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线性代数第四章练习题集答案解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-22 23:51
tags:4816

pbx是什么-西安英语培训班

2020年10月22日发(作者:荆杰)



第四章
二 次 型
练习4、1
1、写出下列二次型的矩阵
22
(1)
f(x
1< br>,x
2
,x
3
)
=
2x
1
?x2
?4x
1
x
3
?2x
2
x
3

(2)
f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
=
2x
1
x
2
?2x
1x
3
?2x
1
x
4
?2x
3
x
4


解:(1)因为
2
?
?
x
1
?
?
20
??
??

f( x
1
,x
2
,x
3
)
=
(x
1< br>,x
2
,x
3
)
?
0?1?1
?
?
x
2
?
,
?
2?10
?
?
x< br>?
??
?
3
?
2
??
20
??所以二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)
的矩阵为:
?
0?1?1
?

?
2?10
?
??
(2)因为
?
0
?< br>?
1
f(x,x,x,x)(x,x,x,x)

1 234
=
1234
?
1
?
?
1
?
?
0
?
?
1
所以二次型
f(x
1
,x2
,x
3
,x
4
)
的矩阵为:
?
1< br>?
?
1
?

2、写出下列对称矩阵所对应的二次型:
111
?
?
000
?
001
?
?
010
?
?
?
x
1
?
??
?
x
2
?
?
x
?

?
3
?
?
x
?
?
4
?
111
?
?
000
?

001
?
?
010
?
?

?
?
1
?
1
(1)
?
?
?
2
?
1
?
?
2

?
1
2
0
?2
1
?
0?1
?
1
?
2
??
2
?
?
1
?1
1
22
?2
?
; (2)
?
?
1
?
?10< br>?
?
2
2
?
?
11
?
?
0
?
22
?
?
0
?
?
1
?
2
?

1
?
?
2
?
1
?
?
?
T
解:(1)设
X?(x
1
,x
2
,x
3
)
,则
?
?
1
?
1
T

f (x
1
,x
2
,x
3
)
=
XAX
=
(x
1
,x
2
,x
3
)
?
?< br>?
2
?
1
?
?
2
?
1
2< br>0
?2
1
?
?
2
?
?
x
1
?
??
?2
?
?
x
2
?

?
??
?
?
x
3
?
2
?
?22
=
x
1
?2x3
?x
1
x
2
?x
1
x
3
? 4x
2
x
3

T
(2)设
X?(x
1< br>,x
2
,x
3
,x
4
)
,则
1< br>?
0?1
?
2
?
?
1
?1
1
?
T
2

f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
=
XAX
=
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
2
?< br>1
?10
?
2
?
11
?
?
0
22
?

?
0
?
?
x
1
?< br>1
?
?
??
2
?
?
x
2
?

1
?
?
x
3
?
?
??
2
?
?
x
?
?
4
?
1
?
?
?
22
=
?x
2?x
4
?x
1
x
2
?2x
1
x
3
?x
2
x
3
?x
2
x
4
?x
3
x
4

练习4、2
1、用正交替换法将下列二次型化为标准形,并写出所作的线性替换。
22
(1)< br>f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
2x< br>1
?x
2
?4x
1
x
2
?4x
2< br>x
3

(2)
f(x
1
,x
2
, x
3
)
=
2x
1
x
2
?2x
2< br>x
3

222
(3)
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
x
1
?2x
2
? 3x
3
?4x
1
x
2
?4x
2
x
3


解:(1)二次型
f(x
1
,x
2< br>,x
3
)
的矩阵
?
2?20
?
??
?2
?

A
=
?
?21
?
0?20
?
??
A
的特征方程为
?
?2

det (
?
E?A)
=
20
2
0
?
?12
=
(
?
?2)(
?
2
?5
?
?4)=0,
2
?
由此得到
A
的特征值
?
1
??2

?
2
?1

?
3
?4

对于
?
1
??2
,求其线性方程组
(?2E?A)X? 0
,可解得基础解系为

?
1
?(1,2,2)
对于
?
2
?1
,求其线性方程组
(E?A)X?0
,可 解得基础解系为:

?
2
?(2,1,?2)

对于
?
3
?4
,求其线性方程组
(4E?A)X?0
,可解得基础解系为:
T

?
3
?(2,?2,1)

T
T

?< br>1
,
?
2
,
?
3
单位化,得

?
1
?
1
?
1
1
?
1
? (,,)
T

122
333
21
33

?
2
?
?
2
1
?
2
?(,,?)
T

?
3
?(,?,)
T

2
3
21
33
2
3

?
3
?

