楼梯工程量计算公式(完整版)向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

2020年10月25日发(作者：樊粹庭)
概念
向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序
数组； < br>向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两
个向量对应位一一 相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
点乘公式

对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：



要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘几何意义

点乘的 几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a
向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

根据这个公 式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这
两个向量是否是同一方向，是否正交 (也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：
a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
叉乘公式
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是
一个标量。并且两个 向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义
在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的 叫法是法向
量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用 ，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个
垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所 示：

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构< br>成的平行四边形的面积。