初中数学七年级上册知识点整理及复习提纲

七年级上册知识点总结
第一章 我们与数学同行
本章教学注意点：引导学生 认识到我们是怎样从生活经验中发现并提炼数学知
识的；培养学生思考数学，运用数学的能力；通过经历 获得知识的过程来产生
学数学的强烈冲动，并升级为对数学学习的广泛兴趣。

1.1生活 数学
知识点一：数字与生活
基本知识：一些特定的数字能为我们提供 许多信息，如我们每个人的身份证号
码，通过它可以知道你所在的省、市、县及你的出生年、月、日等，
我们每位同学都有学籍号的编码，通过它可以了解你所在的学校、
班级等。
【典型例题】
例1 邮政编码由6个阿拉伯数字组成，它的前两位数表示省（自治区、直辖
市），第三位数表示邮区代号，第四位数表示市（县）代号，最后两位数代表
邮件投递局（所） 代号。请你说出你学校所在地的邮政编码，并说出它的含义。
例2 据广东省防总最新统计，200 5年6月18日以来暴雨洪水灾害造成54人
死亡和直接经济损失23.58亿元，大约有20万人的生 活受到影响，而且各地
水情、雨情、险情、灾情的威胁依然没有解除，可能要持续一个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少千克救灾粮食？
知识点二：图形与生活
基本知识：小学 中学习过三角形、正方形、长方形、圆等简单的平面图形，学
习过圆锥、圆柱、长方体、正方体、等简单 的立体图形，这些图形在日常生活
中也处处可见。生活中，我们离不开数学，数学已成为我们表达和交流 的工具

1

之一，如生活中数的计算，一些标志图形所表达的信息。
【典型例题】
例1 下水道的出入口以及盖子的形状是圆形而不是正方形、矩形或椭圆形的。
为什么？你是如何解释的呢？
例2 长方形旧羊圈长70米，宽30米，想拆旧羊圈扩大面积，但没有多余的
篱笆，怎么围 可使面积更大？说说你的方法。

1.2活动 思考
知识点一：根据图形寻找规律。
基本知识：用科学的观点解释事物。在实际生活中，有许多观 点都能解释事物，
但往往使事物变得神秘，我们要学会用科学的眼光来看待事物。比
如魔术中， 魔术师让你心里记下一个数字，按他的操作进行，他就
能知道你心中的那个数，这其实就是很简单的数学 。另外，折叠和
拼剪过程中有许多相等的量，使各边联系起来，这都需要我们慢慢
来探索。
【典型例题】
例1 把一张正方形纸片按图对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的
图形应为（ ）。
例2 如图，将△ABC（AB=AC,BD=DC）沿AD剪成两个直角三角行，将这两个三
角形拼成一个四边形，你能拼出所有形状的四边形吗？画出所拼的四边
形的示意图。


2

A
剪开
B
D
C

知识点二 ：探索数与数之间的规律，初步建立数量关系 。
基本知识：（1）一些特定事物本身就有许多的关系，如月历中的规律：
a-1
横行：相邻的两数相差1。
a a+1

a-7
竖列：相邻的两数相差7。
a
a+7

（2）事物在发展中也 有许多规律，如探索数列中的规律时，就要先从
数列中的前几个数寻找规律，然后用数列中后面的数验证 规律。
【典型例题】
例1 如图，这是2008年4月份的月历，现用如图所示的十字框任意框出

日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
116 7 8 9 1
0 1 2
1111111
3 4 5 6 7 8 9
2222222
0 1 2 3 4 5 6

3

2223
7 8 9 0
（1） 十字框框出的5个数与十字框中间的数有什么关系？
（2） 如果十字框框出的5个数的和为105，十字框中间的数是多少？
（3） 十字框框出的5个数的和可以是60 吗？
例2 根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空。
1
2 3

4
3
15
6

5
35


8


【经典真题】

例1 （泰州）按右边
3?3
方格中的规律，在 下面4个符号中选择一个填入方
格左上方的空格内（ ）
A． B． C． D．

例2 （宜宾）如图，将一列数按图中的规律排列下去，那么问号处应填的数
字为 。
① ① ② ③ ④ ⑥ ⑨ ? ? ？
例3 （内江）把一张正方形纸片按如图（3）对折两次后，再挖去一个小圆孔，
那么展开后的图形应为（ ）。
图（3）


4

A． B． C． D．

例4 （临汾）如图，表中的数据是按一定规律排列的，从中任意框出五个数
字， 请你用含其中一个字母的代数式表示a、b、c、d、e这五个数字的和
为 。


b
a
c
e
d
1 2 3 4 5
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45




第二章 有理数
本章教学注意点:本章内容以直观的“数感”“符号感 ”为生活背景，创设有理
数的各种现实背景。要求在具体情境中，理解有理数及其运算的意义；能用数< br>轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的
意义，会求有理数的 相反数与绝对值；经历探索有理数运算法则和运算律的过
程，掌握有理数的混合运算，理解有理数的运算 律，并能用运算律化简运算；
能借助身边熟悉的事物体会大数，并会用科学记数法表示大数。

2.1比0 小的数
知识点一：正数和负数
基本知识：正数和负数的定义及表达方法

5

11
（1）像3，1 ，0.7，15%等大于0的数叫做正数；像-1、-2 ，-0.3，
23
-π等小于0的数叫做负数。
（2）正数前面可加“+ ”（读作“正”）号，如8也可以写作+8，读作“正
八”，但正好经常省略不写。负数前面的“-”（ 读作“负”）号不能
省略，如“-8”读作“负八”。（注意：带负号的数不一定是负数，
如- a）
（3）0既不是正数，也不是负数。
【典型例题】
例1 以下各数中，哪些是正数？哪些是负数？
11
5.8，46%，- ， ，0.2，-0.001.
32
1
例2 有理数-7，10.1，- ，80，0中，正数有 ，整数有 ，
6
非负数有 ，正分数有 。
知识点二：相反意义的量
基本知识：（1）相反意义的量可 以用正数和负数来表示。如上升3m与下降2m
可以表示成+3m与-2米；
（2）在利用正、负数表示相反意义的量时，有如下规定：如果正数
表示某种意义（如向东），那么负数 表示相反的意义（如向西）；如
果负数表示某种意义（如向东），那么正数就表示相反的意义（如
向西）。
【典型例题】
例1 （1）在知识竞赛中，如果用+10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？
（2）某次 乒乓球质量检测中，一只乒乓球的质量超出标准质量0.02克
记作+0.02克，那么-0.03克表 示什么？

6

例2 全班同学参加水平测试的平均成绩为83分 ，如果得分85分记作+2分，
那么得分90分和80分应分别记作 、 。
知识点三：有理数
基本知识：有理数的定义及分类
（1）整数和分数统称为有理数。
（2）①按整数、分数的关系分类： ②按正数、负数和0的
关系分类：
正整数
整数
0
负整数
有理数
有理数
正分数
分数
负分数
正有理数
0
负有理数
负分数
正分数
负整数
正整数

（注意：含分数线的数不一定是分数，如
例1 下列说法中，正确的是（ ）。
A. 正整数和正分数统称为正有理数
B. 正整数和负整数统称为整数
C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数
D. 0不是有理
1124
例2 把- ，+5，-63，0，6.9，- ，2 ，-7，210，0.031，-43，-10%填
2135
在相应的括号内。
正数集：｛ …｝；
整数集：｛ …｝；

1
不是分数，也不是有理数）
π

7

非负数集：｛ …｝；
负分数集：｛ …｝。
【经典真题】
1
例1 （泸州）在0，-2，1， 这四个数中，最小的数是（ ）
2
1
A．0 B.-2 C.1 D.
2
例2 （桂林）如果向东走3m记作+3m,那么向西走5m记作 m 。
例3 （温州）在0，1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（ ）
A.0 B.1 C.-2 D-3.5

2.2数轴
知识点一：认识数轴
基本知识：数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的画法：（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。
（2）在直线上选取一个点为原点，并用这个点表示零
（在原点下标0）。
（3）确定正方向（一般规定向右为正），并用箭头表
示出来。
（4）选取适当的单位长度，以原点为界点，从原点向
右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，
3，…，从原点向左，依次标上-1，-2，-3，…。
【典型例题】
例1 如图中所给的数轴是否正确？如果不正确，请说明原因。