?
3
?
1
?
?
3
2

P
=
(
?
1
,
?
2
,
?
3
)
=
?
?
3
?
2
?
?
3
2
3
1
3
2
?
3
2
?
?
3
?
2
?
?

3
?
1
?
?
3
?


?
?200
?
??
T

PAP
=diag(-2,1,4)=
?
010
?

?
004
?
??
作正交替换
X=PY
,即
122
?
x?y?y?
?
1
3
1
3
2< br>3
y
3
?
212
?

?
x
2
?y
1
?y
2
?y
3
333
?
?
x?
2
y?
2
y?< br>1
y
3123
?
333
?
二次型
f(x1
,x
2
,x
3
)
可化为标准形:
222

?2y
1
?y
2
?4y
3


(2)类似题(1)方法可得:
?
?
?
?

P
=
?
?
?
?
?
1
2
0
1
2
?
?
1
2
1
2
1
2
1
?
?
?
2
?
?
0
1
?
T
?
?

PAP
=
?
0
2
?< br>?
0
?
1
?
2
?
?
0
2< br>0
0
?
?
0
?

?2
?
?
22
即得标准形:
2y
2

?2y
3
(3)类似题(1)的方法可得:
?
2
?
?
3
1

P
=
?
?
?
3
?
2
?
?
?
3
1
3
2
?
3
2
3
2
?
?
3
?
?
200
?
??
2
?T

PAP
=
?
050
?

3< br>?
?
00?1
?
1
?
??
?
3?
222
即得标准形:
2y
1
?5y
2
?y< br>3

2、用配方法将下列二次型化为标准形:
222
(1)
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
x
1
?2x
2
?5x
3
?2x
1
x
2
?2x
1
x
3
?6x
2
x
3

(2)
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=2x
1
x
2
?4x
1
x
3


(3)
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
?4x
1
x
2
?2x
1
x
3< br>?2x
2
x
3

解:(1)先将含有
x
1
的项配方。
2
2
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
x
1
2
+
2x
1
(x
2
?x
3
)
+
(x
2
?x
3
)
2

(x
2?x
3
)
2
+
2x
2
+
6x
2
x
3
+
5x
3

22
2
=
(x
1
?x
2
?x
3
)
+
x< br>2
+
4x
2
x
3
+
4x
3

再对后三项中含有
x
2
的项配方,则有
2222
2

f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
(x
1
?x
2
?x
3
)
+
x
2
+
4x
2
x
3
+
4x
3
=
(x
1
?x
2
?x
3
)
+
(x
2
?2x
3
)

?< br>111
?
??
TT
(y,y,y)(x,x,x)
012
Y
=
123

X
=
123

B
=
??

?
000
?
??

Y=BX
,则可将原二次型化为标准形
y
1
?y
2
。 < br>(2)此二次型没有平方项,只有混合项。因此先作变换,使其有平方项,然后按题(1)
的方法 进行配方。

22
?
x
1
?
?
110
?
?
y
1
?
?
x
1
?y
1
?y
2
??
??
??
?
< br>?
x
2
?y
1
?y
2
,即
?
x
2
?
=
?
1?10
?
?
y
2
?

?
x
?
?
001
?
?y
?
?
x?y
3
?
3
?
??
3
?
?
3
?
则原二次型化为
f(x
1
, x
2
,x
3
)
=
2(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)
+
4(y
1
? y
2
)y
3

=
2y
1< br>-
2y
2
+
4y
1
y
3
+
4y
2
y
3

22
=
2( y
1
?y
3
)

2(y
2
?y
3
)

22
?
101
?
??
TT

Y
=
(y
1
,y
2
,y
3
)< br>,
Z
=
(z
1
,z
2
,z
3
)

B
=
?
01?1
?

?
000
?
??

Z=BY
,则可将原二次型化为标准形
2z
1
?2z
2

(3)类似题(2)的方法,可将原二次型化为标准形:
22
?4z
12
?4z
2
?z
3

22


3、用初等变换法将下列二次型化为标准形:
222
( 1)
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
x
1
?2x
2
?4x
3
?2x
1
x
2
?4x
2
x
3

222
(2)
f( x
1
,x
2
,x
3
)
=
x
1?3x
2
?x
3
?2x
1
x
2
?2x
1
x
3
?6x
2
x
3

(3)
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
4x
1
x
2
?2x
1
x
3
?6x
2< br>x
3
。(此题与课本貌似而已,注意哈)
解:(1)二次型
f(x< br>1
,x
2
,x
3
)
的矩阵为
?
110
?

