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完全平方数大全.

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-26 14:18
tags:2223

Ought什么意思-逸马

2020年10月26日发(作者:傅丰永)


完全平方数
目录
一、定义
二、基础性质及推论
三、重要结论
四、区别
五、特殊的完全平方数
六、范例
1. 例1
2. 例2
3. 例3
4. 例4
5. 例5
6. 例6
7. 例7
8. 例8
七、讨论题
























一、定义及表达式
1、定义:若一个数能表示成某个整数的平方,则称这个数为完全平方数,也叫
平方数。

1.1例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100, 121,144,169,196,225,256,289,324,361,
400,441,484,529,…

2、标准分解式:大于1的平方数n的标准分解式如下:
n?p
其中
k?1 ,p
1
?p
2
?
2.1例如:
2l
1
1
p
2
2l
2
p
k
2l
k

(1)
?p
k
,p
1
,p
2
,p
k
是质数,
l
1
,l
2
,,l
k
是自然 数。
36?2
2
?3
2
,100?2
2
?52
,144?2
4
?3
2
,900?2
2
?3
2
?5
2
,

二、基础性质及推论
观察
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225 ,256,289,324,361,
400,441,484,529,…
完全平方数, 可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下
面我们来研究完全平方数的一些常用性 质:
1、性质1:末位数只能是0,1,4,5,6,9.
(此为完全平方数的必要不充分条件)
证明:设
n
2
(n?N)< br>为完全平方数,
n
0

n
的个位数,则
n
2
的个位数与
n
0
2
的个位数相同。
利用整数同余的知识有
如果
n?n
0
(mod10)
,那么
n
2
?n
0
2
(mod10)


n
0
的全体 是集合
?
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
?

n
0
2
的全体是
?
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81?

n
0
2
的个位数全体是
?
0,1,4, 5,6,9
?
。所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.

2、性质2:奇数的平方的个位数字一定是奇数,偶数的平方的个位数一定是偶
数。
证明 奇数必为下列五种形式之一:
10a?1,10a?3,10a?5,10a?7,10a?9

分别平方后,得







综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
3、性质3:如果十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之也成立
证明 已知,证明 k为奇数。因为k的个位数为6,所以m的个位数
为4或6,于是可设m=10n+4或10n+6。则







∴ k为奇数。
推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不
是完全平方数。
推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。
4、性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。
证明:
这是因为


5、性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到
是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)
2
为8n型或8n+4型的数。
6、性质6:形式必为下列两种之一:3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1,3m+2。平方后,分别得




同理可以得到:
7、性质7:不是5的因数或倍数的数 的平方为
5k?1
型,是5的因数或倍数的数

5k
型。
证明:自然数被5除按余数的不同可以分为五类:
5m,5m?1,5m?2,
m
为自 然数。
(5m)
2
?5?(5m
2
)?5k

(5m?1)
2
?5?(5m
2
?2m)?1?5k?1

(5m?2)
2
?5?(5m
2
?4m?1)?1?5k?1
.

8、性质8:形式具有下列形式之一:16k,16k+1,16k+4,16k+9.
8m,8m?1,8m?2,8m?3,8m?4,

证明:自然数被8除按余数的不 同可以分为八类:
m
为自然数。
(8m)
2
?16?(4m
2
)?16k,

(8m?1)
2
?16(m
2
m)?1?16k?1,

(8m?2)
2
?16(m
2
?2m)?4?16k?4,

(8m?3)
2
?16(m
2
?3m)?9?16k?9,

(8m?4)
2
?16(m
2
?4m?1)?16k.
< br>除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位
数字之和。例如,25 6它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字
和。如果再把13的各位数字相加 :1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。
下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的 各位数字相加,如果得到的数
字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。我们可 以得
到下面的命题:一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面证明这个命题。
证明:设自然数
n?10?a
m
?10
mm?1
?a
m? 1
??10?a
1
?a
0
,

a
m
,a
m?1
,,a
1
,a
0

0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9
之一,那么
n?(a
m
?a
m?1
??a
1
?a
0
)
?99?a
2
?9?a
1

?11?a
2
?a
1
)
?(10
m
?1)?a
m
?(10
m?1
?1)?a
m?1
?
?9?(111?a
m
?111?a
m?1
?
m个1m?1 个1


是9的倍数。即
n?(a
m
?a
m?1
??a
1
?a
0
)(mod9)