8

-1 0 1 0
-1 -2 0 1 2 3

知识点二 ：在数轴上表示有理数
基本知识：所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不
一定都是有理数。
我们规定：（1）数轴上的原点表示0；
（2）数轴上原点右边的点表示正数；
（3）原点左边的点表示负数。
【典型例题】
35
例1 在数轴上画出表示下列各数的点：3，-1，0， ，- .
42
知识点三：在数轴上比较有理数
基本知识：利用数轴比较有理数的大小：
（1） 数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数；
（2） 正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数。
【典型例题】
例1 在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把它们连接起来。
1
4 ，-3，-2，0，2.5，0.3，-4.5
3
例2 如图，请在数轴上用“· ”表示比1小2的数。
-2 -1 0 1 2


9

知识点四：利用数轴处理简单实际问题
【典型例题】
例1 已知A、B是数轴上的点。
（1）若点A表示-3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则B
点表示的数是 。
（2）若将点A向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点A
表示的数是 0，那么点A原来表示的数是 。
例2 小明家、学校、书店在同一条笔直的东西走向 大街。一天下午，小明从
学校（记作O点）出发，向西走30m到了家里（记为A点），拿钱后从家向东
走80m来到了书店（记作B点）买书，当他从书店出来向家走了65m时（记为
C点）遇到了 小红。
（1）以学校（O点）为原点，向东为正方向，建立数轴，并在数轴上标出A、
B、C、O
点的位置；
（2）C点位于学校的哪个方向，离学校的距离是多少？
知识点五：有理数与表示数的点到原点的距离的关系
【典型例题】
例1 如果数 轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，则点A、点
B各代表什么数？A、B两点间的距离 是多少？
【经典真题】
例1 （自贡）写出一个有理数，使它是小于-1的数： 。
例2 （湛江）在-2、0、1、3这四个数中比0小的数是（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 3
例3 (盐城)数轴上到原点的距离为2的点所表示的数是 。


10

2.3绝对值与相反数
知识点一：正确理解绝对值与相反数的概念
基本知识：相反数
（1） 代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个数是
另一个数的相反数，0的相反数是0
（2） 几何意义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示
的数互为相反数。
（3） 表示方法：一般地，数a的相反数为-a，同样，-a的相反数为a.
多重符号的化简
多重符号的化简有如下规律：“+”的个数不影响化简结果，若一个数字的前面有偶数个“-”，其结果为正；若一个数字的前面有奇数
个“-”，其结果为负。
绝对值
（1）定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
（2）几何意义： 一般地，数a的绝对值表示在数轴上与a对应的点到原
点的距离，记作︱a︱;反过来，︱a︱表示数a 到原点的距离。
（3）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的
相反 数；零的绝对值是零。
【典型例题】
例1 求下列各数的相反数。
1
-3，2，0，-1
2
例2 化简：-（-2），-（+2），+（-2），+（+2）
例3 一个数的绝对值等于6，求这个数。
知识点二：有理数大小的比较

11

基本知识：应用绝对值比较有理数的大小
（1）两个正数，绝对值大的正数大；
（2）两个负数，绝对值大的负数反而小。
有理数的大小比较
（1）数轴上的数，右边的数总大于左边的数。
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
（3）两个负数，绝对值大的反而小。
【典型例题】
例1 比较-7与-9的大小。
例2 若a=-3
1
3
，b=-3.14，c=-π，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c
【经典真题】
例1 （福建晋江）-2的相反数是 。
例2 （苏州）-
1
3
的绝对值等于 。
例3 （无锡）比较-
111
2
，-
3
，
4
的大小，结果正确的是（ ）
A．-
1
2
＜-
1
3
＜
1
4
B．-
1
2
＜
1
4
＜-
1
3
C．
111
4
＜-
3
＜-
2
D
-
11
2
＜
4

例4 （泰州）化简-（-2）的结果是
A．-2 B．-
11
2
C．
2
D．2

2.4有理数的加法与减法

12
．-
1
3
＜

知识点一：有理数的加法
基本知识：有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝。对值相加。
（2） 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对
值较大的加数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值
（3）一个数与0相加，仍得这个数。
【典型例题】
例1 计算：
（1）（-5）+(-6)；（2）（-10）+（+2）；（3）（-8） +（+8）；（4）0+(-7)
知识点二：有理数加法运算律
基本知识：有理数加法运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a
(2)加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)
【典型例题】
例1 计算：
（1）（+26）+（-14）+（-16）+（+18）；
11
（2）4.1+（+ ）+（- ）+（-10.1）+7
24
知识点三：有理数的减法运算
基本知识：有理数的减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
具体步骤：①将减号变成加号，把减数的相反数变成加数；
②按照加法运算的步骤运算。
【典型例题】
例1 计算：

13

1
（1）（-1.25）-（+3 ）；（2）-75-35
4
例2 计算：
（1）（+9）-（+10）+（-2）-（-8）+3；（2） -5.13+4.62+（-8.47）-（-2.3）
【经典真题】
例1 （南通）-6+9=等于 （ ）
A．-15 B.+15 C.-3 D+3
例2 （重庆）计算：︱-3︱+（2-3）+（-1）
例3 （杭州）如果
a?b?0
，那么
a
，
b
两个实数一定是
A.都等于0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数

2.5有理数的乘法与除法
知识点一：有理数的乘法
基本知识：有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相
乘都得0.
多个有理数相乘符号的确定
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决 定。当负因数
有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
【典型例题】
221
例1 计算：（1）-20×3；（2）（-1 ）×（-2 ）；（3）（-2010 ）×0
353
23
例2 计算：（1）3×（-4）；（2）（-6）×（-3.5）；（3）1 ×（- ）；（4）0
34
23
×（- ）×
32

14

知识点二：有理数的乘法运算律
基本知识：有理数的乘法运算律
（1）交换律：a×b=b×a
(2 ) 结合律：（a×b）×c=a×(b×c)
（3）分配律：a×（b+c）=a×b+a×b
【典型例题】
例1 计算：
11153
（1） × ×（- ）×35；（2）（1- + ）×（-24）
35768
例2 计算：
1221
（1）30×（ - + ）；（2）（-10）×（- ）×（-0.1）×（-6）
2353
知识点三：倒数的概念
基本知识：倒数的定义
乘积为1的两个数互为倒数，其中一个称为另一 个数的倒数。若a、
b互为倒数，则a×b=1；若a×b=1，则a、b互为倒数。
负倒数的定义
乘积为-1的两个数互为负倒数。
【典型例题】
例1 求下列各数的倒数
32
（1）-2010；（2） ；（3）-0.2；（4）4 .
43
1
例2 - 的倒数是（ ）。
3
11
A．-3 B.3 C. D.-
33

15

知识点四：有理数的除法
基本知识：有理数的除法法则
1
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a÷b=a× (b
b
≠0)。
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一
个不等于0的数都得0.
有理数乘除混合运算
有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符
号，最后求出结果。
例1 计算：
（1）（-3
4113
）÷2 ；（2）（-2.25）÷1 ÷(- ).
15382
例2 计算：
（1）（-144）÷（-24）；（2）-
【经典真题】
例1 （镇江）（-2）×（-3）= 。
例2 （无
锡）



5
例3 （山东） 的倒数是 。
3
492
÷（+ ）
819

16

11
例4 （新疆）3÷ ÷ = 。
44

2.6有理数的乘方
知识点一：有理数的乘方
基本知识： 一般地，a·a·a·……·a（n个a），记作a?,读作“a的n次方”。
求相同因数的积的运算叫 做乘方。乘方运算的结果叫做幂。在a?
中，a叫做底数，n叫做指数。a?看做是a的n次方的结果时 ，也
读作a的n次幂
乘方运算的符号法则
由有理数的乘法运算可知：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何非0次幂都是0。
【典型例题】
例1 填空：
（1）（-4）?读作 ，底数是 ，指数
是 。
（2）-4?读作 ，底数是 ，指数
是 。
例2 计算：
22
（1）（-4）?；（2）-4?；（3）（- ）?；（4）- ?
33
知识点二：科学记数法
基本知识：科学记数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成a×10?的

