第四章练习题及参考解答(第四版)计量经济学

第四章练习题及参考解答

假设在模型
Y
i
??
1
?
?
2
X
2i
?
?
3< br>X
3i
?u
i
中，
X
2
与X
3之间的相关系数为零，有人
建议你分别进行如下回归：
Y
i
?
?
1
?
?
2
X
2i
?u
1i

Y
i
?
?
1
?
?
3
X
3 i
?u
2i

?
且
?
?
为什么
?
2
?
?
?
3
?
?
(1) 是否 存在
?
23
?
会等于
?
?
1
或
?
?
1
或者两者的某个线性组合吗
(2)
?
1
?
?Var
?
?
?
?Var
?
?
?
?

?
2
?
且
Var
?
(3) 是否有
Var
?
233
????

【练习题参考解答】
?
且
?
?
。
?
2
?
?
?
3
?
?
(1) 存在
?
23
?
因为
?
2
?
?
yx
?
?
?
x
?
?
?
?
yx
??
?
x
?
?
?
x
??
?< br>x
?
?
?
?
xx
?
i2i
2
3ii3i
2
2i
2
3i
2
2i3i
2i3i< br>x
?

当
X
2
与X
3
之间的相关系数为零时，离差形式的
?
x
2i3i
x?0

?
有
?
2
yx
?
?
?< br>x
?
?
yx
?
?
??
xx
?
?
??
?
?
?
x
i2i
2
2i
2
3i
2
3i
i2i
2
2i
?
2

?
?
?

?
3
?
?
同理有：
?
3
(2)会的。
?
?var
?
?
?
?var
?
?
?
?

?
2
?
且var
?
(3) 存在
var
?
233
????
?
?
因为
var
?
2
??
?
x
?
1?r
?

2
2i
2
23
?
2
??
?x
?
1?r
?
?
?
x
?
?
? var
?
?
?
?

同理，有
var
?
?
?
?
当
r
23
?0
时，
var
?
2
22i
2
23
33
?
2
?
2
2
2i
?
2
?

?
var
?
?

表给出了1995—2016年中国商品进口额Y、国内生产总值GDP、居民消费价格指数CPI< br>的数据。
表 中国商品进口额、国内生产总值、居民消费价格指数

年 份
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
商品进口额
(亿元)Y






















国内生产总值
(亿元)GDP



















643
689
744
居民消费价格指数
(1978=100)CPI






















资料来源：《中国统计年鉴2017》
考虑建立模型：
lnY
t?
?
1
＋
?
2
lnGDP
t
?
?
3
lnCPI
t
?u
i

(1)利用表中数据估计此模型的参数。
(2)你认为数据中有多重共线性吗
(3)进行以下回归：
lnY
t
?A
1
＋A
2
ln GDP
t
?v
1i

lnY
t
?B
1
＋B
2
lnCPI
t
?v
2i


lnGDP
t
?C
1
?C
2
lnCPI
t
?v
3i
根据这些回归你能对多重共线性的性质有什么认识
?
和
?
?
在5%水平上显著，并且F检验也显 (4)假设经检验数据有多重共线性，但模型中
?
23
著，你对此模型的应用有何建议
【练习题参考解答】
建立模型：
lnY
t
?
?1
＋
?
2
lnGDP
t
?
?
3
lnCPI
t
?u
i

(1)利用表中数据估计此模型的参数。

(2)你认为数据中有多重共线性吗
其中居民消费价格指数CPI对商品进口额影响为负，与预期不符合，可能存在多重共线性。
(3)分别进行以下回归：
1）作回归
lnY
t
?A
1< br>＋A
2
lnGDP
t
?v
1i


