所占总人数的百分比，并且对结果
作图，最后根据结果说明OTM的效果 。
2.3问题三
在问题三中，要求分析各院系学习口语氛围是否存在差异，并且探讨哪些院
系口语氛围处在同一水平。由于学习英语口语的氛围与口语介绍、口语描述、口
语讨论、口语总 分有关。首先对11个院系的数据进行处理，求出这11个院系实验

前和实验后四项成绩 差值的平均值，并且根据差值的偏差程度说明各系学习英语
的氛围是否存在差异。然后根据氛围的相对优 劣程度分成两类，利用聚类分析来
分析哪些院系处在同一水平。
2.4问题四
本题要求分析不同班级、院系对OTM效果是否有影响，分析效果之间是否
存在差异。首先我们对实验班 和对照班的每个班级的成绩进行统计，并得出实验
班和对照班的成绩差值。考虑到不同院系以及班级之间 也会有相互影响的可能，
所以我们采用有相互作用的双因素方差分析，将引起试验总的变异分解为两种因
素引起的差异作出数量统计。通过方差分析可以了解两种因素及交互作用对测定
结果的影响及影 响的相对大小。即可分析不同班级、院系对OTM效果是否有影
响。

2.5问题五
本题要求阐述成绩与口语介绍、口语描述、口语讨论的水平关系。我们运用
灰色关联分析，首先 确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数
列，求出参考数列与比较数列的灰色关联系数 ξ。然后计算出介绍、描述、讨
论与成绩之间的贴近程度的关联度,通过比较各关联度的大小来判断其三 者对英
语成绩的影响程度，即认为是水平关系。

三、问题假设
1、假设英语口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总分这四项成绩的满分都是
100分；
2、假设题目所给的数据真实可靠；
3、假设在问题二中院系和班级不影响结果；
4、假设只有口语介绍、口语描述、口语讨论、口语总分的成绩影响学习氛围。
5、假定问题四中，不同院系以及班级的成绩是独立的并且服从等方差的正态分
布。

四、符号说明
Y

英语口语平均分
年份
实验前学生英语成绩的平均值
实验后学生英语成绩的平均值
实验前学生英语成绩的标准差
实验后学生英语成绩的标准差
实验前学生样本容量
t

X
1

X
2

S
1

S
2

n
1

n
2

?

实验后学生样本容量
平均效应
因素A的第i个水平水平的附加效应
因素B的第j个水平的附加效应
因素A的第i个水平和因素B的第j个
水平相互作用的附加效应
随机误差项
分辨系数
关联系数
关联序
权重
?
i

?
j

(
??
ij
)

?
ijk

?

?
i
(k)

r
i

?


五、模型建立与求解
5.1问题一
5.1.1模型建立
本组将数据一的数据做一个散点图，然后确定模型的拟合函数。散点图如下：

图5-1-1
分析上图，我组认为此样本应该用逻辑斯蒂增长函数，我们将逻辑斯蒂增长

函数函数初步看作：
Y?K?
1
?c

?
?
(t)
1?e

5.1.2模型求解
通过对数据以及散点图的观察，得出当t=6时，平均增长速率最大。所以我
们初步对以上的数据进行拟 合，得到结果如下：
Y?
33.88
?30.542

(6?t)
1?e
回归的结果决定系数R方为0.993，DW值为1.33 8，将上模型求出的结果和原
数据进行对比，如下图：

图5-1-2

从上图看来，初步建立的模型是非常合理的，决定系数已经到了0.99。但是
我组秉 承着精益求精的精神，我们将进一步优化拟合，使模型达到更好的结果，
进行多次试验后，得到最后模型 如下：
Y?
36.359
1?e
(6?t)
1.3
?29 .14