17

形式，其中1≤a＜10，n是正整数。这种记数法称为科学记数法。
【典型例题】
例1 用科学记数法表示下列各数
（1）38400；（2）-473.1；（3）0.49×10?
例2 若一个数用科学记数法表示为4.58×10?，则原数的整数位数有
位。
【经典真题】
例1 （常州）立方等于-64的数是 。
1
例2（苏州）若x=2,则 x?的值是（ ）
8
1
A. B.1 C.4 D.8
2
例3 2008年北京奥运会圣火在全球传递的里程为137000km，用科学记数法表
示为（ ）
A.1.37×10?km B.137×10?km C.1.37×10
5
D.137×10
5

例4 如果a的倒数是1，那么a
2009
等于（ ）。
A.-1 B.1 C.-2009 D.2009

2.7有理数的混合运算
知识点一：有理数的混合运算
基本知识：有理数的混合运算的顺序
先乘方，再乘除，最后加减，如果有括号，先进行括号内的运算。
【典型例题】
例1 计算：
71331
（1）1 ÷（-4 + ）×（-3 ）；（2）[1-（1-0.5× ）]×[2-(-3)
2
]
82443

18

例2 计算：
2531731
（1）（-3）
2
×[（- ）+（- ）]；（2）（ - - ）×（60× -60× +60
39521277
5
× ）
7
知识点二：能应用有理数的运算解决有关应用题
【典型例题】
例1 某地出租车收费标准是：起步价10元，可乘3km；3km到5km，每km价
格1.8元；5km后 ，每千米价格2.7元。
（1） 若某人乘坐了5km的路程，请计算出他应支付的费用；
（2） 若他支付了19元车费，你能算出他乘坐的路程吗？
例2 某种金属丝，当温度上 升1℃时伸长0.002mm，当温度下降1℃时缩短
0.002mm。现将这种金属丝先从20℃加热 到80℃后，再冷却至10℃时，金属丝
的长度经历了怎样的变化？最后的长度比原长度伸长多少？
【经典真题】
例1 （苏州）计算：（-3）
2
+（-2）
3
+︳-3︳-（-1）
例2 （贵阳）符合“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1） f（1）=0，f（2）=1，f（3）2，f(4)=3,…
1111
（2） f( )=2,f( )=3,f( )=4,f( )=5…
2345
利用以上规律计算：f(
1
)-f(2008)= .
2008
例3 (绍兴)在等式3×□-2×□=15的两个方格内分别填入一个数，使 这两个
数是互为相反数且等式成立，则第一个方格内的数是 。
第三章 用字母表示数
本章教学注意点：列代数式是本章的一个重点。运用代数的方法解决问题，关

19

键是把问题中的数量关系用代数式表示出来，列代数式的实质是把文字语 言转
化成代数语言，涉及文字语言中的词语与数学中的一些运算、符号关系，涉及
语言叙述中所 表达的运算顺序问题。学习列代数式的关键在于通过具体问题由
浅入深地弄清问题中的基本数量关系，进 行基本数量关系的语言表述与代数式
表示之间的互化。合并同类项是整式加减的基础，而且在后继的学习 中，它也
是基本的思想方法，因此合并同类项又是一个难点。它的学习关键是准确掌握
判别同类 项的两条标准及合并的方法。去括号涉及去括号前后各项符号的变化
即什么时候变，什么时候不变等问题 ，容易发生遗漏，或以偏代全，不能真确
理解“各项”含义，因而也是学习的难点，对于去括号法则，关 键是把括号前
面的符号看成统一体，不能拆开。

3.1字母表示数
知识点一：字母表示数及数量关系
基本知识：用字母表示数
用含有字母的式子来表示数量之间的关系，也就是用字母表示数，
用字母表示数后，数量之间的关系更加 简明，更具普遍性。
【典型例题】
例1 填空：
（1）比m大10的数为 ；
（2）温度由30℃下降t℃后是 ℃；
（3）产量由a kg增长了10%，就达到 kg；
（4）食堂有煤p吨，若每天烧q吨，则共可烧 天。
例2 （1）我们知道：23=2×10+3；325=3×10
2
+2×1 0+5；类似地，1583=
×10
3
+ ×10
2
+ ×10+ ；
（2）若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则此

20

三位数可表示为 。
知识点二：用字母表示数学规律
基本知识：用字母表示数学规律
用字母可以将数与数之间的关系、规律 等直观的表示出来，这一过
程体现了“有特殊到一般“，再由“一般到特殊”的认识规律和思
想 方法。
【典型例题】
例1 观察下列各式：
9-1=8；
16-4=12；
25-9=16；
36-16=20；
……
这些等式反映了自然数间的某种规律。设n（n≥1）表示自然数，用关于
n的等式表示这个规律为 。
例3 填空：
（1）大客车上有a名乘客，中途下车b名，又上车c名，大客车还有 名
乘客。
（2）一件上衣有x m布，一条裤子用y m布，10套这样衣服用 m布。
（3）一桶油连桶重a kg,桶本身重1 kg,将油平均分成4份，没份 kg。
（4）每100 kg小麦可出面粉80 kg，b kg小麦可出面粉 kg。
（5）一班有x名学生，二班比一班少3名学生，两班一共有 名学
生。
（6）每辆汽车可装a袋化肥，每袋化肥重50 kg，n kg化肥总共装 辆
汽车。

21

【经典真题】
例1 （西 宁）回收废纸用于造纸可以节约木材。根据专家估计，每回收1t
废纸可以节约3m
3
木材，那么回收a t废纸可以节约 木材。
例2 （南通）一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5
个排球共需要 元。
例3 （锦州）观察下面几个算式：
1+2+1=4
1+2+3+2+1=9
1+2+3+4+3+2+1=16
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
……
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+4+……+99+100+99+……+3+2+1= 。

3.2代数式
知识点一：代数式
基本知识：代数式的概念
用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和表示数的字母连接而
成的式子称为代数式，单独一个或一个 字母也是代数式。
代数式的书写
（1）当数字与字母相乘 时，乘号通常省略不写或简写为“.”,并且数字
在前,字母在后,若数字是带分数,要化为假分数。
(2)字母与字母相乘时,乘号通常省略不写或简写为“.”。
（3）除法运算通常写成分数的形式。
【典型例题】

22

例1 指出哪些是代数式，哪些不是代数式。
（1）m-3；（2）m2
+3m;(3)m+1≠0；（4）S=πr
2
；（5）x＞-4；（6）0。
1ab
例2 下列各式：①3 a；②（a+b）÷c；③x
2
+y；④ ；⑤a×b÷c；⑥axy3。
23
其中符合书写规范的个数为（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点二：单项式、多项式、整式
基本知识：单项式、多项式、整式
（1）单项式、多项式和整式的概念
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字
母也是单项式。
几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不
含字母的项叫做常数项。
单项式和多项式统称为整式，整式是代数式的一个组成部分。
（2）单项式、多项式的次数与单项式、多项式的系数
单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。多项式的
各项的系数应包括数字前的符号。
【典型例题】
例1 下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？如果是单项式，指出它
们的系数；如果是多项式，指出它的每一项。
1
（1）a
2
；（2 ）x
2
-y
2
；（3）- x；（4）m
2
-3m+2；(5)πr
2
。
2
例2 下列说法正确的是（ ）

23

1
A.0、b、 都是整式
x
B.单项式a没有系数
C.没有加减运算的代数式是单项式
D．x
2
-2xy-y
2< br>是由x
2
、-2xy、-y
2
三项组成。
知识点三：列代数式及代数式的实际意义
基本知识：列代数式的方法及代数式的实际意义
（1）列代数式：把实际问题中与数量有关的词语用代数式表示出来就是
列代数式。 列代数式的关键是抽象出实际问题中的数量关系。
（2）代数式的实际意义：表示代数式的 意义时，实际问题中的字母和数
要有实际意义，且符合实际，其中的运算要能准确简明地说明运算顺序。
【典型例题】
例1 用代数式表示：
（1） x的平方与y的和的一半；
（2） a加上b的和与-2的积
（3） x与y两数和的平方；
（4） x、y的平方和。
例3 某公园的门票价格为成人10元，学生5元。
（1） 一个旅游团有成人x人，学生y人，那么该团应付门票多少元？
（2） 如该团成人为37人，学生15人，应付门票多少元？
【经典真题】
例1 （三明）列代数式：比m小3的数是 。
例2 （镇江）用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（ ）
A.(3a-b)
2
B.3(a-b)
2
C.3a-b
2
D.(a-3b)
2

例3 (台州)某超市进了一批商品，每件进价为a元，若要获利25%，则每件

24

商品的零售价应定为
A.25%a B.(1-25%)a C.(1+25%)a D.