说明GDP的确对商品进口额有正的影响，是重要变量。
2)作回归
lnY
t
?B
1
＋B
2
lnCPI
t
?v
2i< br>

说明CPI的确对商品进口额有正的影响，是重要变量。
3)作回归
lnGDP
t
?C
1
?C
2
lnCP I
t
?v
3i

说明CPI与GDP也高度相关，这是引起多重共线性的原因所在。

在本章开始 的“引子”提出的“工业增加值增长会减少财政收入吗”的例子中，如果
所采用的数据如表所示，试分析 ：为什么会出现本章开始时所得出的异常结果你怎样解决所
出现的问题
表 2000-2016年财政收入及其影响因素数据 （ 单位：亿元）

年 份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
一般公共预算收入
CZSR

















国内生产总值 税收总额
GDP SSZE

















工业增加值
GYZJZ

















资料来源：《中国统计年鉴2017》
【练习题参考解答】

计算解释变量的相关系数：

解释变量的方差扩大因子VIF ：


这说明由于严重的多重共线性导致工业增加值的参数为负。
工业增加值与国内生产总值、税收 总额都高度相关，为分析工业增加值对一般公共预
算收入是否有负的影响，可删除国内生产总值、税收总 额作回归：

这说工业增加值对一般公共预算收入是有证的租金作用的。不过 国内生产总值、税收
总额都是对一般公共预算收入有重要影响的变量，删除后可能模型会有设定误差。

表是中国家电零售总额及国内生产总值、人均可支配收入、家电广告投放总额、居民
消费价格指数等数据。
表 1997年—2015年中国家电零售总额及相关数据
家电零售总
GDP
X
2
（亿
年份
额
Y
t
（亿元）
元）
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015




























人均可支配收
入
X
3
（元）



















家电广告投放
总额
X
4
（亿
元）



















居民消费价格指数
X
5
（以1996年为
100）




















270844








数据来源:国家统计局(。
（
1）如果请考虑建立模型：
Y
t?
?
1
＋
?
2
X
2t
?
?< br>3
X
3t
?
?
4
X
4t
+
?
5
X
5t
?u
i
，利用表中数据估
计此模型的参 数。

(2)根据模型估计结果，你认为参数估计结果合理吗数据中有吗

(3)分别采用简单相关系数检验法和方差扩大因子法验证模型是否存在多重共线性。
（4）如果存在多重共线性，如何才能解决
【练习题参考解答】
OLS方法估计模型参数，得到的回归结果。

该模型
R?0.9977, R?0.9970
，可决系数很高，F检验值，明显显著。但是当
22
?
?0 .05时t
?
2
(n?k)?t
0.025
(19?5)?2.14 5
，不仅X3、X5的系数不显著，而且X3的符号与预
期相反，这表明可能存在严重的多重共 线性。
计算各解释变量的相关系数。

变量
X2
X3
X4
X5
X2




X3




X4




X5




由相关 系数矩阵可以看出，所有解释变量之间的相关系数较高，证实确实存在一定的多
重共线性。
解释变量的方差扩大因子VIF
被解释变量
X2
X3
X4
X5
方差扩大因子




所有解释变量的方差扩大因子都远大于10，表明存在严重多重共线性问题。
对多重共线性的处理：

将各变量进行对数变换（
X
5
除外），再对以下模型进行估计。

lnY
t
?
?
1?
?
2
lnX
2t
?
?
3
lnX3t
?
?
4
lnX
4t
?
?
5
X
5t
?u
t


该模型
R?0.99 74,R?0.9967
，可决系数很高，F检验值，明显显著。但是取
22
?
?0.05时t
?
2
(n?k)?t
0.025
(19?5)?2 .145
，LNX3和LNX5依然不显著，且LNX3的回归系数符
号与预期不相符，这表明 经对数变换后的模型依然存在严重的多重共线性，需要更进一步的修
正方法。
采用逐步回归方 法筛选并剔除引起多重共线性的变量，最后保留的解释变量为
X
2
和
X
4
，
估计结果为
?
??958.3489?0.0090X2?10.9547X4

