第四章 习题参考答案与提示

第四章 习题参考答案与提示
第四章 大数定律与中心极限定理习题参考答案与提示
1. 试利用切比雪夫不等式证明:能以0.97的概率断言,将一枚均匀硬币连续抛
1000 次，其出现正面
H
的次数在400至600次之间。
答案与提示：将一枚均匀硬币 连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验，因此
1000次试验中出现正面
H
的次数服从二项分布。设X表示1000次试验中出现正面
H
的次数，则
X
是 一个随机变量，而所求的概率为
{400600}PX<<=0.975
2．已知随机变量X的概率分布为
X 1 2 3
P 0.2 0.3 0.5
试利用切比雪夫不等式估计事件{().XEX } ?<15的概率。
答案与提示：要利用 切比雪夫不等式，需先根据给出的随机变量分布列求得相应
的期望和方差。
2
{1.5 }101.5DXPXEX?<≥?≈ .729 。
3．设X为非负随机变量，试证；当t时， 0>
tEXtXP?≥<1)(。
答案与提示：PX，而，代入要证的不等式的两侧比较， 会发现证明实质上是对
积分限的放大或缩小，以及变量间暗含的大小关系，很容易就联系到对切比雪夫< br>不等式的证明技巧。 {}()()
t
t F t f x dx
?∞
< = =
∫

()EXxfxdx
+∞?∞
=
∫
4．设为一列独立同分布的随机 变量，且k阶原点矩存在，记作，。试证明：
XXX
n12
,,,,
kkEX
μ
=
kpniki
Xn
μ
?→?
Σ
=1
1。
答案与提示：由题设条件为一列独立同分布的随机变量，以及XXX
n12
,,,,
11
111()
nnkkiikii
EXEXnnnn
k
μμ
==
==?
ΣΣ
= ，可见所证结论与辛钦大数定律的
结论非常类似，即知证明应用独立同分布的辛钦大数定律。
5．在一家保险公司里10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一
个人死亡的概率 为0.006，死亡者家属可向保险公司领得1000元。问：
（1）保险公司亏本的概率多大？

（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率多大？
答案与提示：对于每个人，在一年内要么死亡，要么不死亡，只有这两种可能性，
—1—
第四章 习题参考答案与提示
因此考虑10000个人在一年中是否死亡可看成10000重 贝努利试验，故死亡人数服
从二项分布。因此应用棣莫弗-拉普拉斯极限定理解决该问题。
若设一年中死亡的人数为X，每人的死亡概率就为0.006p=，从而
)006.0,10000(~BX，
保险公司每年收入10000元，需支付1000元。12120000×=X
（1）保险公司亏本的概率近似为零。
（2）一年中保险公司以近99.52%的概率获利40000元以上。
6.100道单项选 择题，每题1分，考生每次从四个答案中选一个正确答案。若一考
生全为乱猜，试用切比雪夫不等式和正 态逼近两种方法计算其成绩15分至35分之
间的概率约为多少？
答案与提示：设X表示考生成绩（选对个数），则X服从二项分布，由切比雪夫
不等式可得 )41,100(B
{1535}0.8125PX<<=；
正态逼近法可得
{1535}0.9792PX<<=。
7．某厂有400台同类机器，各台机器发生故障的 概率均为0.02，假设各台机器工
作是相互独立的，试求机器发生故障的台数不小于2的概率。 答案与提示：设X为机器发生故障的台数，则由题意知，问题化为求XB~(.)400002，
P X{≥2}。以下用三种方法来求解：
（1）利用二项分布， {2}0.9972PX≥≈
（2）用泊松分布作近似计算， {2}0.9970PX≥≈
（3）用正态分布作近似计算（利用定理4-5及4-4的推论1），。 {2}0.8958PX
≥≈
8．假设是来自总体XXX
n12
，，，X的简单随机抽样，已知 ，证明当充分大时，
随机变量EX
kk
=
α
(k=1234，，， )
n
ZnX
nin
=
=
Σ
1
21
i
2
近似服从正态分布，并指出其分布参数。
答案与提示：由假设条件 可知，为来自总体XXX
n1222
，，，X
2
的简单随机抽样，
则 相互独立且与XXX
n1222
，，，
2
X
2
同分布,即，,则由独立同分布的中心极限定
理证明之。 EXin
i22
12==
α
(,,, )

2
DXEXEX
iii2222242
=?=?()()
αα
—2—
__