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建模_路灯照明问题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-25 22:00
tags:9970

remain用法-月字开头的成语

2020年10月25日发(作者:温附山)





年级:
班级:电子信息科学与技术
学生:吕佳琪
学号:


数学实验与数学建模
路灯照明问题


大学信息学院














路灯照明问题。
在一条20m宽的道路两侧 ,分别安装了一只2kw和一只3kw
的路灯,它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚,< br>当两只路灯开启时,两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮
的点在哪里?如果3kw的路灯的高度 可以在3m到9m之间变
化,如何路面上最暗点的亮度最大?如果两只路灯的高度均
可以在3m 到9m之间变化,结果又如何?
摘要
本题利用方程(组)模型,求两只路灯连线的路面上的 最暗
点和最亮点。查阅资料知:光照强度公式为
I?k
psin
?

2
r
根据题意可建立坐标轴,假设两只路灯在道路上的照射半径
的长度之和为 20m,可得路面上某点的照度为两只路灯在该
点的照度之和。列出方程,利用MATLAB软件进行求 解,
求出该方程的最值(即最暗点与最亮点及其亮度)。
关键词:
路灯照明 方程(组) MATLAB 最值

一、问题重述
在一条 20m宽的道路两侧,分别安装了一只2kw和一只3kw
的路灯,它们离地面的高度分别为5m和6m 。在漆黑的夜晚,
当两只路灯开启时,两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮
的点在哪里?如果 3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变
化,如何路面上最暗点的亮度最大?如果两只路灯的高度均



可以在3m到9m之间变化,结果又如何?

二、模型假设
1.假设把两个路灯视为质点;
2.假设忽略对路灯光照强度其他因素的影响;
3.假设路灯为同一型号;
4.假设路灯的光照强度
I?k
psin
?

r
2
5.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线;
6.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为20m;
7.假设路灯正常工作;

三、变量说明
K………………………………路灯光照强度系数
P…………………………………路灯的功率
S………………………………道路的宽度
α
i
………………………………路灯光线与地面的夹角
R
i
………………………………路灯到路面上某点的距离
h
i
………………………………路灯离地面的垂直距离
X………………………………2KW路灯的投影到路面上某点
的距离
I
(X)
………………………………路面上某点的光照强度
I
i
………………………………路灯光照强度




四、问题分析

问题一根据两路灯间的距离关系建立坐标轴,利用路灯光照
强度的计算公式列出方程,再用MATLAB软件求解。问题二
由于h
2
的高 度可变,在问题立的方程的基础上,先对X求偏
导,再对h
2
求偏导,最后用MATL AB软件编程求解。问题三
因为h
1
和h
2
的高度都可变,同问题二 ,依次对X,h
1
,h
2

偏导。

五、模型的建立
由题意可得下图



y


P2


P1
R1
R2

h1

Q

α2
α
1



O
X
S

h2
x

假定路灯光照强度系数k=1。
问题一:由题意得,
设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点,则两盏路灯在Q
点的照度分别为




p
1
sin
?
1
p
2
sin
?
2
I
1
?kI?k
22< br>
2
R
1
R
2
h
1
R?h?x

sin
?
1
?
R
1
2
1
2
1
2




h
2
R
2
?h?(s?x)

sin< br>?
2
?
R
2
2
2
2
2


Q

点的照度:
I(x)?
P
1
h
1
((h
1
2
?x
2
)
3
( (h
2
2
?(s?x)
2
)
3
?
P
2
h
2
?
10
(25?x
2
)
3
?
18
(36?(20?x)
2
)
3



要求最暗点和最亮点,即求函数I(x)的最大值和最小值,则
可先求出函数的极值点
I(x)?
'
?3P
1
h
1
x
(h?x)
2
1
25
?
3P
2
h
2
(s?x)(h?(s?x))
2
2
25
?
?30x
(25?x)
25
?
54(20?x)
(36?(20?x)
2
)
5
利用MATLAB求得
I
'
(x)?0
时x的值
代码:
s=solve('(-30*x)((25+x^2)^(52))+(54*(2 0-x))((36+(20-x)^2)^(52))');
s1=vpa(s,8);
s1
运行结果:
s1 =
19.97669581
9.338299136
8.538304309-11.61579012*i
.2848997038e-1
8.538304309+11.61579012*i
因为x>=0,选取出有效的x值后,利用MATLAB求出对应的



I(x)的值,如下表:
x 0
0.028489.3382919.9766
9970 91 95
20
I(x)

0.081970.081980.018240.084470.08447
716 104 393 655 468
综上所述,x=9.33m时,为最暗点;
x=19.97m时,为最亮点。

问题二:3KW的路灯的高度可以在3M到9M 之间变化变化时,
Q点的照度为关于x和h
2
的二元函数:

I(x,h
2
)?
P
1
h
1
(h?x)
2
1
23
?
P
2
h
2
(h?(s?x))
2
2
23
?
10
(25?x)
23
?3h
2
(h?(20?x))
2
2
23

与(1)同理,求出函数I(x,h
2
)的极值即为最暗点和
最亮点

?I
?
2
P
2
23
?
2
3P2
h
2
25
?0

?h
2
(h
2
?(s?x))(h
2
?(s?x))
利用matlab求x:
solve('3((h^2+(20-x)^2)^(3 2))-3*(3*h^2)((h^2+(20-x)^2)^(52))=0')
ans =
20+2^(12)*h
20-2^(12)*h



2
x1=20+2^(12)*h (舍去) x2=20-2^(12)*h

骖騑-bmo


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