有放回必有序,无放回可无序

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有放回必有序，无放回可无序

作者：邱东华

来源：《福建中学数学》2016年第03期

计算事件A的概率就是要算清楚基本事件的总数和事件A包含的基本事件数，在人教A
版必修3《古典概 型》一节的教学中，由于排列组合的内容是放在《选修2-3》才学，所以基
本事件数的计算只能用列举 法，教材对于这部分的要求是：仅限于能用列举法列出全部基本事
件的问题，那么怎样合理准确快捷地列 举出所有的基本事件呢？特别是在列举时，事件中的元
素是要按不同的顺序（就是排列，有顺序）来列举 呢，还是不必考虑元素顺序（就是组合，无
顺序）列举呢？什么条件下必须按不同的顺序列举，什么条件 下可以不按顺序列举？这个问题
是概率初学者容易混淆却又必须弄清楚的问题，因为有没有按顺序来列举 ，不仅决定着基本事
件的总数和解答计算的繁简，甚至会导致解答的错误！
本例题中的“同时掷两个骰子”，也可以理解为“一个骰子掷两次”，或相当于“从分别标有
1，2，3 ，4，5，6的六张卡片中，有放回地随机取出两张卡片”，因为是“有放回”地取，所以
才有可能出现 “11，22，33，44，55，66”，这样前后两次取到一样的情况，也正是因为有
“11，22 ，33，44，55，66”，这条对角线的存在，如前所述，“有顺序”列举的解法正确，“无
顺序” 列举的解法错误，因此，我们可以得出结论：如果是有放回抽取，那么就一定要有顺序
的列举，即“有放 回，必有序”，
2.无放回，可无序
如果把上述中的“ 有放回”改为“无放回”，即“从分别标有1，2，3，4，5，6的六张卡片
中，无放回地随机取出两 张卡片，求两张卡片上数字之和5的概率”，又该如何解答呢？请看
解法一：将取出的两张卡片“有顺序 ”排列，因为卡片无放回，抽出的两张卡片号码不会重复，
不存在上面一题中的对角线，总共只有30种 等可能的结果，如图3，其中和为5的基本事件
有4种，所求概率为430=215；解法二：不区别1 +4=5与4+1=5这类事件，也就是不区分卡
片的先后顺序，“无顺序”地列举，基本事件就是15 种，如图4，不存在之前对角线的情况，15
种基本事件的可能性都相等，其中和为5的基本事件有2种 ，所求概率为
215我们发现，本题是“无放回”抽取，解法一是“有顺序”列举， 解法二是“无顺序”列举，
两种解法答案一致，都是正确的！这说明在“无放回”抽取中，既可按“有顺 序”列举来解答，也
可按“无顺序”列举来解答，但是“无顺序”列举时基本事件数更少，更容易列举和 计算，因此，
我们有：“无放回，可无序”，
至此，我们总结出：“有放回必有序，无放回可无序”，我们用这一规则来解答一些问题，
先看教科书中的另一个例题，例题5：“某种饮料每箱6听，如果其中有2听不合格，间质
检人员从