成都东软学院怎么样-look的现在分词
第五讲 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心
一、外心 .
.
三角形外接圆的圆心,简称外心 . 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角
定理 .
例 1.过等腰△ ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥ CA 交 AB 于 M;引 PN∥BA 交
AC 于 N. 作点 P 关于 MN 的对称点 P′. 试证: P′点在△ ABC 外接圆上 .
( 杭州大学《中学数学竞赛习题》 )
分析:由已知可得 MP′=MP=MB, NP′ =NP
=NC,故点 M 是△ P′BP 的外心,点
N 是△ P′PC 的外心 . 有
∠ BP′P=
P
' A
N
1
∠ PP′C= ∠ PNC= ∠BAC.
1
∠ BMP= ∠ BAC,
2 2
1
M
B
P
C
1
2
2
∴∠ BP′ C=∠ BP′ P+∠P′PC=∠BAC.
从而, P′点与 A,B,C 共圆、即 P′在△ ABC 外接圆上 .
由于 P′P 平分∠ BP′C,显然还有
P′B: P′C=BP: PC.
例 2.在△ ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取点 P,Q,S. 证明以△ APS,△BQP,
△ CSQ的外心为顶点的三角形与△ ABC 相似 .
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》
分析:设 O, , 是△
,△ ,
O
O
APS BQP
△CSQ 的外心,作出六边形
123
)
A
O
1
O
1
PO
2
QO
3
S 后再由外
心性质可知
∠ PO
1
∠ ,
S=2 A
P
.. ..
S
K
O
2
B
O
3
Q
C
∠ QO
2
P=2∠B,
∠ SO
3
Q=2∠C.
∴∠ PO
1
S+∠ QO
2
P+∠ SO
3
Q=360° . 从而又知∠
O
1
PO
2
+ ∠O
2
QO
3
+∠O
3
SO
1
=360°
将△ O
2
QO
3
绕着 O
3
点旋转到△ KSO
3
,易判断△ KSO
1
≌△ O
2
PO
1
,同时
可得△ O
1
O
2
O
3
≌△ O
1
KO
3
.
∴∠ O
2
O
1
O
3
=∠KO
1
O
3
= ∠O
2
O
1
K
1
=
2
1
( ∠O
2
1
∠
1
O S+
SO K)
2
=
=
1
( ∠O
2
1
∠
1 2
O S+
PO O )
2
1 ∠ PO
1
∠ ;
2
同理有∠ O
1
O
2
O
3
=∠ B.故△ O
1
O
2
O
3
∽△ ABC.
第 1 页 共 8 页
S= A
二、重心
三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心 . 掌握重心将每条
中线都分成定比 2:1 及中线长度公式,便于解题 .
例 3.AD,BE,CF 是△ ABC 的三条中线, P 是任意一点 . 证明:在△ PAD,△
PBE,△ PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和 .
(
第 26 届莫斯科数学奥林匹克 )
分析:设 G 为△ ABC 重心,直线 PG 与 AB
A
,BC 相交 . 从 A, C, D,E,F 分别
'
A
F'
作该直线的垂线,垂足为 A′, C′,
F
G
E
'
E
D′, E′, F′.
D
D
B
'
C
'
C
易证 AA′=2DD ′, CC′=2FF ′, 2EE′=AA′ +CC′
P
,
∴ EE′=DD ′+FF ′.
有 S
△
PGE
=S
△
PGD
+S
△
PGF
.
两边各扩大 3 倍,有 S
△
PBE
=S
△
PAD
+S
△
PCF
.
例 4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围
成的新三角形相似 . 其逆亦真 .
分析:将△ ABC 简记为△,由三中线
AD,BE, CF 围成的三角形简记为△′
为重心,连 DE 到 H,使 EH=DE,连 HC,HF ,则△′就是△ HCF.
(1) a
2
, b
2
,c
2
成等差数列 △∽△′ .
若△ ABC 为正三角形,易证△∽△′ .
不妨设
1
a≥b≥c,有
CF=
2a
2
2b
2
c
2
,
2
1
BE=
2c
2
2a
2
b
2
,
2
1
AD=
2b
2
2c
2
a
2
.