3.3代数式的值
知识点一：代数式的值
基本知识：代数式的值
（1）根据问题的需要，用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数 式
中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值。
（2）代数式中的字母在取值时必须保证： ①取值后代数式有意义；②取
值的字母自身所表示的数量关系有意义。
求代数式的值
（1） 求代数式的值的步骤：
① 用具体的数值代替代数式中的字母，简称“代入”；
② 按照代数式指明的运算顺序计算出结果，简称“计算”。
【典型例题】
1
例1 当x=-5时，求代数式- x
2
+5x+12的值。
2
例2 当
a-b2（a-b）a+b
=2,求代数式 - 的值。
a+ba+b3(a+b)
a

1+25%
【经典真题】
例1 （连云港）当x=-1时，代数式x
2
+2x+1的值是（ ）
A.-2 B.-1 C.0 D.4
例2 (镇江)a平方的2倍与3的差，用代数式表示为 ；当a=-1时，
此代数式的值为 。
例3 (无锡)在有理数的原有运算法则中我么补充定义新运算“⊕”如下：

25

当a≥b时，a⊕b=b；当a＜b时，a⊕b=a.
则当x=2时，（1+⊕）·x-(3⊕x)的值为 （“·”和“一”仍为实数运
算中的乘号和减号）。

3.4合并同类项
知识点一：同类项
基本知识：同类项的概念
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项。
（1） 同类项必须同时具备两个条件：①所含字母相同，②相同字母的指
数分别相同。
（2） 同类项与系数无关，与字母排列顺序也无关。
（3） 几个常数项也是同类项。
（4） 一个项的同类项有无数个，它本身也是它的同类项。
【典型例题】
下列各组中的两项是不是同类项?
1
(1)x
2
y和3xy
2
；（2）8和-7；（3） x
2
y
3
和3y
3
x
2
；（4）m
2
和n
2
。
3
知识点二：合并同类项
基本知识：合并同类项
（1）概念：根据乘法对加法的分配律把同类项合并成一项叫做合并同类
项。
（2）合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母
和字母的指数不变。
（3）合并同类项的步骤：
①找出同类项，可用不同的记号标出同类项；
2

26

②利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；
③写出合并后的结果。
【典型例题】
例1 合并同类项。
1
2
1
2
1
2
（1） x- x+ x
246
(2)6x
2
y+2xy-8x
2
y
2
-4 y-5xy+2y
2
x
2
-6x
2
y
(3)-3 a
m-1
+5a
m
+3a
m-1
-7a
m
-4
例2 下列合并同类项正确的是（ ）
A.8a-3a=5 B.7a
2
+2a
3
=9a
2
C.3ab
2
-2a
2
b=ab
2
D.3a
2
b-2ba
2
=a
2
b
【经典真题】
1
例1 (淮安)若- a
x
b和2ab
1-y
是同类项 ，则x-y
2006
的值为（ ）
3
A.1 B.-3 C.-1 D.0
例2 (山东)七年级（9）班个给“希望工程”捐款x元， 七年级(1)班比（9）
班多10元，七年级（8）班捐的钱是（9）班的2倍少30元，这三个班共捐 款
元。
1
例3 （海南）求代数式的值：2x
2-5xy+2y
2
-x
2
-xy-2y
2
-3x
2
+5,其中x=-1,y=-
2

3.5去括号
知识点一：去括号
基本知识：去括号
（1）去括号的意义：在有理数运 算中，有括号时，通常是先算括号内的，
然后去掉括号；而在代数式的运算中遇到括号时，却往往无法先 进
行括号内的运算或先算括号内的相对复杂，因而要先去掉括号，才

27

能使运算得以顺利进行。
（2）去括号法则：括号前面是“+”号 ，把括号和它前面的“+”号去掉，
括号里各项的符号都不改变；括号前面的是“-”号，把括号和它< br>前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变。
【典型例题】
例1 去括号：（1）a+(b-c-d)；(2)a-(b+c-d)
知识点二：整式的加减
基本知识：整式的加减
整式加减的实质是合并同类项，整式加减的一般步骤是：
（1）如果有括号，则先去括号
（2）如果有同类项，再合并同类项。
【典型例题】
例1 先去括号，再合并同类项：
（1）3x-(2x-3y)+(-5y+1)；(2)5a-3(2a- 1)+2(a+3)；（3）x-{-x+[2x-(-x)]}
【经典真题】
例1 （金华）化简a+b+(a-b)的最后结果是（ ）
A.2a+2b B.2b C.2a D.0
例2 (南宁)长方形一边为4m+n,另一边比它小m-n，则这个长方形的周长为
（ ）
A.4m+n B.8m+2n C.14m+6n D.12m+8n
例3 (河南)当y为正数时，多项式y
3
-5y
2
-2y+1与 多项式-y
3
+5y
2
+4y的和一定
是（ ）
A.奇数 B.偶数 C.分数 D。无法确定
第四章 一元一次方程
本章教学注意点：本章的难点是建立方程模型，解决实际应用问题。熟练地解

28
2

一元一次方程，关键在于正确地了解方程、方程的解的意义和 运用等式的两个
性质。而正确地列出方程，关键在于正确分析实际问题中的已知数、未知数，
并 找出能够表示实际问题全部含义的一个相等关系。在经历建立方程模型解决
实际问题的过程中提高分析问 题和解决问题的能力，并体会数学的应用价值。

4.1从问题到方程
知识点一：方程及一元一次方程
基本知识：方程及一元一次方程的概念
含有未知数的等式叫做方程。若一个程的两边都是整式，只含有一个
未知数，且含有未知数的次数为1， 那么这个方程叫做一元一次方程。
【典型例题】
例1 下列等式是一元一次方程的是（ ）
1
A.3x+2y+1 B.y+ y=8 C.m+n=4 D.3x
2
=2
3
知识点二：列一元一次方程
基本知识：根据题意列方程的步骤
（1）审题：分析题目中的已知量和所求量；
（2）设元所求的量即为所设未知数（直接设法）
（3）确定等量关系；用含未知数的代数式将等量关系中的各量表达出来
（列方程）。
【典型例题】
例1 根据条件“x与3的和的2倍是18”列方程为 。
例2 某工厂今年五月份生产电视机2050台，这比去年五月份产量的2倍还多
150 台，这家工厂去年五月份生产电视机多少台?用方程描述问题中的等量关
系。

29

【经典真题】
例1 （湘潭）某市在端午节准备举行划龙舟大赛，预计15 个队共330人参加。
已知每个队一条船，每条船上认数相等，且每条船上有1人击鼓，1人掌舵，其余的人同时划桨。设每条船上划桨的有x人，那么可列出一元一次方程
为 。
例2 （宜宾）小明准备为希望工程捐款，他现在有20元，后每月打算存10
元，若设x月 后他能捐出100元，则下列方程中能正确计算出x的是( )
Ａ．１０ｘ＋２０＝１００ Ｂ．１０ｘ－２０＝１００
Ｃ．２０－１０ｘ＝１００ Ｄ．２０ｘ＋１０＝１００
例3 （白银）某商店销售一批服装，每件售价１５０元，打８折出售后，仍
可获利２０元，设 这种服装的成本价为每件ｘ元，则ｘ满足的方程
是 。

4.2解一元一次方程
知识点一：方程的解与解方程
基本知识：方程的解与解方程
（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，有
时也叫做方程的根。
（2）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
检验方程的解
判断一个数值是否是方程的解，主要将这个数值分别代入方程左右
两边的代数式中，能使两边分别相等的 那个未知数的值，才是方程的解。
【典型例题】
例1 下列以2为解的方程式（ ）