上述模型回归结果的决定系数R方为0.996，DW值为2.170，此时 我们认为拟
合结果最佳，并且预测图如下：

图5-1-3
从预测图上可以看到，在未来几年内，英语口语的平均分将在70分以下，距
离80分 的目标不可预估，所以本组认为如果要达到80分的目标，改革很有必要。


5.2问题二
5.2.1模型建立
统计检验是先对总体的分布规律作出某 种假说，然后根据样本提供的数据，
通过统计运算，根据运算结果，对假说作出肯定或否定的决策。Z检 验法适用于
大样本的两平均数之间差异显著性检验的方法。它是通过计算两个平均数之间差
的Z 分数来与规定的理论Z值相比较，看是否大于规定的理论Z值，从而判定两
平均数的差异是否显著的一种 差异显著性检验方法。
由于问题二中样本数据大于30，所以对问题（2）用Z检验来判定实验前与< br>实验后每个学生的成绩差异是否显著。总体标准差σ未知的正态分布资料，是
用于两个平均值差异 程度的检验方法。它是用Z分布理论来推断差异发生的概
率，从而判定实验前与实验后的两组数据的差异 是否显著。其一般步骤：
（1）建立假设：

H
0
:两组数据差异

不

H
1
:两组数据差异显著

（2）检验来自两个的两组样本平均数的 差异性，从而判断它们各自代表的总体
的差异是否显著。其Z值计算公式为：
Z?
X
1
?X
2

S
1
S
2
?
n
1
n
2
其中，
X
1
,< br>X
2
是样本1、样本2的平均数；

S
1
，
S
2
是样本1、样本2的标准差；

n
1
，
n
2
是样本1、样本2的容量。
（3）比 较计算所得Z值与理论Z值，推断发生的概率，依据Z值与差异显著性
关系表作出判断。如下表示：
表5-2-1
Z

P值 差异显著程度
差异非常显著
差异显著
差异不显著
Z?2.58

Z?1.96

Z?1.96

P?0.01

P?0.05

P?0.05

（4）第四步，根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。

5.2.2模型求解
运用SPSS软件进行求解，得到结果如下表所示：
表5-2-2
双侧检验水准
方差方程的levene检验
均值方程的t检验
是否具有显著性差异
口语介绍
0.028
0
0
是
口语描述
0.889
0
0
是
口语讨论
0
0
0
是
口语总分
0.588
0
0
是
由上表分析可得，因为口语介绍、口语描 述、口语讨论、口语总分的P值均
小于0.05，所以可以说明实验前与实验后的成绩存在显著差异。
将上面差异性数据进行进一步的分析，我们将实验前成绩减去实验后的成
绩，根据增长值的正负 来判断成绩的增加与减少。最后求出成绩增加占总人数的
百分率，来说明OTM的效果，结果如下表所示 ：
表5-2-3

口语介绍
口语描述
口语讨论
口语总分
提高的人数
603
621
639
633
总人数
721
725
720
715
百分率

84%
86%
89%
89%
通过 对上表数据的分析，本校采用了OTM后，四项成绩均提高了百分八十
以上，说明OTM是有一定的效果 的。我们用四项成绩均值的雷达图来更直观地
展现OTM的显著成效。

图5-2-1


图5-2-2

图5-2-3

图5-2-4

5.3问题三
5.3.1模型建立
学习英语口语的氛围与口语介绍、口语描述、口 语讨论、口语总分有关。为
了研究各院系学习英语口语的氛围，我们需要对11个院系的数据进行处理， 求
出这11个院系实验前和实验后四项成绩差值的平均值，得到各个院系的四项成
绩的差值结果 如下表：
表5-3-1
分院
植科
口语介绍
9.06
口语描述
5.72
口语讨论
6.22
口语总分
7.07

林学
机制
动医
动科
水产
GIS
机制
国贸
营销
计算机
水族
2.29
3.15
5.83
5.40
6.98
9.19
8.42
6.77
1.93
4.23
3.64
3.98
3.51
9.46
10.84
7.07
10.05
14.27
12.55
3.37
4.82
4.04
4.98
4.88
9.87
11.83
14.14
15.03
14.61
21.39
5.05
4.88
6.32
1.89
4.64
7.96
9.42
9.04
10.52
10.41
11.99
3.79
19.52
3.87
根据上表的结果可以看出；实验前和实验后的差 值偏差比较大，说明各系学
习英语的氛围存在差异，本文利用聚类分析来求解哪些院系处在同一水平。
快速聚类法又称K均值法，其基本思想是：先给出一个粗略的分类，然后根
据某种原则判断分类 是否合理，如果不合理就用某种原则进行修改，知道分类结
果比较合理为止。
根据问题分析， 本文将所有的样本分成两类，即学习氛围的相对优与劣，在
每类选择一个有代表性的样品作为凝聚点。选 出凝聚点之后对数据进行聚类，聚
类步骤如下：
（1）定义样品间距离，假设2个凝聚点的集合是
L
(0)
?{x
1
,x
2
}