A
=
?
?
122
?
?

?
?
024
?
?
于是
?
?
11 0
??
110
?
?
100
??
?
122< br>?
?
?
?
012
?
?
?
?
012
?
?
?
1
?
0
?
?
A24
?
24
??
4
?
?
?
?
?
0
00
?
?
?
E
?
?
=
?
??
???
?
0
?
1
?
00
?
02
?
???
?
?
0
?
?
0< br>?
???
?
?
?
010
??
1
01 0
?
0
?
?
?
001
?
?
??
?
?
001
?
?
1?1
01
??
1
?
?
1
0
?
?
?
00< br>?
?
?
?
?
0

?
1?1

C
=
?
2
?
?
01?2
?
?

?
?
001
?
?
作可逆线性变换
X=CY
,原二次型可化为标准形:

f(xx
22
1
,
2
,x
3
)
=
y
1?y
2

(2)类似题(1)的方法,原二次型可化为标准形:

f(x
222
1
,x
2
,x
3
)
=
y
1
?4y
2
?y
3

(3)类似题(1)的方法,原二次型可化为标准形:

f(x
=
2y
2
1
,x
2
,x
3
)
1
?
1
2
y
2
y
2
2
?6
3

4、已知二次型

f (x
222
1
,x
2
,x
3
)
=
5x
1
?5x
2
?cx
3
?2x
1
x2
?6x
1
x
3
?6x
2
x
3

的秩为2。求参数
c
的值,并将此二次型化为标准形。
00
?
10
?
?
00
?
?12
?
?
。< br>1?2
?
01
?
?
?


解: 二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)
的矩阵为
?
5?13
?
??

A
=
?
?15?3
?

?
3?3c
?< br>??
因为
A
的秩为2,令det
A
=0,可得
c=3。
222

f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
5x
1
?5x
2
?3x3
?2x
1
x
2
?6x
1
x
3
?6x
2
x
3

也就是
?
5?13
?
??
A
=
?
?15?3
?

?
3?33
?
??< br>22
通过初等变换法,即可将其化为标准形:
4y
2
?9y
3

5、设2
n
元二次型

f(x
1
,x
2
,?,x
2n
)
=
x
1
x
2n
?x
2
x
2n?1
???x
n
x
n?1

试用可逆线性替换法将其化为标准形。
解:令
?
x
1
?y
1
?y
2n
?
1
?
?
x?y?y
?
0
22n?1
?< br>2
?
?
?
?
?
?
?
?
x< br>n
?y
n
?y
n?1

?

P
=
?
?
x
n?1
?y
n
?y
n?1
?
?
?
?
?
?
?
x?y?y
?
2n?122n?1
?
0
?
1
?
x?y?y< br>12n
?
2n
?
0
1
?
??
?1
1
?
1
0?
1
?1
?
?
1
?
?
10
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?10
?
0?1
?
?
0
即作正交变换
X=CY
,二次型
f(x
1
,x
2
,?,x
2n
)
可化为标准型:
2222

y
1
???y
n
?y
n?1
???y
2n

222
6、已知二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
2x
1
?3x
2
?3x3
?2ax
2
x
3
(a>0)通过正交变换化为标准
2 22

f?y
1
?2y
2
?5y
3
,求< br>a
的值及所作的正交替换矩阵。
222
解:因为原二次型可化为
f? y
1
?2y
2
?5y
3
,可知原二次型的矩阵的特征值为


1,2和5。
而原二次型的矩阵为
?
200
?
??

A
=
?
03a
?

?
0a3
?
??

A
的特征方程为
?
?2

det(
?
E?A )
=
00
a
=
(
?
?2)(
?
? 6
?
?9?a)
=0。
22
0
0
?
?3
a
?
?3
因此将此特征方程的解1,2,5代入得:a=2。
对于
?
1
?1
,求其线性方程组
(E?A)X?0
,可解得基础 解系为
?
1
?(0,1,1)
T

对于
?2
?2
,求其线性方程组
(2E?A)X?0
,可解得基础解系为:

?
2
?(1,0,0)

对于
?
3
?5
,求其线性方程组
(5E?A)X?0
,可解得基础解系为:
T

?
3
?(0,1,?1)

T

?
1< br>,
?
2
,
?
3
单位化,得

?
1
?
1
?
1
1
?
1
? (0,
1
2
,
1
2
)
T


?
2
?
?
2
1
?
2
?(1,0, 0)
T

1
2
1
2
)
T

?
3
?
故正交替换矩阵为:
?
3
?
3< br>?(0,,?