30

11
A.x+3=6 B. x+4=0 C.2x-4=x-2 D. x+5=5
32
知识点二：等式的基本性质
基本知识：等式的基本性质
性质一：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍
是等式。
性质二：等式两边同时乘（或除以）同一个不等于0的数，所得结果仍是等
式。
【典型例题】
例1 在下列方程中，变形正确的为（ ）
①有3x+6=0变形，得x+2=0；②由5-3x-x=7变形，得-2x=2；
3
③由 x=2变形,3x=14；④由4x=-2变形，得x=-2
7
A.①③ B.①②③ C.③④ D.①②④
知识点三移项
基本知识：移项的概念
移项的概念：方城中某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另
一边，这样的变形叫做移项。
【典型例题】
例1 下列方程是由3x=4x-1移项变形得到的，其中正确的是（ ）
①3x-1=4x；②3x-4x=1；③3x-4x=-1；④4x=3x-1.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
例2 方程4x+6=3x-8移项后，正确的是（ ）
A.4x+3x=6-8 B.4x-3x=-8+6 C.4x-3x=-8-6 D.4x-3x=8-6
知识点四：解一元一次方程

31

基本知识：解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程 的基本思路是通过对方程变形，把含有未知数的项
移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，最终把方 程转化为
“x=a”的形式。
解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法
去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数
变形依据
等式性质2
去括号法则、乘法分
配律
移项 将含未知数的项移到方程一边，常数项移到等式性质1
另一边
合并同类化方程ax=b(a≠0)的形式
项
系数化为方程两边同时除以未知数的系数a，得方程等式性质2
1
b
的解为x=
a
合并同类项法则
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号
【典型例题】
例1 解下列方程：
310.2x+0.50.03+0.02xx-5
（1） x+2=3- x；（2）4（x+0.5）+x=17；（3） - =
440.50.032
例2 若y
1
=3x+4,y
2
=-5x+6
(1)x取何值时，y
1
与y
2
相等？
（2）x取何值时，y
1
与y
2
互为相反数？
【经典真题】
1
例1 （上海）如果x=2是方程 x+a=-1的根，那么a的值是（ ）
2

32

A.0 B.2 C.-2 D.-6
例2 （重庆）方程2x-6=0的解为 。
例3 （自贡）方程3x+6=0的解的相反数是( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3

4.3用方程解决问题
知识点一：列方程解决实际问题
基本知识：列方程解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，明确已知量、未知量各是什么，确定等量关系；
（2）设：设出未知数，可以直接设元，也可以间接设元；
（3）列：根据等量关系，用含未知数的代数式、已知数将各量表示出来，
得到方程；
（4）解：求出所列方程的解；
（5）验：检验所求未知数的值是否符合方程及实际问题，并写出答案；
（6）答：回答所提出的问题。
【典型例题】
例1 某张月历上竖列中 相邻的三个数的和是54，则月历中该列的第一个数
是 。
例2 某种商品按原价的8折出售仍可获利20%，若按原价出售，则可获利
（ ）。
A.30% B.40% C.50% D.60%
知识点二：实际问题中常见的数量关系
基本知识：常见的等量关系
（1）数字问题
对于数的和、差、倍、分问题，数字及数位问题，题目中常直接告

33

诉等量关系或用“多”“少”“大”“小”等来表明等量关系。
（2）面积、体积问题
长方形的面积=长×宽；
三角形的面积=底×高÷2
长方体的体积=长×宽×高；
圆的面积=πr
2
(r为圆的半径).
(3) 行程问题
路程=速度×时间。
（4）比例问题
全部数量=各份数量之和。
（5）工程问题
工作总量=工作效率×工作时间；
合作工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率。
（6）利润问题
商品的利润=商品售价-商品进价；
商品的利润率=
商品利润
×100%；
商品进价
售价=标价×打折数；
售价-成本价=成本价×利润率。
（7）调配问题
分工问题：甲人数+乙人数=总人数；
分物问题：甲物数+乙物数=总物数；
（8）储蓄问题：本金×利率=利息。
较复杂的几种等量关系
（1）在行程问题中又有几类问题：

34

①相遇问题：路程=时间×（甲速度+乙速度），即各段路程之和等于总
路程；
②追及问题：乙速度×时间-甲速度×时间=甲先行路程；
③航行问题：顺水（风）速度=静 水（风）速度，逆水（风）速度=静
水（风）速度-水（风）速度。
（2）在工程 问题中，一般工作量可用1表示，工作效率可用工作时间的
倒数表示，即工作效率=
【典型例题 】
例1 一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，如果把十位数字与个位数字
对换，所得 的两位数比原数小36，求原来的两位数。
例2 要锻造直径为80mm，高为2cm的圆柱形零件需取半径为20mm的圆钢多
长？
【经典真题】
例1 (佳木斯)如图，某商场正在热销2008年北京奥运会的纪念品，小 华买了
一盒福娃和一枚奥运徽章，已知一盒福娃的价格比一枚奥运徽章的价格贵120
元，则一 盒福娃价格是 元。
例2 （北京）京津城际铁路于2008年8月1日开通运营 ，预计高速列车在北
京，天津间单程直达运行时间为0.5h。某次试车时，试验列车由北京到天津的< br>行驶时间比预计时间多用了6min，由天津返回北京的行驶时间与预计的时间相
同。如果这次试 车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时行驶40km，那么
这次试车时由北京到天津的平均速度是 多少？
例3 （长沙）“5.12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷。某服装厂原有4
条 成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000
顶帐篷支援灾区。若启用1 条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐
1

工作时间

35

篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐 篷178
顶。
（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？
（ 2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎
样体现你的社会责任感？

第五章 走进图形世界
本章教学注意点：本章的重点是认识几何图形，掌握组成几 何图形的基本要素
点、线、面，能从不同的角度画出几何的平面图形，难点是画几何体图形及利
用几何体的平面图形认识几何体。主要是提高学生的观察、操作、想象、交流
能力，以及发展空间观念。 因此，学习时应要求学生主动参与数学活动，经历
观察、操作、想象、交流、反思等过程，善于从现实世 界中“发现”图形，学
会与同伴合作交流。分类、对比和转化是本章主要的数学思维方法。

5.1丰富的图形世界
知识点一：生活中的几何体
基本知识：生活中常见的几何体
生活中常见的几何体如图：
圆柱 圆锥 正方体 长方体 棱柱 球 棱锥

【典型例题】
例1 将以下物体与相应的几何体用线连接起来：
足球 魔方 金字塔 字典

36

棱锥 正方体 球 长方体
例2 在六角螺母、地球仪、足球、书本、热水瓶胆中，形状类似于棱柱的个
数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
知识点二：几何图形的基本要素
基本知识：几何图形的基本要素
点、线、面是几何图形的基本要素。
（1）面：分为平面与曲面。
（2）线：面与面相交得到线，线有直的也有曲的。
（3）点：线与线相交得到点。
【典型例题】
例1 下列说法中错误的是（ ）
A.直线没有宽度和长度
B.平面没有厚度和面积
C.直线和平面相交只能得到一个点
D.面包括平面和曲面，线包括直线和曲线
知识点三：几何体的分类
基本知识：几何体的分类
几何体的分类不是唯一的，常见的分类方法有：
（1）按柱体、椎体、球体分类；
（2）按组成几何体的面是平面还是曲面来分类；
（3）按有无顶点进行分类。
【典型例题】
例1 如图，将下列几何体分类，并说

37
理由明。

知识点四：柱体和椎体
基本知识：柱体和椎体的特征
（1）棱柱与棱锥
①任何相邻两个面的交线叫做棱，其中，相邻两个侧面的交线叫做侧
棱，底面与侧面的交线叫做底边。
②棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点。
③棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥顶点。
④棱柱的侧棱长相等，棱柱的上、下底面是相同的多边形。
⑤棱柱的侧面可能是长方形，也有可能是平行四边形，如斜棱柱；棱
锥的侧面都是三角形。
（2）圆柱与圆锥
①概念
圆柱：由两个底面和一个侧面所组成。两个底面是平面，侧面是曲
面。
圆锥：由一个底面和一个侧面所组成。底面是平面，侧面是曲面，
有一个顶点。
②圆柱和圆锥的相同点与不同点
相同点：它们的底面都是平面，侧面都是曲面。
不同点：圆柱由三个面组成：两个平面、一个曲面，而圆锥由两个
面组成： 一个平面、一个曲面；圆锥有一个顶点而圆柱没有顶点。
【典型例题】
例1 如图，根据这个六棱柱填空：
(1)这个棱柱的上、下底面是 边形，有 个侧面，共 个面；