用每个样品以最靠近的凝聚点归类的原则实现初始分类，即
(0)(0)
G
i
(0)
?{x|d(x,x
i
)?d(x,x
j
),j? 1,2,j?i},i?1,2

(0)
(0)(0)
这样将样品分为k个不 相交的类
G
i
,i?1,2
，得到初始分类，记为
(0)(0)< br>G
(0)
?{G
1
,G
2
}

（2）从
G
(0)
出发，计算新的类重心集合
L
(1)
?{x
1
,x
2
}

其 中，
x
i
(1)
(1)(1)
是类
G
i
( 0)
的重心
x
i
其中
n
i
是类
G
i
(0)
(1)
1
?
n
i
x
i
?G
i
(1)
?
x,i?1,2

i
(0)
中的样品数，从
L
出发将样品作为新的分类，记
(1)(1)
G
i
得到分类
(1)
?{x|d(x,x< br>i
)?d(x,x
j
),j?1,2,j?i},i?1,2

G
(1)
?{G
1
,G
2
}

（3）设第m步得到分类
(1)(1)
G
(m)
?{G
1
,G
2
}

x
i
(m)
(m)(m)是类
G
i
(m?1)
的重心，
x
i
(m)不一定是样品，也不一定是
G
i
(m)
(m)
的重心。但当m逐渐增大时，分类趋于稳定。此时，
x
i
就会近似为
G
i(m)
的重心。从而有
x
i
(m?1)
?x
i
(m)
，
G
i
(m?1)
?G
i
(m)
算 法即可结束。
5.3.2模型求解
利用R软件进行聚类，结果如下：
聚 类结果
高
度
0
植
科
5
1
0
15
2
0
水
族
林
学
营
销
国贸
动
科
机
制
动
医
计
算
机水
产
系别
hclust (*,
G
I
S

图5-3-1
通过上图可以很直观地看出这11个院系学习英语氛围的聚类情况。可以分为< br>两大类：国贸、动科、机制、动医、水产、GIS，即这6个院系的英语学习氛围
相当；计算机、 植科、水族、林学、营销这5个院系的英语学习氛围相当。并且
从数据上分析，认为国贸、动科、机制、 动医、水产、GIS这6个院系的英语学
习氛围比计算机、植科、水族、林学、营销这5个院系的英语学 习氛围要好。

5.4问题四
5.4.1模型建立
双因素方差分析基本 原理：一般试验得到的数据，由于受到各种因素的影响，

它们之间存在差异，这种差异既 可能是由于随机因素引起的，也可能是试验条件
的改变引起的。方差分析是将引起试验总的变异分解为各 种因素引起的差异作出
数量统计。因此，通过方差分析可以了解每个因素对测定结果的影响及各因素影< br>响相对大小，从而为优选提供科学依据。
考虑到不同院系以及班级之间也会有相互影响的可能， 所以我们采用有相互
作用的双因素方差分析，因此建立数学模型：
X
ijk
?
?
?
?
i
?
?
j
?(
??ij
)?
?
ijk

?
ijk
~N(0,?
2
)
，且相互独立；
1?i?l,1?j?m,1?k?n.

