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二进制转八进制公式(完整word版)高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形的五心.doc

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-25 18:19
tags:ah公式

成都东软学院怎么样-look的现在分词

2020年10月25日发(作者:闵恩泽)











第五讲 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心

一、外心 .
.



三角形外接圆的圆心,简称外心 . 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角
定理 .
例 1.过等腰△ ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥ CA 交 AB 于 M;引 PN∥BA 交
AC 于 N. 作点 P 关于 MN 的对称点 P′. 试证: P′点在△ ABC 外接圆上 .
( 杭州大学《中学数学竞赛习题》 )

分析:由已知可得 MP′=MP=MB, NP′ =NP

=NC,故点 M 是△ P′BP 的外心,点
N 是△ P′PC 的外心 . 有
∠ BP′P=




P
' A
N
1





∠ PP′C= ∠ PNC= ∠BAC.
1
∠ BMP= ∠ BAC,
2 2
1
M
B

P

C
1


2
2
∴∠ BP′ C=∠ BP′ P+∠P′PC=∠BAC.
从而, P′点与 A,B,C 共圆、即 P′在△ ABC 外接圆上 .
由于 P′P 平分∠ BP′C,显然还有
P′B: P′C=BP: PC.
例 2.在△ ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取点 P,Q,S. 证明以△ APS,△BQP,
△ CSQ的外心为顶点的三角形与△ ABC 相似 .
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》
分析:设 O, , 是△
,△ ,
O

O

APS BQP

△CSQ 的外心,作出六边形

123
)



A





O
1

O
1
PO
2
QO
3
S 后再由外
心性质可知

∠ PO
1

∠ ,

S=2 A



P

.. ..
S
K

O
2

B

O
3
Q





C


∠ QO
2
P=2∠B,
∠ SO
3
Q=2∠C.
∴∠ PO
1
S+∠ QO
2
P+∠ SO
3
Q=360° . 从而又知∠
O
1
PO
2
+ ∠O
2
QO
3
+∠O
3
SO
1
=360°
将△ O
2
QO
3
绕着 O
3
点旋转到△ KSO
3
,易判断△ KSO
1
≌△ O
2
PO
1
,同时
可得△ O
1
O
2
O
3
≌△ O
1
KO
3
.
∴∠ O
2
O
1
O
3
=∠KO
1
O
3
= ∠O
2
O
1
K


1

=


2

1
( ∠O
2
1

1
O S+

SO K)
2


=


=

1
( ∠O
2
1

1 2
O S+

PO O )
2
1 ∠ PO
1
∠ ;




2
同理有∠ O
1
O
2
O
3
=∠ B.故△ O
1
O
2
O
3
∽△ ABC.
第 1 页 共 8 页

S= A









二、重心
三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心 . 掌握重心将每条
中线都分成定比 2:1 及中线长度公式,便于解题 .
例 3.AD,BE,CF 是△ ABC 的三条中线, P 是任意一点 . 证明:在△ PAD,△
PBE,△ PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和 .
(

第 26 届莫斯科数学奥林匹克 )
分析:设 G 为△ ABC 重心,直线 PG 与 AB

A

,BC 相交 . 从 A, C, D,E,F 分别
'

A
F'


作该直线的垂线,垂足为 A′, C′,
F
G

E
'
E

D′, E′, F′.
D
D

B
'
C
'
C
易证 AA′=2DD ′, CC′=2FF ′, 2EE′=AA′ +CC′
P

∴ EE′=DD ′+FF ′.
有 S

PGE
=S


PGD
+S


PGF
.
两边各扩大 3 倍,有 S


PBE
=S

PAD
+S


PCF
.
例 4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围
成的新三角形相似 . 其逆亦真 .
分析:将△ ABC 简记为△,由三中线

AD,BE, CF 围成的三角形简记为△′
为重心,连 DE 到 H,使 EH=DE,连 HC,HF ,则△′就是△ HCF.
(1) a
2
, b
2
,c
2
成等差数列 △∽△′ .
若△ ABC 为正三角形,易证△∽△′ .
不妨设
1
a≥b≥c,有
CF=
2a
2
2b
2
c
2

2
1

BE=
2c
2
2a
2
b
2

2
1

AD=
2b
2
2c
2
a
2
.
2
2

将 a+c
2
=2b
2
,分别代入以上三式,得
CF=
3
a
,BE=
3
b
,AD=
3
c
.