38

（2）这个棱柱有 条棱，共有 条棱；
（3）这个棱柱共有 个顶点。
例2 下列说法不正确的是（ ）。
A.长方体和正方体都有6个面 B.三棱柱有3个面，3条棱
C.棱柱的上、下底面是完全相同的图形 D.圆锥的底面是圆
【经典真题】
例1 （安徽）下列说法中，正确的是
（ ）
A．棱柱的侧面可以是三角形
B． 有六个大小一样的正方形所组成的图形是正方形的展开图
C． 正方形的各条棱都相等
D．棱柱的各条棱都相等
例2 （湖北）下列物体的形状类似于球的是
（ ）
A． 茶杯
B． 羽毛球
C． 乒乓球
D． 白炽灯泡
例3 （西安） 一个正方体，六个面上分别写有六个连续的整数（如图所示），
且每两个相对面上的数字和相等，本图所 能看到的三个面所写的数字分别是
3,6,7，问：与它们相对的三个面的数字各是多少？为什么？


39

6
3
7




5.2图形的变化
知识点一：图形的变化
基本知识：图形变化的方式
(1)平移:在平面内,将某一个平面图形沿着一定的方向移动,这种图形
的平行移动简称为平移.
平移后的图形与原图形的形状、大小完全相同，平移有方向和距离。
(2)旋转：将一个图形绕一个定点（或定直线）沿着某个方向（顺时针
或逆时针）转动一定的角度，这 样的图形运动叫做旋转。
（3）翻折：将平面内的一个图形沿着某条直线对折，得到一个 与原图
形完全相同的图形，这一图形的变化过程叫做翻折。
点、线、面之间的关系
点动成线，线动成面，面动成体。
【典型例题】
例1 如图，虚线左边的图形绕虚线旋转一周，能形成的几何体是 ( ）

40

例2 如图，把第一排中的平面图形绕虚线 旋转一周，能形成第二排中的某几
个图形，请把两排中的对应的图形分别用线连接起来.
(A
)
(B
)
(C
)
(D
)

例3 下列各图形中，不是由翻折而形成的是（ ）

【经典真题】
例1 （盐城）将下面的直角梯形绕直线l旋转一周，可以得到右边立体图形
的是 （ ）

41

A B C D

例2 （盐城）如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得
的图形是（ ）
上折 右折 沿虚线剪开 展开

A B C D

例3 （贵阳）。如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为
cm
2
。



42

例4 （南京）如图，菱形ABCD（图1）与菱形EFGH（图2）的形状、大小完
全相同。
请从下列序号中选择正确的序号填写：
①点E，F，G，H；
②点G，F，E，H；
③点E，H，G，F；
④点G，H，E，F。
D H
A C E G
B
图1
F
图2

如果图1经过一次平移后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别
是 ；
如果图1经过一次轴对称后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别
是 ；
如果图1经过一次旋转后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别
是 ；


5.3展开与折叠

43

知识点一：正方体的展开与折叠
基本知识：正方体的展开与折叠
把正方体的表面展开形成平面图形，有很多种形状。如果将经过平
移、旋转、翻折可以重合的两个图形看 成是同一图形，那么正方体
的展开图有11种。
我们可以将这11种图形分类。
第一类：有4个正方形在一条线上时，其余2个 正方形在这条直线
的两侧的任意位置，这样图形可称为“一四一”型如图（1）-（6）。
第二类：有3个正方形在一条线上，且有2个位置固定，剩余1个
正方形在这条线的另一侧3个位置中任 意一个位置上，这样的图形
可称为“二三一”型，如图（7）-(9).
第三类：“三三”型如图（10）和“二二二”型如图（11）。
(1) (2) (3)
（4）
(5)
（6）
(7)
（8）
(9)
（10）
(11)

【典型例题】

44

例1 下列选项中的图形不是正方体的平面展开图的是（ ）



A



知识点二：棱柱与棱锥的展开与折叠
基本知识：棱柱与棱锥的展开与折叠
（1）棱柱的底面是两个形状相同的多边形（可以是正多边形，也可以不
是正多边形）侧面都是长方形， 并且长方形的一边（侧棱）都相等，
是六棱柱的一种展开图。

B C
D

（2）棱锥的侧面展开图的侧面都是三角形，这些三角形的公 共点就是
棱锥的顶点，底面是一个多边形，它的棱数与侧面积、底面的变
数相等。如图是四棱锥 的一种展开图。


棱柱和棱锥的侧面与底面边长的关系

45

棱柱的侧面都是长方形，并且长方形的一组对边的长度都相等 ，
另一组对边的长与底面的边长对应相等 ；棱锥的侧面都是三角形，
三角形的公共点就是棱锥的顶点，这个公共点所对的各边与底面的
边 长对应相等。
【典型例题】
例1 下列图形是正三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A B C D

知识点三：圆柱与圆锥的展开与折叠
基本知识：圆柱与圆锥的展开与折叠
通过实践操作可知，圆柱的展开图 ：上、下底面为两个圆，侧面为
一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。圆锥
的展开图：底面是一个面，侧面展开图是一个扇形，它的弧长等于
底面圆的周长，如图。









46

【典型例题】
例1 若一个圆柱的底面半径是4cm，高是6cm，用纸围 成这个圆柱的侧面，至
少需多大面积的长方形纸（结果保留π）。
【经典真题】
例1 （西宁）将图1可以折成一个正方体形状的盒子，折好后与“迎”字相
北
喜 迎 奥 运
京
对的字是 。
例2 （启东）给出两个等边三角形纸片 如图，要求用其中一个剪成底面是等
边三角形的三棱锥，另一个剪成上下底面是等边三角形的直三棱柱。 请你设计
一种剪拼的方法，分别在图上用虚线画出来。


例3 （青岛 ）如下图，在圆锥的底面圆周A点处有一只蚂蚁，要从侧面爬一
圈后，再回到A点，请你结合圆锥的侧面 展开图，设计一条最短路线。
·
A


47

5.4从三个方向看
知识点一：三视图的概念
基本知识：三视图的概念及常见几何体的三视图
（1）主视图、左视图与俯视图的概念
我们从不同的方向观察同一物体，可以看 到不同的图形。其中从正
面看到的图形叫做主视图，从左面看到的图形叫做左视图，从上面
看到 的图形叫做俯视图。习惯称这三种视图为三视图。
（2）常见几何体的三视图：

视图
几何体

主视图 左视图 俯视图












●

48

【典型例题】
例1 如图，圆柱的左视图是（ ）




49

正面
A B C D

知识点二：三视图的画法
基本知识：三视图的画法
（1）通常把俯视 图画在主视图的正下方，把左视图画在主视图的正右方，
并且主视图和左视图高度相等，主视图与俯视图 的长度相等，左视
图和俯视图的宽度相等。
（2）画几何体的三视图时，要想象出 从不同的方向能看到什么，不能看
到什么，将看不到的部分用虚线表示出来。
（3 ）对于由若干个小方块组成的简单组合体，画它的三视图的关键是确
定它们有几列，以及每列方块的个数 和所处位置。
【典型例题】
例1 画出如图中图形的三视图。





知识点三：由三视图确定物体
基本知识：由三视图确定物体
根据三视图来确定几何体，关键要发挥空间想象能力，根据主视图、
左视 图、俯视图的形状，通过想象把它们整合成一个立体图形。
【典型例题】

50

例1 如图是一个几何体的三视图，你能描述出这个几何体的名称吗？





主视图


【经典真题】
例1 （福建）如图所示的物体时一个几何体，其主视图是
（ ）
左视图
俯视图
A B C D

例2 （南昌）一个几 何体是一些大小相
同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图
如图所示，则组成这个几何体的小正 方块
最
．
（ ）
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个


例3 （岳阳）下面的三个图形是某几何体的三种视图，则该几何体是
多
．
俯视图 主视图
有

51

（ ）
正视图 左视图 俯视图

Ａ．正方体 Ｂ．圆柱体 Ｃ．圆锥体 Ｄ．球体

第六章 平面图形的认识（一）
本章教学注意点：本章的重点是线段、射线、直线、角的概念 以及它们的表示
方法，同时还要掌握余角、补角、对顶角的性质，并会应用它们解决实际问题。
难点是对线段、射线、直线、角的概念的理解，以及角度的换算制和它们在生
活中的具体应用。在本章的 学习过程中，一定要结合生活中的实际，加深对线
段、射线、直线、角等概念的区别和联系的理解。同时 在角的简单和、差计算
中，一定要注意度、分、秒的换算是六十进制。