其中
?
表示平均的效应，
?
i
,
?
j分别表示因素A的第i个水平和因素B的第j
个水平的附加效应，
(
??
ij
)
表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平相互
作用的附加效应，
?
ijk
为随机误差项，这里也假定它们是独立的并且服从等方差
的正态分布。并且引 进以下统计量：
总平均值
1
lmn
X?X
ijk

???
lmn
i?1j?1k?1
SSM
A
?mn
?
(X
i
?X)
2

i?1
l
因素A平方和
因素B平方和
SSM
B
?nl
?
(X
j
?X)
2

j?1
m
交互作用平方和
SSM
A*B
?lm
??
(X
ij
?X
i
?X
j
?X)
2
i?1j?1
lm
误差平方和
SSE?
???
(X
ijk
?X
ij
)
2

i?1j?1k?1
lmn
lmn
总离差和
SST?
???
(X
ijk
?X)
2

i ?1j?1k?1
可以证明
SST?SSM
A
?SSM
B
? SSM
A*B
?SSE

构造检验统计量：
SSM
A(l?1)
F
A
?
SSE(lmn?l?m?1)
在
H
0A
成立时，检验统计量：
SSM
B
(m?1)
F
B
?
SSE(lmn?l?m?1)

H
0A为真
SSM
A
(l?1)
F
A
?F（l?1,(lmn ?l?m?1)

~
SSE(lmn?l?m?1)

在
H
0B
成立时，检验统计量：
H
0B
为真SSM
B
(m?1)
F
B
?F（m?1,(lmn?l?m?1 )

~
SSE(lmn?l?m?1)
对于给定的显著性水平
?，
H
0A
的拒绝域为：
??
SSM
A
(l? 1)
?F（
?
F
A
?
?
l?1,(lmn?l?m ?1))
?

SSE(lmn?l?m?1)
??

H
0B
的拒绝域为：
??
SSM
B
(m?1)< br>F??F（m?1,(lmn?l?m?1))
?
B
?

?
SSE(lmn?l?m?1)
??

因此构造方差分析表如下：
表5-4-1
来源
因素A
因素B
自由度 平方和 平均平方和 F统计量 P值
l?1

SSM
A

SSM
B

SSM
A
(l?1)

SSM
B
(m?1)

MS
A
MSE

P
A

P
B

m?1

MS
B
MSE

A*B
(l?1)(m?1)

SSM
(A*B)

SSM
(A*B)

(l?1)(m?1)

MS
(A*B)
MSE

P
(A*B)

随机误差
lm(n?1)

SSE

SSElm(n?1)

根据上表的信息，就可以对各个因素间交互作用是否显著和每个因素各水平
间的差异是否显著做出判断。
根据题意，提出假设：

H
0A
:不同院系对成绩无影响；
H
1A
:不同院系对成绩有显著影响；


H
0B
:是否为实验班对成绩无影响；
H
1B
:是否为实验班对成绩有显著影响；

H
0(A*B)
:因素A和因素B无交互作用；

H
1(A*B)
:因素A和因素B有交互作用；
通过R软件计算得出下表：
表5-4-2

实验班与否
系别
交互作用
求和Sq
370
2069
3105
均值Sq
370.3
1034.6
1552.7
F值
0.356
0.995
1.493
p值
0.551
0.371
0.226
根据上表，可以看出，P值均大于0.05，因此认为是否是实验班、不同的系
别以及交互作用对成绩 的影响都是不显著的，所以不论班级与院系OTM的效果
还是显著的。

5.5问题五
5.5.1模型建立：
利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是:
（1）根据评价目的确定评价指标体系, 收集评价数据。
设数据序列形成如下矩阵:
?
x
1
(1)x
2< br>(1)
?
x
m
(1)
?
??
x(2)x(2 )
?
x(2)
??
2m
(X
1
,X
2?
,X
m
)?
?
1
????
?
??< br>?
x(n)x(n)
?
x(n)
?
2m
?
1
?

其中n为指标总数,m为样本区间,其中
X
i
?(
x
i
(1),
x
i
(2),?
x
i
(
n
))
T
,
i
?1,2?
m

（2）确定参考数据列
参考数据列应该是一个理想的比较标准, 可以以各指标的最优值(或最劣值)
构成参考数据列,也可根据评价目的选择其它参照值，记作

（3）逐个计算每个被评价对象指标序列(比较序列)与参考序列对应元素的绝对
差值,即 < br>x
0
?(x
0
(1),x
0
(2),?x
0
(m))
x
0
(k)
?
x
i
(k),k< br>?
1,2,
?
,m,i
?
1,2,
?
,n< br>（4）确定并计算其值
mn

minminx
0
(k)?x
i
(k)
k?1i?1
，
maxmaxx
0
(k) ?x
i
(k)
k?1i?1
mn

（5）计算关联系数
由下式, 分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数。

?
i
(k)?
minminx
0
(k)?x
i
( k)?
?
?maxmaxx
0
(k)?x
i
(k)
ki
ki
x
0
(k)?x
i
(k)?
?
? maxmaxx
0
(k)?x
i
(k)
ki
,k
?
1,
?
,m