关于完全平方数的数字和有下面的性质:
9、性质9:数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式,而





除了以上几条性质以外,还有下列重要性质:
10、性质10:
a?bc
2

c
是自然数)
为< br>完全平方数的充分必要条件是b为完全
平方数。
证明 充分性:设b为完全平方数,则有
b?b
1
2
,

b
1
是那么
a?bc
2
?b
1
2
c
2
?(b
1
c)
2

完全平方数。
必要性:若
a
为完全平方数,则有
a?a
1
2
,则有
a
1
2

c
2
的倍数,从而
a
1

c
的倍数,

a
1
?kc
,则有
a? a
1
2
?(kc)
2
?k
2
c
2
?bc
2
,推出
b?k

完全平方数。
2
11、 性质11:如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方
数。
证明 由题 设可知,a有质因数p,但无因数,可知a分解成标准式时,p的次方
为1,而完全平方数分解成标准式 时,各质因数的次方均为偶数,可见a不是完
全平方数。
性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
即若

则k一定不是整数。
13、性质13:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数 个正因数
(包括1和n本身)。
证明一:设完全平方数
n?
的个数
?
(n)?(2l
1
?1)(2l
2
?1)
p
1< br>2l
1
p
2
2l
2
p
k
2l
k
,由初等数论知识得,
n
的正
因数
(2l
k
? 1)
是奇数。


反之,自然数
n?p
1
t
1
p
2
t
2

t
1
,t
2
,
p
k
t
k
的正
因数的个数
?
(n)?( t
1
?1)(t
2
?1)
p
k
t
k
?p
1
2l
1
p
2
2l
2
(t
k
?1)
是奇数,
,t
k
均为偶数。从而
n?p
1
t
1
p
2
t
2
p
k
2l
k

完全平方数。
证明二:设完全平方数
n?a
2
,那么 每个小于
a
的正因数
a
1
,都有一个大于
a
的正因 数
n
与之对应,这样的正因数就有偶数个,最后还有1个正因数
a
,从而n有奇数个正因
a
1
数。
三、重要结论
1. 个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数。
由性质1得到。
2. 个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。
由性质2得到。
3. 个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。
由性质3得到
4. 形如3n+2型的整数一定不是完全平方数;
5. 形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数;
6. 形如5n±2型的整数一定不是完全平方数;
7. 形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数;
8. 数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
9. 四平方和定理:每个正整数均可表示为4个整数的平方和
10.完全平方数的因数个数一定是奇数。
11、如果
m,n
自然数,且
m?n
是10的倍数,那么
m
2
的个位数与的
n
2
个位数相同。
或者更一般的有:如果
m,n
自然数,且
m?n

10
的倍数,那么m
的末尾k位数与

n
的末尾k位数相同。或者如下书写:
如果
m?n?0(mod10),
那么
m?n(mod10)

证明1(由整数同余式的性质立即可以得到)
22k22kk
证明2:已知
m?10?n
,那么
m?n?(10?n)?n?10(10?2n)

10
的倍数,
kk
k
2
2
k22k
从而
m的末尾k位数与的
n
的末尾k位数相同。
22

四、平方式和完全平方数的区别
完全平方式分两种:
1、完全平方和公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2

(a?b )
2
?a
2
?2ab?b
2


2、
完全平方差公式
a
2
?b
2
?(a?b)(a?b)

区别:完全平方式是代数式,完全平方数是自然数。
五、特殊的完全平方数
1、雷劈数,或名卡布列克数
定义为:若正整数X(在n进位下)的平方可以分割为二个数字 ,而这二个数字
相加后恰等于X,那么X就是(n进位下的)卡布列克数。例如55^2=3025,而
30+25=55。