6.1线段、射线、直线
知识点一：线段
基本知识：线段的概念、表示方式、性质和中点
（1）概念：日常生活中，一个拉 紧的绳子，一根竹竿都给我们以线段的
形象。线段是直的，它有两个端点，可以度量。
（2）线段的表示方法：用线段的两个端点的大写字母来表示，或用一个
小写字母来表示。如图，以AB 为端点的线段记作“线段AB”或“线
段BA”；还可以用“线段a”来表示图中的线段AB。

a
A B


52

(3)线段的基本性质：两点之间的所有线段中，线段最短。两点之间线< br>段的长度，叫做这两点之间的距离。
（4）线段的中点：把一条线段分成相等的两条 线段的点叫做线段的中点。
1
如图，点C是线段AB的中点，则AC=BC= AB或AB=2AC=2BC。
2
A C B

线段的长度及延长线的概念
（1）距离是指线段的长度，是一个数值，而不是线段本身。
（2）线段的长度可以用刻度尺度量或用圆规度量。
（3）利用直尺可以将线段向任何一端延伸，延伸的部分称为延长线，通
常用虚线来表示。
注意·提点：
（1）线段是一个没有定义的原始概念，线段是直的，有两个端点，能比
较大小，线段不向外延伸。
（2）用线段两个端点的大写字母来表示线段时，要在字母前加上“线段”
两字。
（3）用小写字母表示线段时，要在字母前加上“线段”两字。
【典型例题】
例1 如图，指出图中有哪几条线段？
A C O B

例2 图中共有线段的条数为（ ）

53

E
D
C
B
A

知识点二：射线
基本知识：射线的概念及表示方法
（1）射线的概念：把线段向一方无限延伸所形 成的图形就是射线，如图，
把线段OM向一方无限延伸，就得到一条射线，点O是这条射线的
端 点。
O M

（2）射线的表示方法：用射线上的端点和射线上的另外 任意一点的两个
大写字母表示。如图中的射线可以表示为“射线OM”。
注意·提点
（1）射线只有一个端点，向一方无限延伸，故射线不可以度量，不能比
较大小。
（2）端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，端点不同的射
线也不是同一条射线。
（3）表示射线时，表示端点的字母必须写在前面。
【典型例题】
例1 如图，指出图中有几条射线？可以用字母表示的有哪几条射线？
A B C
D

例2 图中共有几条射线，可用字母表示的请表示出来。

54

A B

知识点三：直线
基本知识：直线的概念、表示方法及基本性质
（1）直线的概念：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线。如数轴就
是一条直线。
（2）直线的表示方法：①在直线上任取两点，用表示这两个点的大写字
母来表示这条直线，如图中的直 线，记作“直线AB”或“直线BA”，
与字母排列顺序无关；②用一个小写字母来表示一条直线，如图 中
的直线，可以用“直线l”来表示，要在图中写出此小写字母。
l
A B

【经典真题】
例１ （新疆）下列说法中，正确的有
（ ）
（１）过两点有且只有一条线段；
（２）连接两点的线段叫做两点的距离；
（３）两点之间，线段最短；
（４）ＡＢ＝ＢＣ，则点Ｂ是线段ＡＣ的中点；
（５）射线比直线短。
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

例２ （天津）把一条长为２０ｃｍ的线段 分成三段，中间的一段长为８ｃｍ，
则第一段中点到第三段中点的距离为 ｃｍ。
例３ （石家庄）经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点可以画直线的条数为

55

（ ）
Ａ．只能一条 Ｂ．只能三条
Ｃ．三条或一条 Ｄ．不能确定

6.2角
知识点一：角的概念
基本知识：角的概念
（1）角是由两条具有公共端 点的射线所组成的图形；其中这个公共端点
叫做角的顶点，两点射线分别叫做角的边。
（2）角也可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形。
注意·提点
（1）角的两条边是射线，角的大小与边的长短无关。
（2）角的本质属性：角必须有一个顶点和两条边，两者缺一不可。
【典型例题】
例1 下列说法中正确的是（ ）
A.角是由一条射线绕着它的端点旋转所组成的图形
B.角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而组成的图形
C.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
D．由两条射线组成的图形叫做角
知识点二：角的表示方法
基本知识：角的表示方法
角的几何符号用“∠”表示，读作“角”。
（1）用三个大写字母表示，并把顶点放在中间，如图中的角记作∠AOB
或∠BOA。

56

A
O B

（2）当以某一点为顶点的角只有一个时，可用角的顶点字母表示，如图
中的角可记作∠P。
P

（3）用数字表示，如图中的角可记作∠1。
1

（4）用希腊字母表示，如图中的角可记作∠α。
α

【典型例题】
例1 如图，在∠AOB的内部有两条射线OC、OD，则图中共有几个角？
B
D
C
A

知识点三：角的度量与换算
基本知识：角的度量与换算
（1）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器度量的方法步骤

57

是：①对中心（角的顶点与量角器中心重合）；②重合边（角的一
边与量角器的零度线重合） ；③读数（读出角的另一边所在线的度
数）。
（2）角的单位及换算：角的单位主 要有“度”“分”“秒”；符号分别是
把周角平均分为360等分，每一份就是1°的角。
1°=60′，1′=60″，1″=（
【典型例题】
例1 （1）用度、分、秒表示54.12°；
（2）用度表示32°44′24″。
例2 计算下列各题
（1）76°35′46″+27°41′35″；（2）136°1 7′15″-98°36′45″；
（3）16°15′25″×7；（4）109°11′4″÷7。
知识点四：角的比较与画法
基本知识：角的比较与画法
（1）角的比较 ：一是叠合法，即把角叠合起来。使两个角的顶点及一边
重合，角的另一边放在重合边的同侧，可比较出 它们的大小；二是
度量法，即用量角器将要比较大小的两个角的度数量出来，然后进
行“度数” 比较，度数大的则角大。
（2）角的画法：①用量角器可以画出0°到180°之间的任意 度数的角；
②一些特殊的角还可以用一副三角尺，如15°，30°，45°，60°，
75° ，90°等角；③可以用圆规和直尺画一个角等于已知角。
【典型例题】
例1 用三角尺画15°的角。
例2 利用一副三角尺能作出大于0°而小于180°的角的个数为（ ）
1
）′
60

58

A.4 B.6 C.11 D.13
知识点五：角平分线
基本知识：角的平分线
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两部分，这条
射线就是这个角的平分线。
1
如图，若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC= ∠AOB或∠
2
AOB= 2∠AOC=2∠BOC。
B
C
O A

【典型例题】
例1 已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC =20°，其角平分线为ON，则
∠MON的大小为 。
例2 角的平分线是一条（ ）
A.直线 B.射线 C.线段 D.以上都不对
【经典真题】
例１ （苏州）某校初一年级在下午3：00开展“阳光体 育”活动．下午3：
00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于 度
例２ （湘潭）如下图，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中
?AOB?
.