2
2
将 a+c
2
=2b
2
,分别代入以上三式,得
CF=
3
a
,BE=
3
b
,AD=
3
c
.
2 2
2
∴ CF: BE: AD =
3
a
:
3
b
:
3
c
2 2 2
= a: b: c.
故有△∽△′ .
(2) △∽△′ a
2
,b
2
,c
2
成等差数列 .
当△中 a≥b≥c 时,
△′中 CF≥BE≥AD.
∵△∽△′,
∴
S
'
=
(
CF
)
2
.
S
a
第 2 页 共 8 页
. G
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的
3
”,有
4
S
'
S
= .
3
4
∴
CF
2
a
2
=
3
4
3a
2
2 2 2 2
=4CF =2a +b
- c
a
2
+c
2
=2b
2
.
三、垂心
三角形三条高的交战, 称为三角形的垂心 . 由三角形的垂心造成的四个等 ( 外
接 ) 圆三角形,给我们解题提供了极大的便利 .
例 5.设 A
1
A
2
A
3
A
4
为⊙O 内接四边形, H
1
,H
2
,H
3
, H
4
依次为
△ A
2
A
3
A
4
,△ A
3
A
4
A
1
,△ A
4
A
1
A
2
,△ A
1
A
2
A
3
的垂心 . 求证: H
1
,H
2
,H
3
,
H
4
四点共圆,并确定出该圆的圆心位置 .
(1992
,全国高中联赛 )
分析:连接 A
2
H
1
,A
1
H
2
,H
1
H
2
,记圆半径
为 R. 由△ A
2 3 4
知
A
2
H
1
A
1
A A
.
H
2
O
A
4
A
2
H
1
=2R A
2
1
∠
3 2 4
;
H =2Rcos A A A
A
3
sin
A
2
A
3
H
1
由△ A
1
A
3
A
4
得
A
1
H2
=2Rcos∠A
3
A
1
A
4
.
但∠ A
3
A
2
A
4
=∠ A
3
A
1
A
4
,故 A
2
H
1
=A
1
H
2
.
易证 A
2
H
1
∥A
1
A
2
,于是, A
2
H
1
∥A
1
H
2
,
=
故得 H
1
H
2
∥
=
A
2
A
1
. 设 H
1
A
1
与 H
2
A
2
的交点为 M,故 H
1
H
2
与 A
1
A
2
关于 M 点
成中心对称 .
同理,H
2
H
3
与 A
2
A
3
,H
3
H
4
与 A
3
A
4
,H
4
H
1
与 A
4
A
1
都关于 M 点成中心对称 .
故四边形 H
1
H
2
H
3
H
4
与四边形 A
1
A
2
A
3
A
4
关于 M 点成中心对称,两者是全等
四边形, H
1
,H
2
,H
3
,H
4
在同一个圆上 . 后者的圆心设为 Q,Q 与 O 也关
于 M 成中心对称 . 由 O, M 两点, Q 点就不难确定了 .
例 6.H 为△ ABC 的垂心, D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中心 . 一个以 H 为圆
心的⊙ H 交直线 EF, FD , DE 于 A
1
,A
2
, B
1
,B
2
, C
1
,C
2
.
求证: AA =AA =BB =BB =CC =CC .
(1989
,加拿大数学奥林匹克训练题 )
1 2 1
2
.
1
2
B
2
A
C
1
=BB =CC
分析:只须证明 AA
1
1
1
即可
设
A
1
B
D
C
2
B
1
BC=a, CA=b,AB=c,△ ABC 外
接圆半径为 R,⊙ H 的半径为 r .
连 HA
1
,AH 交 EF 于 M.
2
A
2
2
1
=AM
2
2
- MH
2
A
1
=AM +A M
+r
F
H
2
M
H
H
1
E
A
2
C
=r +(AM- MH ),
22
222
又 AM- HM =( AH
1
)-( AH- AH
1
)
2
2
第 3 页 共 8 页
1
2
1
①
2
=
而
AH·AH
1
- AH
2
=AH
2
·AB- AH
2
a
=2R AH =4RcosA,
sin ABH
AH
=cosA·bc- AH
2
,
222
②
sin A
∴AH
2
+a
2
=4R
2
,AH
2
=4R
2
- a
2
.