印度数学家卡普列加(Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986)在
一次旅行中,遇到猛烈的暴 风雨,他看到路边一块牌子被劈成了两半:一半上写
着30,另一半写着25。这时,卡布列克忽然发现 30+25=55,55^2=3025,把劈
成两半的数加起来,再平方,正好是原来的数字。从此他 就专门搜集这类数字。
按照第一个发现者的名字,这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或< br>“卡布列克怪数”,也叫“分和累乘再现数”。
卡氏数可以指平方后的数,亦可指平方前的数,常常不加区分。
求法
人们容易找到 其他的数也具有这样的性质。例如,易知2025具有该性质:
20+25=45,45^2=2025 。
求雷劈数的方法很多,从初等数学到高等数学,应有尽有。以下是两种最简单的
办法(以两 位数+两位数为例):
方法一
设该数的前两位为x,后两位为y,根据定义,有
(x + y)^2 = 100x + y
即 x^2 + 2(y - 50)x + y^2 - y = 0。
该方程的判别式D=4(2500 - 99y)必须是完全平方数,而y 本身也必须是平方数
的尾数,故可求得y等于1或25,从而求得四个结果2025,3025,980 1和0001
(舍去)。
方法二
同样设该数的前两位为x,后两位为y。于是有
(x + y)^2 = 100x + y = x + y + 99x
(x + y)(x + y - 1) = 99x
从而看出x + y与x + y - 1中有一个是9的 倍数,另一个是11的倍数(当然
依照位数不同,也可能是别的因数),从而找出候补者44,55和9 9。下略。


用以上方法,亦可找到其他位数的雷劈数,如7777^2 = 60481729;6048 + 1729
= 7777。目前最小的雷劈数是81
简单性质
一般而言,考察雷劈数时,一般不考虑分割后的一部分全部为0的情况(如10+0 )。
亦不考虑由0开始的数字(如0+1)。
最小的奇雷劈数是9^2 = 81。
最小的雷劈偶数是100:10+0=10 10?=100
如果M^2是雷劈数,那么(10...0 - M)^2也是雷劈数.证明:
设M^2是雷劈数,可以分割成x和y两部分,且M=x+y,y为n位数,则
M^2=10^n*x+y(雷劈数定理)
然而
(10^n-M)^2
=10^(2n)-2M*10^n+M^2
=10^(2n)-2M*10^n+10^n*x+y
=10^(2n)-2M*10^n+10^n*(M-y)+y
=10^n*(10^n-M-y)+y
同样满足雷劈数方程。
在二进制下,所有的完全数都是卡布列克数(同雷劈数)。
雷劈数表
以下用x|y表示一个平方数N可以分割为x和y两部分,(x + y)^2 = N。
y是一位数:10x + y = (x + y)^2
N=0|0, 10|0, 0|1, 8|1
有意义的数只有9^2 = 81。
y是两位数:100x + y = (x + y)^2
0^2 = 0|00, 100^2 = 100|00
45^2 = 20|25, 55^2 = 30|25
99^2 = 98|01, 1^2 = 0|01
其中有意义的数是45^2=2025, 55^2=3025。
0|0...0, 0|0...1, 10...0|0...0这三种属于平凡解,下略。
根据上节的性质,雷劈数必 然成对存在;但9..98|0...01是比较特殊的一类,
与其成对的0|0...1属于平凡解。
y是三位数:1000x + y = (x + y)^2
297^2 = 88|209
703^2 = 494|209
999^2 = 998|001
y是四位数:10000x + y = (x + y)^2
2223^2 = 494|1729
7777^2 = 6048|1729
2728^2 = 744|1984
7272^2 = 5288|1984
4950^2 = 2450|2500
5050^2 = 2550|2500


9999^2 = 9998|0001
y是五位数:100000x + y = (x + y)^2
95121^2 = 90480|04641
4879^2 = 238|04641
82656^2 = 68320|14336
17344^2 = 3008|14336
77778^2 = 60494|17284
22222^2 = 4938|17284
99999^2 = 99998|00001
y是六位数:1000000x + y = (x + y)^2
994708^2 = 989444|005264, 5292^2 = 28|005264
961038^2 = 923594|037444, 38962^2 = 1518|037444
857143^2 = 734694|122449, 142857^2 = 20408|122449
851851^2 = 725650|126201, 148149^2 = 21948|126201
818181^2 = 669420|148761, 181819^2 = 33058|148761
812890^2 = 660790|152100, 187110^2 = 35010|152100
791505^2 = 626480|165025, 208495^2 = 43470|165025
681318^2 = 464194|217124, 318682^2 = 101558|217124
670033^2 = 448944|221089, 329967^2 = 108878|221089
648648^2 = 420744|227904, 351352^2 = 123448|227904
643357^2 = 413908|229449, 356643^2 = 127194|229449
609687^2 = 371718|237969, 390313^2 = 152344|237969
538461^2 = 289940|248521, 461539^2 = 213018|248521
533170^2 = 284270|248900, 466830^2 = 217930|248900
500500^2 = 250500|250000, 499500^2 = 249500|250000
999999^2 = 999998|000001
2、对称的完全平方数
例如
(1)
121?11
2
,4 84?22
2
,
676?24
2

