第8章立体几何专题4 垂直的证明常考题型专题练习——【含答案】

旗开得胜
垂直的证明
【方法总结】
1、证明线面垂直的方法：
①利用线面垂直定义：如果一条直线垂直于平面内任一条直线，则这条直线垂直于该平
面； < br>②用线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与
平面垂直；
③用线面垂直性质：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也必垂直于这个平
面． < br>2、证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现
线线垂 直与线面垂直的相互转化．
3、证明面面垂直一般要先找到两个面的交线，然后再在两个面内找能与交 线垂直的直线，
最后通过证明线面垂直证明面面垂直。
【分类练习】

考向一 线面垂直

例1、在四棱锥
P?ABCD
中，
PA?
底面
ABCD
，
ABCD
，
AB?BC
，< br>AB?BC?1
，
DC?2
，点
E
在
PB
上
1
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旗开得胜
求证：
CA?
平面
PAD
；

【答案】(1)证明见解析；(2)2.
【解析】(1)过
A
作
A F
⊥
DC
于
F
,则
CF
=
DF
=
AF
,所以∠
DAC
=90°,即
AC
⊥
DA，
又
PA
⊥底面
ABCD
，
AC
?面
ABCD
，所以
AC
⊥
PA
，
因为
PA
、
AD
?面
PAD
，且
PA
∩
AD
=< br>A
，所以
AC
⊥平面
PAD
.

例2、如 图，长方体
ABCD
–
A
1
B
1
C
1D
1
的底面
ABCD
是正方形，点
E
在棱
AA
1
上，
BE
⊥
EC
1
.
1
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旗开得胜

（1）证明：
BE
⊥平面
EB
1
C
1
；
解析：（1）由已知得，
BC?
平面
ABBA
，
BE?平面
ABBA
，
11
1111
故
B
1
C
1
?
BE
．
又
BE?EC
1
，所以
BE?
平面
EB
1
C
1
．
例3、如图， 在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
CC
1
?
平面
ABC
，
D
，
E
，F
，
G
分别为
AA
1
，
AC
，A
1
C
1
，
BB
1
的中点
A1
F
C
1
B
1
D
E
A
CG
B

求证：
AC
⊥平面
BEF
；

1
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旗开得胜
【解析】(1)在三棱 柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
∵
CC
1
⊥平面
ABC
，
∴四边形
A
1
ACC
1
为矩形．
又
E< br>，
F
分别为
AC
，
A
1
C
1
的中点，
∴
AC
⊥
EF
．

∵
AB?BC
．
∴
AC
⊥
BE
，
∴
AC
⊥平面
BEF
．
BC?CD?
例4、如图 ，在四棱锥
P?ABCD
中，
PA
⊥平面
ABCD
，
CD
⊥
AD
，
BC
∥
AD
，
1
AD
.
2

（Ⅰ）求证：
BD
⊥平面
PAB
；
【解析】因为
PA
⊥平面
ABCD
，
BD?
平面
ABCD
，
所以
BD
⊥
PA
.
在直角梯形
ABCD
中，
BC?CD?
1
AD
，
2
1
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