?
?
?
?

P
=
(
?
1
,
?
2
,
?
3
)
=
?
?
?
?
?
练习4、3
0
1
2
1
2
?
?
10
?
1
?
0
?

2
?
1
?
0??
2
?
1、判别下列二次型是否为正定二次型:
222
(1)
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
5x
1
?6x
2
?4x
3
?4x
1
x
2
?4x
2
x
3

222
(2)
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
10x
1< br>?2x
2
?x
3
?8x
1
x
2
?2 4x
1
x
3
?28x
2
x
3

2222
(3)
f(x
1
,x
2
,x
3
, x
4
)
=
x
1
?x
2
?4x
3< br>?7x
4
?6x
1
x
3
?4x
1
x
4
?4x
2
x
3
?


2x
2
x
4
?4x
3
x
4
。 < br>解:(1)二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)
的矩阵为
?
5?20
?
??
?2
?

A=
?
?26
?
0?24
?
??
由于5> 0,
5
?2
?2
6
5
=26>0,
?2
? 2
6
0
0
?2
=84>0,
?24

A
的一切顺序主子式都大于零,故此二次型为正定的。
( 2)二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)
的矩 阵为
12
??
104
??
42?14

A=
??

?
12?141
?
??
由于
10
|
A
|=
4
4
2
12
?14
=-3588 <0,
12?141
故此二次型不为正定的。


(3)二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
的矩阵为:
3
?
10
?
?
01?2

A=
?
3?24
?
?
222
?
由于
2
?
?
2
?

2
?
?
7
?
?
1

0
0
1
3
?2
=-9<0,
43?2
故此二次型不为正定的。
2、当
t
为何值时,下列二次型为正定二次型:
222
(1)f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
x
1
?4x
2
?x
3
?2tx
1
x
2?10x
1
x
3
?6x
2
x
3
; < br>222
(2)
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
x
1
?x
2
?5x
3
?2tx1
x
2
?2x
1
x
3
?4x
2
x
3

222
(3)
f(x
1
,x
2
,x
3
)
=
2x
1
?x
2
?x
3
?2x
1
x
2
?tx
2
x
3< br>。
解:(1)二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)
的矩阵为:
?
1t5
?
??

A
=
?
t43
?

?
531
?
??
由于

1t
t4
1
2
=
4?t

t
t5
43
=
?t
2
?30t?105

531
但易知不等式组
?
4?t
2
?0

?
2

?
?t?30t?105?0
无解,因此,不论t
取何值,此二次型都不是正定的。
(2)二次型
f(x
1
, x
2
,x
3
)
的矩阵为:


?
1t?1
?
??
12
?

A
=
?
t
?
?125
?
??

此二次型正定的充要条件为
1>0,
1t
t1
=
1?t
>0, |A|=
?5t?4t
>0,
22
由此解得:
?
4
?t?0

5
(3 )二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)
的矩阵 为:
?
?
?
2

A
=
?
1
?
?
?
0
?

1
1
t
2
?
?
0
?
t
?

