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数学中的几个知识点

作者:高考题库网
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2020-10-26 13:39
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2020年10月26日发(作者:徐乾清)



数学中的几个知识点
课题1: 数的整除
1. 整数和整除的意义
? 整数:正整数、零、负整数统称为整数。
? 自然数:零和正整数统称为自然数。
[例1]是否有最小的自然数?是否有最大的整数?
[解]最小的自然数是0,没有最大的整数。
? 整除:整数
a
除以整数< br>b

b
≠0),如果除得的商是整数而余数为零,就说
a
能被
b

除;或者说
b
能整除
a

注意整除的条件:(1)除数、被除数都是整数;
(2)被除数除以除数,商是整数而且余数为零。
? 除尽与整除的区别:除尽是指除数、被除数不一定是整数、得到的商不是无限小数。
[例2]填空:已 知
a
能整除19,且
a
是正整数,那么
a
是_______ __。
[解]
a
能整除19,那么
a
是1和19。

2. 因数和倍数
? 整数
a
能被整数
b
整除(
b
≠0),
a
就叫做
b
的倍数,
b
就叫做
a
的因数(也称为约数)。
? 一个整数的因数中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
[例3]填空:
36?9?4
中,_________是________的因数,_ _______是________的倍数。
[解]
36?9?4
中,9是36的因数,36是9的倍数。

3. 能被2,3,5整除的数
? 能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。
▲个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
[例4]下列一组数中,哪些是偶数?哪些是奇数?
91,23,78,10,11,351,66,245,0。
[解]偶数有:78,10,66,0;奇数有:91,23,11,351,245。



? 个位是0或5的整数都能被5整除。
[例5]在下列一组数中找出既能被2整除,又能被5整除的数,指出这些数有什么特点?
12,20,35,50,72,90,112,120,105,270。
[解]既能被2整除又能 被5整除的数有:20、50、90、120、270。这些数的特点是个位上的
数是零。
? 一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除。

4. 素数、合数与分解素因数
? 一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫质 数;如果除了
1和它本身以外,还有别的因数,这样的数叫做合数。
? 1既不是素数,也不是合数,这样正整数又可以分为1,素数和合数三类。
[例6]填空:在自然数1 、2、3、4、5、6、7、8、9、10中,其中奇数是________;偶数是
________ ;素数是________;合数是_________。
[解]奇数是1,3,5,7,9;偶数是 :2,4,6,8,10;素数是2,3,5,7;合数是:4,6,
8,9,10.
? 每 个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这
个合数的素因数。把 一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。
[例7]把405分解素因数。
[解]
405?5?81?5?9?9?3?3?3?3?5


5. 公因数与最大公因数
? 几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数(或者称为公约数)。
? 其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
? 如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素。
? 求法:求几个整数的最大公因数,只要把它们所有公有的素因数连乘,所得的积就是它
们的最大公因数。
? 两个整数中,如果某一个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数;
如 果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是1。
[例8]已知:
24?2?2?2?3
30?2?3?5
,求24和30的最大公因数。
[解]24和30的最大公因数是
2?3?6




6. 公倍数与最小公倍数
? 几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
? 求法:求两个 整数的最小公倍数,只要取它们所有的素因数,再取它们各自剩余的素因
数,将这些数连乘,所得的积就 是这两个数的最小公倍数。
[例9]若
A?2?3?3

B?2?3?5< br>,求
A

B
的最小公倍数。
[解]
A
和< br>B
的最小公倍数是
2?3?3?5?90

▲如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数,那么这个数就是它们的最小公倍数。
如果两个数互素,那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。

归纳总结:
知识点一:公因数和最大公因数。
含义




两个自然数中,公有的
因数叫做这两个数的
公因数,其中最大的一
个因数叫做这两个 数
的最大公因数。
特点




两个自然数的 公因数
的个数是有限的,最大
公因数不会大于这两
个数中的小数。
两个自然数成互质关
系时,最大公因数是
1。

用短除法把两个数分
解质因数,再把所有的
质因数乘起来。
11和7成互质关系,
11和7的最大公因数
是1。
求12和18的最大公因

2 12 18
3 6 9
2 3
2、3是12和18
的质因数,所以12和
18的最大公因数是2
×3=6。

常用方法
两个自然数成倍数关
系时,最大公因数是小
数。
举例
3和15成倍数关系,3
和15的最大公因数是
3。



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