(2)
1020 1?101,
12321?111

40804?202
,
4494 4?212

(3)
1002001?1001,4008004?2002

22
2
222

3、完全平方数与自反数
例如:
(1)
144?12
2
,441?21
2

(2)
169?13,961?31

(3)
12544?112,44521?211,

(4)
12769?113,96721?311,

22
22
22


(5)
14884?122
2
,221?48841,

4、由0,1,2,3,4五个连续自然数组成的五位平方数
23104?152
2
,32041?179
2


六、范例
1、例1
一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。
解:设此自然数为x,依题意可得
x-45=m
2

x+44=n
2

(m,n为自然数)
⑵-⑴可得 :

因为n+m>n-m
又因为89为质数,
所以:n+m=89; n-m=1
解之,得n=45。代入⑵得。故所求的自然数是1981。
2、例2
求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛
题)。
解:设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.
这时,
(n?1)n( n?1)(n?2)?1?n
4
?2n
3
?n
2
?2n?1
(1)
易知该式可被分解为两个二次因式的乘积,设为

得ad =1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1,解得a=d=e=b=1,c =f=-1
故(1)可被分解为

因为n与n+1是连续两个整数,故n(n +1)为偶数,所以[n(n+1)-1]为奇数,即
(n-1)n(n+1)(n+2)+1为一个奇 数的平方。
3、例3


求证:11,111,1111,11111……这串 数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞
赛题)。
解:易知该串数中若存在完全平方数,则为末尾是1或9的数的平方。
当该串数中存在末尾为1的数的平方时,则

其中n、k为正整数。但

易知n
2
需满足十位数为偶数,矛盾。
当该串数中存在末尾为1的数的平方时,则

其中n、k为正整数。但

易知n需满足十位数为偶数,矛盾。
4、例4
用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数?
解:设由300个2和若干个0组成的数为A,则其数字和为600
3|600 ∴3|A
此数有3的因数,故9|A。但9|600,∴矛盾。故不可能有完全平方数。
5、例5 < br>试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字
也相同(1999 小学数学世界邀请赛试题)。
解:设该四位数为1000a+100a+10b+b,则
1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11(100a+b)
故100a+b必须被11整除=>a+b被11整除,又因为(a+b)≤18
所以a+b=11,
带入上式得 四位数=11×(a×100+(11-a)) =11×(a×99+11) =11×11×
(9a+1)
故9a+1必须为完全平方数。 由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得, 9a+1=19、
28、27、46、55、64、73。 所以只有a=7一个解;此时b=4。 因此四位数是
7744=11
2
×8
2
=88×88。
6、例6
求满足下列条件的所有自然数:
⑴它是四位数。
⑵被22除余数为5。
⑶它是完全平方数。
2


解:设,其中n,N为自然数,可知N为奇数。
11|N - 5或11|N + 6

n = 1 不合
n = 2 1369
n = 3 3481 2601
n = 4 6561 5329
n = 5 9025
所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。
7、例7
矩形四边的长度都是小于10的整数(单位:公分),这四个长度数可构成一个
四位数,这个四 位数的千位数字与百位数字相同,并且这四位数是一个完全平方
数,求这个矩形的面积(1986年缙云 杯初二数学竞赛题)。
解:设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B
则该四位数为:1000A+100A+10B+B=11*(100A+B)且为完全平方数
所以100A+B能被11整除=>A+B能被11整除,又因为A+B≤18
故A+B=11
易知100A+B除以11后得数为完全平方数,且各个数位之和为10
验证得该数64
所以A=7,B=4,则四位数是7744
8、例8
求一个四位数,使它等于它的四个数字和的四次方,并证明此数是唯一的。
七、讨论题
1. (1986年第27届IMO试题) 设正整数d不等于2,5,13,求证在集合
{2 ,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b,使得ab -1不是完全平方数。
2. 求k的最大值,使得可以表示为k个连续正整数之和。
3. 某校2001年的学生人数是个完全平方 数。该校2002年的学生人数比上一
年多101人,这个数字也是完全平方数。该校2002年学生人 数是多少?

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