2 2

2
∴ CF: BE: AD =
3
a
:
3
b
:
3
c

2 2 2
= a: b: c.

故有△∽△′ .
(2) △∽△′ a
2
,b
2
,c
2
成等差数列 .
当△中 a≥b≥c 时,
△′中 CF≥BE≥AD.
∵△∽△′,


S
'

(

CF

)

2
.

S
a
第 2 页 共 8 页





. G





















据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的



3
”,有
4
S
'
S


= .


3
4





















CF
2
a
2

=
3
4
3a
2

2 2 2 2
=4CF =2a +b
- c


a
2
+c
2
=2b
2
.
三、垂心
三角形三条高的交战, 称为三角形的垂心 . 由三角形的垂心造成的四个等 ( 外
接 ) 圆三角形,给我们解题提供了极大的便利 .
例 5.设 A
1
A
2
A
3
A
4
为⊙O 内接四边形, H
1
,H
2
,H
3
, H
4
依次为
△ A
2
A
3
A
4
,△ A
3
A
4
A
1
,△ A
4
A
1
A
2
,△ A
1
A
2
A
3
的垂心 . 求证: H
1
,H
2
,H
3

H
4
四点共圆,并确定出该圆的圆心位置 .
(1992
,全国高中联赛 )

分析:连接 A
2
H
1
,A
1
H
2
,H
1
H
2
,记圆半径

为 R. 由△ A
2 3 4






A
2
H
1
A
1




A A

.
H
2
O
A
4






A
2
H
1
=2R A
2
1

3 2 4

H =2Rcos A A A
A
3
sin
A
2
A
3
H
1



由△ A
1
A
3
A
4

A
1
H2
=2Rcos∠A
3
A
1
A
4
.
但∠ A
3
A
2
A
4
=∠ A
3
A
1
A
4
,故 A
2
H
1
=A
1
H
2
.
易证 A
2
H
1
∥A
1
A
2
,于是, A
2
H
1
∥A
1
H
2

=



故得 H
1
H
2

=
A
2
A
1
. 设 H
1
A
1
与 H
2
A
2
的交点为 M,故 H
1
H
2
与 A
1
A
2
关于 M 点
成中心对称 .
同理,H
2
H
3
与 A
2
A
3
,H
3
H
4
与 A
3
A
4
,H
4
H
1
与 A
4
A
1
都关于 M 点成中心对称 .
故四边形 H
1
H
2
H
3
H
4
与四边形 A
1
A
2
A
3
A
4
关于 M 点成中心对称,两者是全等
四边形, H
1
,H
2
,H
3
,H
4
在同一个圆上 . 后者的圆心设为 Q,Q 与 O 也关
于 M 成中心对称 . 由 O, M 两点, Q 点就不难确定了 .
例 6.H 为△ ABC 的垂心, D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中心 . 一个以 H 为圆
心的⊙ H 交直线 EF, FD , DE 于 A
1
,A
2
, B
1
,B
2
, C
1
,C
2
.
求证: AA =AA =BB =BB =CC =CC .

(1989


,加拿大数学奥林匹克训练题 )
1 2 1


2

.

1

2

B
2
A



C
1






=BB =CC
分析:只须证明 AA
1

1
1
即可





A
1
B
D
C
2
B
1


BC=a, CA=b,AB=c,△ ABC 外
接圆半径为 R,⊙ H 的半径为 r .

连 HA
1
,AH 交 EF 于 M.

