等腰三角形内切圆半径公式被积函数是三角函数乘积的不定积分积分方法

2020年10月26日发(作者：茹洪)
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被积函数是三角函数乘积的不定积分积分方
法

作者：龚加安

来源：《课程教育研究》2018年第04期

【摘要】不定积分是高等数学的核心内容，不定积分的积分方法有直接积分、换元积分
等。利用换元积分 有时要先凑微分，然后再换元，但如何凑微分后换元更容易，其中需有一定
的技巧，而且如何适当地选择 变量代换没有一般规律可循。本文主要对被积分函数是三角函数
乘积的不定积分进行研究，得出一些规律 性的结论作以总结。
【关键词】不定积分 换元积分 凑微分
【基金项目】陕西省教育厅科学研究项目（17JK0962）；陕西省职业技术教育学会2016
年度 教育科研规划课项目（SZJY-1657）；商洛职业技术学院2017年度重大课题
（2017JX KT06）。
【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）04-0137-02
不定积分是高 等数学的核心内容，对于不定积分的积分直接利用基本积分表中的公式和不
定积分的性质，只能计算一些 简单的不定积分，仅靠这些能够计算的不定积分是非常有限的。
换元积分法为比较复杂的不定积分提供了 一种方法，它的基本思想是把复合函数的求导法则反
过来用于求不定积分。用这个方法，可以通过适当的 变量代换，把某些不定积分化为基本积分
表中所列积分的形式，从而可以求出不定积分。
换元积分法的第一类是：
定理： 设f（u）是连续函数，F（u）是f（u）的一 个原函数。又若u=φ（x）连续可微，
并且复合运算f[φ（x）]有意义，则
f[φ（x）]φ'（x）dx=f（u）du|u=φ（x）=F[φ（x）]+C
它的作用在于：当所求不定积分的被积函数以复合函数形式出现时，如果能把被积表达式
变为f[φ（x ）]φ'（x）dx的形式，而把φ'（x）dx凑成微分dφ（x），则通过变量代换：u=φ
（x） ，可把原积分f[φ（x）]φ'（x）dx化为f[φ（x）]dφ（x）=f（u）du。只要f（u）du 容易
积出，或可以直接从基本积分公式求得，那么在求得的结果f（u）du=F（u）+c中，再以u =φ
（x）代回还原到原积分变量x，便可得到所求原不定积分的结果。这种积分法的关键是把被
积函数中的一部分与dx凑微分，使被积表达式变成f[φ（x）]dφ（x）的形式，从而可以寻找
出所需作的变量代换：u=φ（x），因此，这类换元积分法也称为凑微分法。