式中
?
为分辨系数，在(0 ,1)内取值，若
?
越小，关联系数间差异越大，区
分能力越强，通常
?取0.5。如果
?
x
0
?
k
??
为最优值数据 列,
?
i
(k)
越大，越好，若
?
x
0
?
k
??
为最劣值数据列，
?
i
(k)
越大，越不好 。
（6）计算关联序
对各评价对象分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值,
以反映各评价对象与参考序列的关联关系, 并称其为关联序, 记为:
1
m
r
i
?
?
?
i
(k)
n
k?1


5.5.2模型求解
对数据进行初步整理后，将没有成绩和缺失成绩的学生剔除，构成应该成绩
矩阵，如下：
?< br>a
11
a
12
a
13
a
14
??< br>b
11
b
12
???
a
22
a
23
a
24
??
a
?
b
21
b
22< br>实验前?
?
21
,实验后?
?
?????
?
?
???
?
a
??
b
?
n1
a
n 2
a
n3
a
n4
??
n1
b
n2
将上两个数据矩阵串联在一起，合成最终矩阵X，如下：
?
a
11
a
12
?
a
14
?
??
????
??
?< br>实验前
?
??
X?
?
?
实验后
?
?
?
?
b
n1
b
n2
?
b
n4?

??
???
??
?
?
b
?
?
2n1
b
2n2
?
b
2n4
?
b13
b
23
?
b
n3
b
14
?
?
b
24
?

?
?
?
b
n4< br>?
?
利用matlab编程计算，得到相应的关联度，并通过关联度换算成权重
?
?
最后得到结果如下表所示：
?
i
?
?
i
n

i
表5-5-1

关联度

权重
口语讨论

0.9125
0.333
口语描述

0.9157
0.335
口语介绍

0.9052
0.332

由以上结果可知口语讨论、口语描述、口语介绍对口语总分成绩的水平关系
的顺序如下：
口语描述>口语讨论>口语介绍

六、模型评价和推广
本题中我们采用了较多的模 型来求解各个问题，其中包含了逻辑增长曲线模
型、也包含了灰度关联分析法，以及方差分析、聚类的数 学分析方法，其中在第
二问中，把实验前后的成绩差异显著性分析转化为组别这一因素对OTM成效影< br>响的显著性过程中，对显著性分析的巧妙转化应用是处理问题的关键。灰度关联
法这一方法也可以 广泛应用到多个变量对某一因变量有影响的数学问题中。只要
给出了一段有相关性的序列数据就可以通过 这一方法求出各变量与因变量的相
关系数，并能通过优势因素分析找到影响因变量的关键变量，并确定变 量对因变
量影响的重要程度排名。问题五中，我们将研究成绩与口语介绍、口语描述、口
语讨论 的水平关系这一问题，抛开方程模型的常规思想，大胆尝试通过灰色关联
分析来确定各个指标的关联系数 ，来确定水平关系，可以将此评分方法应用到诸
多含多个指标的数学问题评分当中去。同时在模型的求解 中，我们采用多种软件
进行编程求解，一定程度上巩固了结果的正确性。
当然在诸多模型中难 免出现一些不足之处，如在问题一的回归模型中，模型
缺少理论的支撑，这在一定程度上影响了模型的推 广，或则说在某一些数学问题
的研究中由于这一限制条件的纯在必然导致结果纯在一定的偏差，此时如何 最大
程度减少误差应是问题处理的关键，而本题中我们过度地关注了指标的联系，而
缺少了误差 的分析，可能会对题目的求解结果有一定的影响。

七、参考文献
【1】陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007.
【2】林君，陈翰林，数学建模教程，北京：科学出版社，2011.

附录