2
A
2
2
1
=AM
2

2
- MH
2

A
1
=AM +A M

+r




F

H
2
M
H
H
1
E

A
2



C




=r +(AM- MH ),

22
222




又 AM- HM =( AH
1
)-( AH- AH
1
)
2
2
第 3 页 共 8 页
1

2
1


2







=


AH·AH
1
- AH
2
=AH
2
·AB- AH
2



a
=2R AH =4RcosA,
sin ABH
AH
=cosA·bc- AH
2


222

sin A
∴AH
2
+a
2
=4R
2
,AH
2
=4R
2
- a
2
.

由①、②、③有
2

=2R a=4RsinA.
222
2
b
2


c
2
a
2
2bc


2 2
A
A
1
=r +


·bc-(4 R - a )
= ( a
2
+b
2
+c
2
)-4 R
2
+r
2
. 2
同理,
BB
1

=

( a
2
+b
2
+c
2
)-4 R
2
+r
2

2

2

1
1
1

2

2

2

2

2
CC
1

=

( a +b +c )-4 R +r .





故有 AA
1
=BB
1
=CC
1
.
四、内心
三角形内切圆的圆心,简称为内心 . 对于内心,要掌握张角公式,还要记住
下面一个极为有用的等量关系:
设 I 为△ ABC 的内心,射线 AI 交△ ABC 外接圆于 A′,则有 A ′I=A′B=A′
C. 换言之,点 A′必是△ IBC 之外心 ( 内心的等量关系之逆同样有用 ).
例 7.ABCD 为圆内接凸四边形,取
D

△DAB,△ ABC,△ BCD,
△CDA 的内心 O
1
, O
2
, O
3

O
. 求证: O O
4 1 2
O
4
O
3


C
O O
为矩形 .
3
4




O
1



(1986
,中国数学奥林匹克集训题
)
证明见《中等数学》
1992;4
A B
例 8.已知⊙ O 内接△ ABC,⊙ Q 切 AB,AC 于 E,F 且与⊙ O 内切 . 试证: EF
中点 P 是△ ABC 之内心 .
( B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》 )
分析:在第 20 届 IMO 中,美国提供的一道题实际上是例

8 的一种特例,但它增加
了条件 AB=AC. 当 AB≠AC,怎样证明呢?
O
2



AQ=


如图,显然 EF 中点 P、圆心 Q, BC 中点 K 都在∠ BAC 平分线上 . 易知

r

sin
.

M

∵ QK· AQ=MQ ·QN,




A
R


αα

E
O
∴ QK=

MQ QN




r

P
Q F
C
N





K

AQ

B




(2R r ) r
=
sin (2R r )
.
r sin

由 Rt△EPQ 知 PQ=sin
r .
=









第 4 页 共 8 页







∴ PK=PQ+QK=sin r +
sin



(2R r )
=sin

2R .
∴ PK=BK.



利用内心等量关系之逆定理,即知

五、旁心
P 是△ ABC 这内心 .


三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一
点,是旁切圆的圆心,称为旁心 . 旁心常常与内心联系在一起,旁
心还与三角形的半周长关系密切 .
例 9.在直角三角形中,求证: r+r
a
+r
b
+r
c
=2p.
式中 r ,r
a
,r
b
, r
c
分别表示内切圆半径及与 a,b,c 相切的旁切圆半径,
p 表示半周 .
(杭州大学《中学数学竞赛习题》 )

分析:设 Rt△ABC 中, c 为斜边,先来证明一个特性:

p( p- c)=( p- a)( p- b).


∵ p( p- c)= ( a+b+c) · ( a+b- c)
2 2
=
11

O
3

r
c


B
1

K

A

O

r E

C
a
O
2

[(
a+b)
2
- c
2
]
4







=

1
r
b
2
ab;
( p- a)( p- b)= (- a+b+c) · ( a- b+c)


1

1
r



O
1



=





1
2
22
[ c-( a- b)]= ab.
1
2

4

∴ p( p- c)=( p- a)( p- b).