由①、②、③有
2
=2R a=4RsinA.
222
2
b
2
③
c
2
a
2
2bc
2 2
A
A
1
=r +
·bc-(4 R - a )
= ( a
2
+b
2
+c
2
)-4 R
2
+r
2
. 2
同理,
BB
1
=
( a
2
+b
2
+c
2
)-4 R
2
+r
2
,
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
CC
1
=
( a +b +c )-4 R +r .
故有 AA
1
=BB
1
=CC
1
.
四、内心
三角形内切圆的圆心,简称为内心 . 对于内心,要掌握张角公式,还要记住
下面一个极为有用的等量关系:
设 I 为△ ABC 的内心,射线 AI 交△ ABC 外接圆于 A′,则有 A ′I=A′B=A′
C. 换言之,点 A′必是△ IBC 之外心 ( 内心的等量关系之逆同样有用 ).
例 7.ABCD 为圆内接凸四边形,取
D
△DAB,△ ABC,△ BCD,
△CDA 的内心 O
1
, O
2
, O
3
,
O
. 求证: O O
4 1 2
O
4
O
3
C
O O
为矩形 .
3
4
O
1
(1986
,中国数学奥林匹克集训题
)
证明见《中等数学》
1992;4
A B
例 8.已知⊙ O 内接△ ABC,⊙ Q 切 AB,AC 于 E,F 且与⊙ O 内切 . 试证: EF
中点 P 是△ ABC 之内心 .
( B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》 )
分析:在第 20 届 IMO 中,美国提供的一道题实际上是例
8 的一种特例,但它增加
了条件 AB=AC. 当 AB≠AC,怎样证明呢?
O
2
AQ=
如图,显然 EF 中点 P、圆心 Q, BC 中点 K 都在∠ BAC 平分线上 . 易知
r
sin
.
M
∵ QK· AQ=MQ ·QN,
A
R
αα
E
O
∴ QK=
MQ QN
r
P
Q F
C
N
K
AQ
B
(2R r ) r
=
sin (2R r )
.
r sin
由 Rt△EPQ 知 PQ=sin
r .
=
第 4 页 共 8 页
∴ PK=PQ+QK=sin r +
sin
(2R r )
=sin
2R .
∴ PK=BK.
利用内心等量关系之逆定理,即知
五、旁心
P 是△ ABC 这内心 .
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一
点,是旁切圆的圆心,称为旁心 . 旁心常常与内心联系在一起,旁
心还与三角形的半周长关系密切 .
例 9.在直角三角形中,求证: r+r
a
+r
b
+r
c
=2p.
式中 r ,r
a
,r
b
, r
c
分别表示内切圆半径及与 a,b,c 相切的旁切圆半径,
p 表示半周 .
(杭州大学《中学数学竞赛习题》 )
分析:设 Rt△ABC 中, c 为斜边,先来证明一个特性:
p( p- c)=( p- a)( p- b).
∵ p( p- c)= ( a+b+c) · ( a+b- c)
2 2
=
11
O
3
r
c
B
1
K
A
O
r E
C
a
O
2
[(
a+b)
2
- c
2
]
4
=
1
r
b
2
ab;
( p- a)( p- b)= (- a+b+c) · ( a- b+c)
1
1
r
O
1
=
1
2
22
[ c-( a- b)]= ab.
1
2
4
∴ p( p- c)=( p- a)( p- b).
观察图形,可得
r
a
=AF- AC=p- b,
r
b
=BG- BC=p- a,
r
c
=CK=p.
而 r= ( a+b- c)
2
= p- c.
∴ r+r
a
+r
b
+r
c
=( p- c)+( p- b)+( p- a)+ p
=4 p-( a+b+c)=2 p.
由①及图形易证 .
2
①
1
例 10. M 是△ ABC 边 AB 上的任意一点 . r
1
,r
2
, r 分别是△ AMC,△ BMC,△
ABC 内切圆的半径, q
1
, q
2
,q 分别是上述三角形在∠ ACB 内部的旁切圆
r
1
r
2
r
半径 . 证明:
·
=
.