Y

t=（）

R?0.9970

R?0.9966

F
=

22
22

该模型中
R? 0.9970,R?0.9966
，可决系数很高，F检验值，明显显著。当
?
?0. 05时t
?
2
(n?k)?t
0.025
(19?5)?2.145
，所有系数估计值高度显著。对系数估计值的
解释如下：在其他变量保持不变的情况下，如果国 内生产总值GDP每增加一亿元，则家电零
售总额将增加90万元；家电广告投放总额每增加一亿元，则 家电零售总额将增加亿元。
表中给出了四川省城镇人均消费支出Y和其相关影响因素城镇居民人均可支 配收入X2、
地区生产总值X3、零售商品价格指数X4以及人口自然增长率X5的数据。

表 2000-2015城镇居民人均消费支出及其影响因素数据

城镇人均
消费支出（元）
Y
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
5315
5661
5932
6312
6970
7577
8305
9559
10608
11701
13457
15687
16649
17899
19318
20114






20307
22368
24234
26205
城镇居民人均
可支配收入
(元)X2





8386

地区生产总
值(亿元)
X3
















零售商品
价格指数（%）
X4










103





人口自然增长
率(‰)
X5













3


（数据来源：四川统计局，国家统计局）
（1）利用以上数据建立回归模型，根据回归结果判断是否存在严重的多重共线性。
（2）若 对所建立的模型中部分变量作对数变换（某些变量不需要进行对数变换），并对
变换后的模型进行估计， 根据回归结果判断是否还存在严重的多重共线性。
（3）若是还存在严重的多重共线性，选择更适合的 模型进行修正，并对修正后的结果
从经济意义上进行解读。
【练习题参考解答】
（1）回归模型估计结果为：

结果中的
R
2
?0.9988
，
R
2
? 0.9984
，非常高，F统计量为，非常显著。但是X2，
X4，X5的t统计量并不显著， 且X2的系数为负，与实际不符。因此可能存在严重的多重共线
性。
计算解释变量的相关系数：

计算方差扩大因子：

（2）由于X4和X5已经是指数和比率，因此只对Y和X2， X3 做对数变换，估计结果为

虽然log(X2)的系数为正，但是依然不显著，说明严重的多重共线性依然存在。
计算变换后的解释变量的相关系数：

计算方差扩大因子：

（ 3）对（1）中回归模型的多重共线性进行修正，由于（2）的对数变换，依然存在严
重的多重共线性， 所以进一步对（1）的回归模型采用逐步回归方法进行修正：
分别作Y对X2、X3、X4、X5的回归，结果为：
变量
参数估计值
X2

X3

X4

X5

t 统计量
R
2



2









R
2

其中，加入
X
3
的方程
R
=最大，以
X
3
为基础，顺次加入其他变量逐步回归。结果如表下
所示。
加入变量
X3、X2

X2


X3、X4
X3



(946129)
X3、X5

2
X4

X5

R
2










经比较，新加入
X
5
的方程
R
=，改进最大，而且各参数的t检验显 著，选择保留
X
5
，再加
入其他新变量逐步回归，结果如表下所示。
加入变量
X3、X5、X2
X2

（）
X3、X5、X4
X3

（）

（）
2
X4

X5

（）
R
2



（）

（）

加入
X
2
、
X
4
后
R
没有改进，而且新加入的变量参数的
t
检验不显著。所以，通过逐
步回归法修正多重共线性最后的结果为：


?
?4213.258?0.5557X?224.8005X

Y
t3t5t

t= （）

R?0.9987

R?0.9985

F
=
结果说明保持其它解释变量不变的情况下地区生产总值每增加1亿元，城镇人均 消费支
出增加元，人口自然增长率每增加1个百分点，城镇人均消费支出将减少元。

检验你在练习题中所建立的多元线性回归模型是否存在多重共线性。如果存在多重共
线性，你 能设法消除或减轻多重共线性的影响吗
【练习题参考解答】
此题无参考解答。

22