2
?
?
0
?
?
t
2
2>0, >0, |
A
|=
1?
>0,
2
11
解得:
?2?t?
21
2

3、 设
A、B

n
阶正定矩阵,证明
BAB
也是正定矩阵。 < br>证明:由于
A、B
是正定矩阵,故
A

B
为实对称矩 阵。
所以 (
BAB
)
=BAB=BAB
,即
BAB
也为实对称矩阵。
由于
A、B
为正定矩阵,则存在可逆矩阵
C
1
,C
2
,有

A= C
1
C
1
,B= C
2
C
2



所以
BAB= C
2
C
2
C
1
C
1
C
2
C
2
=
(
C
1
C
2
C
2
)(
C
1
C
2C
2
),


BAB
也是正定矩阵。

4、如果
A,B

n
阶正定矩阵,则
A+B
也为正 定矩阵。
证明:由于
A、B
是正定矩阵,故
A

B
为实对称矩阵。从而
A+B
也为实对称矩阵,
TTTTTT
TT
T TTT


而且

f?XAX

g?XBX

为正定二次型。于是对不全为零的实数
x
1
,x
2
,?,x
n
,有

XAX?0

XBX?0

T

h
=
X(A?B)X
=
X
T
AX
+
XBX? 0

T
T
TT
TT
即二次型
h
=
X(A?B)X
为正定的,故
A+B
为正定矩阵。
5、设
A为正定矩阵,则
A

A
也是正定矩阵。其中
A

A
的伴随矩阵。
证明:因为
A
为正定矩阵,故
A
为实对称矩阵。
从而(A)?(A)
*TT*
?1TT?1
-
1
**
?A< br>?1

A
?1
也为对称矩阵,
*
*

(A)?(A)?A

A
也为对称矩阵。
由已知条件可知,存在可逆矩阵
C
,使得

A?CC

于是
A
?1
T
?(C
T
C)
?1
?C
?1
(C
?1
)
T
=
Q
T
Q

?1
*

A
=
|A|A?|A|C
?1
(C
?1
)
T
=
1
A
C
?1
[
1
A
C
?1]
T
=
P
T
P

其中
Q
=
(C)

P
=
(
-
1
*
?1T< br>1
A
C
?1
)
T
都为可逆矩阵。

A

A
都为正定矩阵。
6、设
A
为< br>n
×
m
实矩阵,且
r
(
A
)
=m< br><
n
,求证:
(1)
AA

m
阶正定矩阵;
(2)
AA

n
阶半正定矩阵。
证明(1)因为
A

n
×
m
实矩阵,所以
A

m
×
n
矩阵,又
r
(
A
)
=m
<
n
,因此,方程

AX

O
, 只有零解。于是对于任意的
X

O
, 有
AX

O
。则
T
T
T
X
T

AT
A

X
=(
AX

T

A X
)> 0 。
因此,
AA
为正定矩阵。
T

< br>(2)因为
A

n
×
m
实矩阵,所以
AT

m
×
n
矩阵,又
r
(
A
)
=m
<
n
,因此,方程组
A
T
X

O
, 有非零解。即存在
X
0

O
, 有
AX
0

=
O
。于是对于任意的
X

O
, 有

X

AA

X
=(
A X
)(
A X
) 0 。
因此,
AA
T
为半正定矩阵。
7、试证实二次型
f(x< br>1
,x
2
,?,x
n
)
是半正定的充分必要条件是< br>f
的正惯性指数等于它
的秩。
证明:充分性。设
f
的正惯性 指数等于它的秩,都是r,则负惯性指数为零。于是
f
可经过线性变换
X=CY
变成
22

f(x
1
,x
2< br>,?,x
n
)
=
y
1
?y
2
??? y
r

2
TT TT T
从而对任一组实数
x
1
,x
2
,?,x
n
,由
X=CY
可得
Y= CX
,即有相应的实数
y
1
,?,y
r
,?,y
n

22
使
f(x
1
,x
2
,?,x
n
)
=
y
1
?y
2
???y
r
?
0.
2
-
1

f
为半正定的。
必要 性。设
f
为半正定的,则
f
的负惯性指数必为零。否则,
f
可经过线性变换
X=CY
化为
2

f(x
1
, x
2
,?,x
n
)
=
y
1
???y
s
?y
s
2
?1
???y
r
2
,s2
于是当
y
r
=
1,其余y
i
=0时 ,由
X=CY
可得相应的值
x
1
,x
2
,?,x< br>n
,带入上式则得

f(x
1
,x
2< br>,?,x
n
)
=-1<0。
这与
f
为半正定的相矛盾,从而
f
的正惯性指数与秩相等。
8、证明:正定矩阵主对角线上的元素都是正的。
证明:设矩阵
A
为正定矩阵,因此
f?XAX
为正定二次型。 < br>于是对不全为零的实数
x
1
,x
2
,?,x
n
,有

XAX?0

T

X?
?
i
?(0,?,0,1,0,?,0)
,(
i=1,2,…,n
)
T
T


T
?
i
A
?
i
?d
i
?0
,(
i=1,2,…,n
)
即主对角线上的元素都是正的。
(注:所有答案我已
全部整理至此,有些题
没找到,希望对大家有
所帮助!——君不器)

八年级上册英语单词-found


stalling-vcm


奔丧的意思-不饱和烃


无疾而终-负荷是什么意思


简兮-表语和宾语的区别


art怎么读-所以的英文


三年级英语下册课本跟读-warning是什么意思


黄鹄-经历用英语怎么说



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