( IMO -12)
分析:对任意△ A′ B′ C′,由正弦定理可知
第 5 页 共 8 页
OD=OA′· sin
A'
2
sin
B'
C
O
'
= A′B′·
2
sin A'O'B'
sin
·
sin
A'
.
B
A
'
.
E D
'
.
sin
= A′B′·
2
,
2
A'
sin
B'
2
A' B'
cos
cos
′ ′ ′·
2
2
O
E= A B
A' B'
.
A'B'
2
O
'
sin
∴
OD
tg tg .
O'E 2 2
亦即有
A'B'
2
r
1
·
r
2
=
tg
tg CMA
tg
A
2
CNB
tg
B
2 2
q
1
q
2
2
=
tg tg
=
.
2 2 q
ABr
六、众心共圆
这有两种情况: (1) 同一点却是不同三角形的不同的心; (2) 同一图形出现了
同一三角形的几个心 .
例 11.设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中,AB=BC,CD=DE,EF=FA. 试证:(1) AD,
BE,CF 三条对角线交于一点;
(2) AB+BC+CD+DE+EF+FA≥
AK+BE+CF . (1991 ,国家教委数学试验班招生试题 )
分析:连接 AC,CE,EA,由已知可证
AD,CF ,EB 是△ ACE 的三条内角平分
线, I 为△ ACE 的内心 . 从而有 ID=CD=DE,
IF=EF=FA,
IB=AB=BC.
再由△ BDF,易证 BP,DQ,FS 是它的三条高,I 是它的垂心,利用
等式有:
..
Erdos
不
BI+DI+FI ≥ 2· ( IP+IQ+IS).
不难证明 IE=2IP ,IA=2IQ ,IC=2IS.
A
F
B
∴ BI+DI +FI ≥IA+IE+IC.
I
P
E
∴ AB+BC+CD+DE+EF+FA
S
=2( BI+DI+FI)
C
≥ ( IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)
D
= AD+BE+CF.
I 就是一点两心 .
例 12.△ ABC 的外心为 O,AB=AC,D 是 AB 中点, E 是△ ACD 的重心 . 证明
第 6 页 共 8 页
Q
(
OE 丄 CD.
加拿大数学奥林匹克训练题 )
分析:设 AM 为高亦为中线,取
AC 中点F,
E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1. 设 CD 交
AM 于 G,G 必为△ ABC 重心 . 连
GE,MF ,MF 交 DC 于 K. 易证:
3 2 3
∴ DG: GK=DE: EF GE∥MF .
∵ OD 丄 AB,MF ∥ AB,
DG: GK= DC:(
1
A
D
E
G
O
F
11
) DC=2:1.
K
C B
∴ OD 丄 MF OD 丄 GE. 但 OG
丄 DE
G 又是△ ODE 之垂心 .
易证 OE 丄 CD.
例 13.△ ABC 中∠ C=30°, O 是外心, I 是内心,边 AC 上的 D 点与边 BC 上的
E 点使得 AD=BE=AB. 求证: OI 丄 DE,OI=DE.
(1988
,中国数学奥林匹克集训题 )
分析:辅助线如图所示,作∠ DAO 平分线交 BC 于 K.
易证△ AID≌△ AIB≌△ EIB,
∠AID =∠ AIB=∠ EIB.
利用内心张角公式,有
A
D
O
F
K
30 °
C
∠ AIB=90°+ ∠C=105°,
2
∴∠ DIE=360°-105 °× 3=45°.
1
I
E
B
1
=30
°+
( ∠BAC- ∠BAO)
2
1
1
2
°+
( ∠BAC-60 ° )
2
= 1
∠BAC=∠ BAI=∠BEI .
2
∴ AK∥ IE.
由等腰△ AOD 可知 DO 丄 AK,
=30
∴ DO 丄 IE ,即 DF 是△ DIE 的一条高 .
同理 EO 是△ DIE 之垂心, OI 丄 DE. 由
∠ DIE=∠IDO ,易知 OI=DE.
