顺水速度和逆水速度的公式运用母函数求解递推数列通项公式

2020年10月24日发(作者：葛子斐)
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运用母函数求解递推数列通项公式

作者：陈朝斌 石建梅

来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2009年第03期

四川内江师范学院数学与信息科学学院641112

摘要：在教学中， 教师应充分认识递推数列在初等数学与高等数学中的本质联系，从高
等数学的高度进 行教学，这有利于培养学生创造性的思维和探究问题的能力． 本文利用母函
数求解相关的一阶递推数列、二阶递推数列的通项问题.
关键词：母函数；递推数列；应用

在日常教学中，教师 一般从初等数学的角度进行教学，采用“化归”的思想，引入辅助数列
把问题转化为等差数列或等比数列 来解决，但求解过程较烦琐，技巧性也不强． 有些教师认
识到递推数列问题在高等数学中的背景，从高 等数学的高度进行教学，如采用“特征根法”“不
动点法”等． 本文主要利用母函数知识来研究递推数列问题．
定义对数列｛an｝中的各项a0， a1，a2，…，构造函数G（x）=a0+a1x+a2x2+…，称G
（x）为数列｛an｝的母函 数．
规定G（x）可以像多项式那样进行四则运算，不用考虑敛、散性．
用母函数求解递推数列通项问题时一般有4步.
（1）构造数列｛an｝的母函数G（x）=anxn=a0+a1x+a2x2+a3x3+…；
（2）将关于an的递推关系式转化为关于数列｛an｝的母函数G（x）的方程式；
（3）解出G（x）=++…，并根据=xn=1+x+x2+x3+…及=（px）n=1+px+（px）2 +（px）
3+…，
=Cxn，将母函数的函数表达式展开成G（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+…的形式；
（4）根据母函数G（x）=a0+a1x+a2x2+…中xn的系数an，求出数列｛an｝的通项.