Ａ
Ｏ

例３ （杭州）如图，已知∠α，∠β，用直尺和圆规求作一个∠γ，使得∠
Ｂ

59

１
γ＝∠α－ ∠β。（只需做出正确图形，保留作图痕迹，不必写出做法）
２
α β


6.3余角、补角、对顶角
知识点一：余角、补角
基本知识：余补角的定义、表示方法及性质
（1）余角的定义及表示方法
① 概念：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互 为余角，简称
互余，其中的一个角叫做另一个角的余角。
② 符号表示：若∠ α+∠β=90°，则∠α与∠β互余；反之，若∠α
与∠β互余，则∠α+∠β=90°。若∠α=9 0°-∠β，则∠β=90°
-∠α。
（2）补角的定义及表示方式
① 定义：如果两个角的和为一个平角，这两个角叫做互为补角，简称
互补，其中的一个角叫做另一个角 的补角。
② 符号表示：若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补；反之，若∠< br>α与∠β互补，则∠α+∠β=180°。若∠α=180°-∠β，则∠β
=180°-∠α。
（3）余角、互角的性质
同角（或等角）的余角相等。同角（或等角）的补角相等。
【典型例题】

60

例1 如果∠α+∠β=90°，而∠β与∠γ互余，那么∠α与∠γ的关系是
（ ）
A.互余 B.互补 C.相等 D.不确定
例2 如果∠1的补角是∠2，∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ）
1111
A. (∠1+∠2) B. ∠1 C. (∠1-∠2) D. ∠2
2222
知识点二：对顶角
基本知识：对顶角的概念、表示及性质
（1）对顶角的概念：若两个角有公共顶点，而且一个角的两边分别是另
一个角两边的反向延长线，这样 的两个角叫做对顶角。
（2）符号表示：如图，直线AB、CD相交于点O，我们把其中的 ∠1、∠3
叫做对顶角，∠2、∠4也是对顶角，∠1与∠2是邻补角，∠2与
∠3也是邻补角 。
A
D
2
1
4
C
3
B

（3）对顶角的性质：对顶角相等。
【典型例题】
例1 如图，AB、CD相交于点O，且∠AOE=90°，那么下列结论错误的是（ ）
E
C
B
O
D
A


61

A.∠AOC与∠COE互为余角
B.∠BOD与∠COE互为余角
C.∠COE与∠BOE互为余角
D.∠AOC与∠BOD是对顶角
例2 如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE.若∠EOB=30°，则∠
AOC= 。
C E
A
B
O
D

【经典真题】
例１ （四川资阳）如图，ＣＡ⊥ＢＥ与点Ａ，ＡＤ⊥ＢＦ与点Ｄ，下列说法
正确的是（ ）
A、∠α的余角只有∠B
B、∠α的邻补角是∠DAC
C、∠ACF是∠α的余角
D、∠α与∠ACF互补
1
例2 （南京）一个角的余角比这个角的补角的 还小10°，求这个角的余角
3
及这个角的补角。
例3 （河南）如图：雨后初晴 ，小明站在操场上点B的位置，看到大楼CD
的顶部C在水泡E中的像（点B、E、D在同一直线上）， 已知∠1 =∠2，∠A +
∠2 = 90°，∠1 = 35°，求∠A的度数。
C



62
A
1
D E
2
B

例4 （福建福田）已知∠1=30°，则∠1的余角度数是
（ ）
A．160° B.150° C.70° D.60°

6.4平行
知识点一：平行线的概念及表示
基本知识：平行线的概念及表示方法
（1）平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
（2）平行线的表示方式
平行线用符号“∥”表示。如图，直线AB与直线CD平行，记作AB
∥CD，读作“直线AB平行于直 线CD”。如果用a、b分别表示两条
直线，那么这两条平行线还可以记作a∥b，读作“直线a平行于 直
线b”。a∥b也可以写成b∥a,AB∥CD也可以写成CD∥AB，这是由
于平行是相互 的。
【典型例题】
例1 如图，图中平行线的组数为（ ）

63

D E
C
A
F B

例2 下列各组图形中，（ ）中的两个图形是平行关系。
A
O
l
A
A
B
C D
O
L2
A
O
C
C
B
L
1

D

知识点二：平行线的画法
基本知识：平行线的画法
用直尺和三角尺过已知点画已知直线的平行线：
①一放：使三角尺的一边与已知直线重合；
②二靠：把直尺的一边紧靠在已放好的三角尺的另一边上；
③三推：沿直尺推动三角尺，使原来和已知直线重合的一边经过已知
点；
④四画：过三角尺经过已知点的边画直线。
所画的直线就是所要求的过已知点与已知直线平行的直线。
【典型例题】
例1 用三角尺和直线画平行线。

64

（1）在图（1）中过点A画MN∥BC；
（2）在（2）中过点P画PE∥OA，交OB于点E；过点P画PH∥OB,交OA于点
H；
（3）在如图（3）中过点G画GE∥DA，与AB交于点E；过点C画CF∥DB，与
AB的 延长线交于点F。
A A D C
●
P
B A B
B
(1)
C O
(2) (3)

知识点三：平行线的性质
基本知识：平行线的性质
（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
【典型例题】
例1 下列说法中，正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平 面内不相交的两
条射线是平行线；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；
④ 在同一平面内，不相交的两条线段必平行。
A.0 B.1 C.2 D.4
例2 已知直线AB∥EF，直线CD与AB相交于点P。试问 ：直线CD与EF相交
吗？会与EF平行吗?为什么？
【经典真题】
例1 （辽宁）下列命题中正确的个数有

65

（ ）
（１）不相交的两条直线一定平行；
（２）连接两点的线段，叫做两点之间的距离；
（３）经过一点有且只有1条直线与已知直线平行；
（４）有公共顶点的两个角是对顶角；
A、3 B、2 C、1 D、0
例2 （台州）如图，已知直线AB∥CD，∠1=50°，则∠2= 。
A 2 B
C 1 D

6.5垂直
知识点一：垂线的概念及表示
基本知识：垂线的概念及表示
（1）垂线的概念：如果两条直线相交成直角，那么 这两条直线互相垂直，
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。当两条直线互相垂直时，其
中一条 直线叫做另一条直线的垂线。
（2）垂线的表示方法：如图，直线AB、CD互相垂直，垂 足为O，记作
AB⊥CD，垂足为O；也可以记作CD⊥AB，垂足为O。读作“AB垂直
于C D或CD垂直于AB”。画图时，在垂足处常用角标志“”。
如果两直线分别用a、b表示，则直线a、b互相垂直也可以表示为
a⊥b或b⊥a。
【典型例题】
例1 下列说法中正确的个数为（ ）

66

①两条直线相交，若所成的四个角中有一个是直角，则这两条直线互相垂
直；②两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；
③两条直线相交，若所成的四个角 相等，则这两条直线互相垂直；④两
条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直。
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点二：垂直的画法
基本知识：垂直的画法
画垂 线通常有两种情况，一是过直线上一点画已知直线的垂线，如
图（1）；二是过直线外一点画已知直线的 垂线，如图（2）。
l l
a
P
a
(1)
（2）

画法：（1）用量角器画垂线。
（2）用三角尺画垂线：①落：使三角尺的一条直角边落在已
知直线上；②过：移动三角尺，使三角尺的 另一条直角
边经过已知点；③画：沿过已知点的直角边画线。
（3）用方格纸画垂线。
方格纸中的横线和竖线互相垂直，如图，若要画AB⊥BC，
只需找准长方形的对角线即可

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【典型例题】
例1 如图，已知线段AB及线段AB外一点P，求过点P画线段AB的垂线。
●
P
P
A B A B

例2 画一条线段的垂足在（ ）
A.线段上 B.线段的端点 C.线段的延长线上 D.以上都
有可能
知识点三：垂线的性质
基本知识：垂线的性质
（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，也可以
简单地说成垂线段最短。
点到直线的距离
点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
【典型例题】
例1 如图，AC⊥BC，点C为垂足，则下列说法错误的是（ ）

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A.在AB、BC、CA中，AB最长
的长是点C到直线AB的距离
的长是点A到直线BC的距离
的长是点B到直线AC的距离
C
B
A

例2 如图，按要求画图：
（1）画出表示点A到点B的距离的线段，用a表示在图上；
（2）画出表示点A到直线n的距离的线段，用b表示在图上。
A
m
B
n


【经典真题】
例1 （新疆）如图，已知∠ABC=9 0°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB，求证：（1）
CD⊥CB；（2）CD平分∠ACE。

A
D


B
1
2
C

E



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例2 （武汉）据中央气象台预告：一台风中心在大海A处生成，并向正北方
向运 动，在A处北偏西30°方向，距A处60nmile处有以沿海城市B。
（１）用1mm表示1nmile，在图中确
北
定沿海城市B的位置；
（ ２）想一想当台风中心运动到何处
时，离城市B的距离最近？在图
中确定此时的位置，量一量最 近
西
B
的距离是多少？实际距离是多
少？
A
东 < br>（３）如果台风中心的风力是12级，每离台风中心6nmile风力就下降1级，
而当台风大于 8级时，城市将会受到台风破坏，问此次台风会对B城市
产生破坏吗？

例3 （南通）如图，在方格纸中，直线AC与CD相交于点C。
（１）过点E画直线EF，是EF⊥AC
（２）分别表示（1）中三条直线之间的位置关系；
（３）根据你观察到的EF与CD之间的位置关系，用一句话来解释你的结论。

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