例 14.锐角△ ABC 中, O,G, H 分别是外心、重心、垂心
. 设外心到三边距离
和为 d
外
,重心到三边距
离和为 d
重
,垂心到三边距离和为
d
垂
.
求证: 1·d
垂
+2·d
外
=3· d
重
.
分析:这里用三角法 . 设△ ABC 外接圆
半径为 1,三个内角记为 A, B,
C. 易知 d
外
=OO
1
+OO
2
+OO
3
A
H
3
G
3
O
3
O
G
O
2
G
2
H
2
C
I
B
=cosA+cosB+cosC,
∴ 2d
外
=2( cosA+cosB+cosC).
第 7 页 共 8 页
O
1
G
1
H
1
①
练 习
∵ AH
1
=sinB·AB=sinB· (2 sinC)=2sinB·sinC,
同样可得 BH
2
·CH
3
.
∴ 3d
重
=△ ABC 三条高的和
=2
·( sinB·sinC+sinC·sinA+sinA· sinB)
②
∴
BH
=2,
sin
BCH
∴ HH
1
=cosC·BH=2·cosB· cosC.
同样可得 HH
2
,HH
3
.
∴ d
垂
=HH
1
+HH
2
+HH
3
=2( cosB· cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)
③
欲证结论,观察①、②、③,
须 证 ( cosB · cosC+cosC · cosA+cosA · cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=
sinB· sinC+sinC· sinA+sinA·sinB. 即可 .
题
1. I 为△ ABC 之内心,射线 AI, BI,CI 交△ ABC 外接圆于 A′,
B′, C ′. 则 AA′+BB′ +CC′>△ ABC 周长 .(1982 ,澳大
利亚数学奥林匹克 )
2. △T′的三边分别等于△ T 的三条中线,且两个三角形有一组角相等 . 求证这两个
三角形相似 .(1989 ,捷克数学奥林匹克 )
3. I 为△ ABC 的内心 . 取△ IBC,△ICA,△ IAB 的外心 O
1
,O
2
,O
3
. 求证:△ O
1
O
2
O
3
与△ ABC 有公共的外心 .(1988 ,美国数学奥林匹克 )
4. AD 为△ ABC 内角平分线 . 取△ ABC,△ABD,△ ADC 的外心 O,O
1
,O
2
. 则
△ OO
1
O
2
是等腰三角形 .
5. △ABC 中∠ C< 90°,从 AB 上 M 点作 CA,CB 的垂线 MP,MQ. H 是△ CPQ
的垂心 . 当 M 是 AB
1
上动点时,求 H 的轨迹 .( IMO-7)
6. △ABC 的边 BC= ( AB+AC) ,取 AB, AC 中点 M,N, G 为重心, I 为内心 .
2
试证:过 A,M, N 三点的圆与直线 GI 相切 .( 第 27 届莫斯科数学奥林匹克 )
7. 锐角△ ABC 的垂心关于三边的对称点分别是 H
1
,H
2
,H
3
. 已知: H
1
,H
2
, H
3
,
求作△ ABC.( 第 7 届莫斯科数学奥林匹克 )
8. 已知△ ABC 的三个旁心为 I
1
, I
2
,I
3
. 求证:△ I
1
I
2
I
3
是锐角三角形 .
9. AB,AC 切⊙ O 于 B,C,过 OA 与 BC 的交点 M 任作⊙ O 的弦 EF. 求证: (1)
△AEF 与△ ABC 有公共的内心; (2) △ AEF 与△ ABC 有一个旁心重合 .
第 8 页 共 8 页
新西兰是哪个洲-山西农业大学信息学院
我国的立国之本-心痛到窒息的说说
月球绕地球一周的时间-坏男孩英文
决心书怎么写-福建高考信息网
测iq-fly名词
一个永一个日念什么-新东方外语学校
如何恢复近视眼-优美短句
全国专业排名-短篇爱情故事
本文更新与2020-10-25 18:19,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/426076.html
-
上一篇:金手指倒角
下一篇:0176.新人教版三年级数学上册7 整理和复习-教学反思