等差数列求公差的公式向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读教学教材

2020年10月25日发(作者：路学宏)




向量点乘(内积)和叉
乘(外积、向量积)概
念及几何意义解读
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概念
向量是由 n 个实数组成的一个 n 行1 列（n*1）或一个 1 行 n 列（1*n）的有序数
组；
向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算， 就是对这两
个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量 。
点乘公式
对于向量 a 和向量 b：
a 和 b 的点积公式为：
要求一维向量 a 和向量 b 的行列数相同。
点乘几何意义
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在
向量方向上的投影 ，有公式：
推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量：
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b 向量在a
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根据三角形余弦定理有：
根据关系 c=a-b（a、b、c 均为向量）有：
即：
向量 a，b 的长度都是可以计算的已知量，从而有 a和 b 间的夹角 θ：
根据这个公式就可以计算向量 a和向量 b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这
两个向量是否是同一方向， 是否正交 (也就是垂直 )等方向关系 ，具体对应关系为：
a·b>0
a·b=0
a·b<0
方向基本相同，夹角在 0°到 90°之间
正交，相互垂直
方向基本相反，夹角在 90°到 180°之间
叉乘公式
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是
一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量 a和向量 b：
a和 b 的叉乘公式为：
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其中：
根据 i、j、k 间关系，有：
叉乘几何意义
在三维几何中， 向量 a 和向量 b 的叉乘结果是一个向量， 更为熟知的叫法是法向
量，该向量垂直于 a 和 b 向量构成的平面。
在 3D 图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个
垂直于 a，b 的法向量，从而构建 X、Y、Z 坐标系。如下图所示：
在二维空间中， 叉乘还有另外一个几何意义就是： aXb 等于由向量 a 和向量 b 构
成的平行四边形的面积。
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