观察图形,可得
r
a
=AF- AC=p- b,
r
b
=BG- BC=p- a,
r
c
=CK=p.
而 r= ( a+b- c)
2
= p- c.
∴ r+r
a
+r
b
+r
c
=( p- c)+( p- b)+( p- a)+ p
=4 p-( a+b+c)=2 p.
由①及图形易证 .
2

1






例 10. M 是△ ABC 边 AB 上的任意一点 . r
1
,r
2
, r 分别是△ AMC,△ BMC,△
ABC 内切圆的半径, q
1
, q
2
,q 分别是上述三角形在∠ ACB 内部的旁切圆
r
1
r
2
r
半径 . 证明:









·

=

.
( IMO -12)
分析:对任意△ A′ B′ C′,由正弦定理可知
第 5 页 共 8 页










OD=OA′· sin




A'








2

sin
B'




C
O
'
= A′B′·




2
sin A'O'B'
sin
·
sin
A'

.
B
A
'

.
E D
'
.

sin

= A′B′·
2

2
A'
sin
B'

2

A' B'

cos
cos

′ ′ ′·
2
2

O

E= A B

A' B'
.
A'B'
2







O
'







sin



OD
tg tg .

O'E 2 2

亦即有

A'B'
2












r
1

·
r
2
=
tg

tg CMA
tg


A
2
CNB
tg
B
2 2


q
1

q
2
2

=


tg tg
=

.

2 2 q

ABr



六、众心共圆
这有两种情况: (1) 同一点却是不同三角形的不同的心; (2) 同一图形出现了
同一三角形的几个心 .
例 11.设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中,AB=BC,CD=DE,EF=FA. 试证:(1) AD,
BE,CF 三条对角线交于一点;
(2) AB+BC+CD+DE+EF+FA≥
AK+BE+CF . (1991 ,国家教委数学试验班招生试题 )
分析:连接 AC,CE,EA,由已知可证

AD,CF ,EB 是△ ACE 的三条内角平分
线, I 为△ ACE 的内心 . 从而有 ID=CD=DE,
IF=EF=FA,
IB=AB=BC.

再由△ BDF,易证 BP,DQ,FS 是它的三条高,I 是它的垂心,利用
等式有:
..
Erdos





BI+DI+FI ≥ 2· ( IP+IQ+IS).
不难证明 IE=2IP ,IA=2IQ ,IC=2IS.
A



F

B









∴ BI+DI +FI ≥IA+IE+IC.
I


P

E
∴ AB+BC+CD+DE+EF+FA
S



=2( BI+DI+FI)

C

≥ ( IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)
D
= AD+BE+CF.
I 就是一点两心 .
例 12.△ ABC 的外心为 O,AB=AC,D 是 AB 中点, E 是△ ACD 的重心 . 证明
第 6 页 共 8 页
Q









(

OE 丄 CD.
加拿大数学奥林匹克训练题 )












分析:设 AM 为高亦为中线,取

AC 中点F,
E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1. 设 CD 交
AM 于 G,G 必为△ ABC 重心 . 连
GE,MF ,MF 交 DC 于 K. 易证:
3 2 3
∴ DG: GK=DE: EF GE∥MF .
∵ OD 丄 AB,MF ∥ AB,
DG: GK= DC:(
1
A
D


E
G
O


F
11
) DC=2:1.








K
C B








∴ OD 丄 MF OD 丄 GE. 但 OG
丄 DE

G 又是△ ODE 之垂心 .
易证 OE 丄 CD.
例 13.△ ABC 中∠ C=30°, O 是外心, I 是内心,边 AC 上的 D 点与边 BC 上的
E 点使得 AD=BE=AB. 求证: OI 丄 DE,OI=DE.
(1988

,中国数学奥林匹克集训题 )
分析:辅助线如图所示,作∠ DAO 平分线交 BC 于 K.
易证△ AID≌△ AIB≌△ EIB,
∠AID =∠ AIB=∠ EIB.


利用内心张角公式,有
A

D
O

F

K
30 °
C
∠ AIB=90°+ ∠C=105°,
2
∴∠ DIE=360°-105 °× 3=45°.
1
I


E
B
1




=30

°+
( ∠BAC- ∠BAO)
2

1
1
2


°+
( ∠BAC-60 ° )
2

= 1
∠BAC=∠ BAI=∠BEI .
2

∴ AK∥ IE.
由等腰△ AOD 可知 DO 丄 AK,
=30


∴ DO 丄 IE ,即 DF 是△ DIE 的一条高 .
同理 EO 是△ DIE 之垂心, OI 丄 DE. 由
∠ DIE=∠IDO ,易知 OI=DE.

例 14.锐角△ ABC 中, O,G, H 分别是外心、重心、垂心
. 设外心到三边距离
和为 d

,重心到三边距
离和为 d

,垂心到三边距离和为
d

.
求证: 1·d

+2·d

=3· d

.
分析:这里用三角法 . 设△ ABC 外接圆
半径为 1,三个内角记为 A, B,
C. 易知 d

=OO
1
+OO
2
+OO
3


































A
H
3






G
3
O
3
O
G
O

2
G
2


H
2

C
I
B




=cosA+cosB+cosC,
∴ 2d

=2( cosA+cosB+cosC).

第 7 页 共 8 页
O
1
G
1
H
1


















练 习










































∵ AH
1
=sinB·AB=sinB· (2 sinC)=2sinB·sinC,
同样可得 BH
2
·CH
3
.
∴ 3d

=△ ABC 三条高的和
=2

·( sinB·sinC+sinC·sinA+sinA· sinB)



BH

=2,
sin

BCH
∴ HH
1
=cosC·BH=2·cosB· cosC.
同样可得 HH
2
,HH
3
.
∴ d

=HH
1
+HH
2
+HH
3

=2( cosB· cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)


欲证结论,观察①、②、③,
须 证 ( cosB · cosC+cosC · cosA+cosA · cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=
sinB· sinC+sinC· sinA+sinA·sinB. 即可 .

1. I 为△ ABC 之内心,射线 AI, BI,CI 交△ ABC 外接圆于 A′,
B′, C ′. 则 AA′+BB′ +CC′>△ ABC 周长 .(1982 ,澳大
利亚数学奥林匹克 )
2. △T′的三边分别等于△ T 的三条中线,且两个三角形有一组角相等 . 求证这两个
三角形相似 .(1989 ,捷克数学奥林匹克 )
3. I 为△ ABC 的内心 . 取△ IBC,△ICA,△ IAB 的外心 O
1
,O
2
,O
3
. 求证:△ O
1
O
2
O
3
与△ ABC 有公共的外心 .(1988 ,美国数学奥林匹克 )
4. AD 为△ ABC 内角平分线 . 取△ ABC,△ABD,△ ADC 的外心 O,O
1
,O
2
. 则
△ OO
1
O
2
是等腰三角形 .
5. △ABC 中∠ C< 90°,从 AB 上 M 点作 CA,CB 的垂线 MP,MQ. H 是△ CPQ
的垂心 . 当 M 是 AB
1
上动点时,求 H 的轨迹 .( IMO-7)
6. △ABC 的边 BC= ( AB+AC) ,取 AB, AC 中点 M,N, G 为重心, I 为内心 .
2
试证:过 A,M, N 三点的圆与直线 GI 相切 .( 第 27 届莫斯科数学奥林匹克 )
7. 锐角△ ABC 的垂心关于三边的对称点分别是 H
1
,H
2
,H
3
. 已知: H
1
,H
2
, H
3

求作△ ABC.( 第 7 届莫斯科数学奥林匹克 )

8. 已知△ ABC 的三个旁心为 I
1
, I
2
,I
3
. 求证:△ I
1
I
2
I
3
是锐角三角形 .
9. AB,AC 切⊙ O 于 B,C,过 OA 与 BC 的交点 M 任作⊙ O 的弦 EF. 求证: (1)
△AEF 与△ ABC 有公共的内心; (2) △ AEF 与△ ABC 有一个旁心重合 .
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