例谈中考数学能力考查

例谈中考数学能力考查
南安国光初级中学 吴文献
联系：
纵观近几年的市数学中考试题和每年的各区市数学质检试卷，我们不难发现，数学综合题的重点都放
在高 中继续学习的函数问题上。此类题在中考中往往有起点不高、但要求较全面的特点。常常以数与形、
代数 计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆
和三 角函数相结合的综合性试题。同时考查学生初中数学中最重要的数学思想方法，如数形结合的思想、
分类 讨论的思想和几何运动变化等数学思想。此类题融入了动态几何的变和不变，对给定的图形施行平移、
翻 折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。
这些题目的特点是：注重考查学生 的实验、猜想、证明的探索能力。解题灵活多变，能够考查学生分
析问题和解决问题的能力，有一定难度 ，但上手还是容易的。此类题还常常会以几个小问题的形式出现，
相当于几个台阶，这种恰当的铺垫给了 考生较宽的入口，有利于考生发挥正常水平。
(一)函数型综合题：
压轴题的灵魂 是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化。这类题型是先给定直角
坐标系和几何图形 ，求(已知)函数的解析式(即求解前已知函数的类型)，然后进行图形的研究，求点的坐
标或研究图形 的某些性质。
初中已知函数有①一次函数 (包括正比例函数)和常值函数，它们所对应的图像是直线 ；②反比例函
数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析 式主要方法是
待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解 析法)。
例1（
2011
凉山）二次函数
y?ax?bx?c
的图 象如图所示，反比例函数
y?
在同一坐标系的大致图像是（ ）

2
a
与正比例函数
y?bx
x

【答案】B。
【分析】本题把二次函数、反比例函数、正比例函数的图象和性质融合在一起。主要考察数形结合思想。
【解题思路】由二次函数
y?ax?bx?c
的图象可知，∵图象开口向下，∴
a<0
；∵对称轴在
y
轴左侧，
∴
?
2
ba<0
，由
a<0
，知
b<0
。根据反比例函数图象的性质，当< br>a<0
时，函数
y?
图象在二、四象
2ax
限；根据正比例函 数图象的性质，当
b<0
时，函数
y?bx
图象经过二、四象限。故选B。
k
当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数
y?kx
2
?kx
变式题1（2010）对于反比例函数
y?
，
的大致图象是（ ）




例2（2011广
西）已知二次函数
y ??x
2
?
x
1
4
3
x
的图象如图．
2
（1）求它的对称轴与
x
轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿 它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与
x
轴，
y
轴的交点分别为A、B、 C三
点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的 顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D
的位置关系，并说明理由．

【分 析】该题通过平移抛物线，把观察、探究、计算融合在一起，将二次函数的性质，平移的性质，
待定系数 法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理，相似三角形的判
定和性质等初 中数学的主干知识融为一体。蕴含着数形结合思想、化归的思想、方程与函数的思想、
运动变化等数学思 想。
【解题思路】（1）根据对称轴公式求出
x??
b
，求出即可。 2a
（2）用待定系数法设出平移后的解析式即可得出图象与
x
轴的交点坐标，再 利用勾股定理求出即可。
（3）由抛物线的解析式
y??x
2
?
求出CD⊥CM，即可证明。
【答案】解：（1）由
y??x
2
?
1
4
3
x?4
可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理
2
1
4< br>3b
。
x
，得
x???3
，∴D（3，0）
22a
（2）如图1，设平移后的抛物线的解析式为
y??x
2
?
则C（0 ，
k
），OC=
k
，
令
y
=0，即
?x
2
?
1
4
3
x?k
，
2
1
4
3
x?k?0
，
2

法一：得
x
1
?3?4k?9 , x
2
?3?4k?9
。
∴A
3?4k?9 , 0
，B
3?4k?9 , 0
，
∴
AB
2
?< br>2
????
?
2
4k?9?3?3?4k?9
2
?16k?36
，
2
?
AC?BC?k?3?4k?9 +k?3?4k?9
??
2
2
??
2
?2k
2< br>?8k?36
。
∵AC
2
+BC
2
=AB
2
，即：
16k?36?k
2
?8k?36
，得
k
1
=4，
k
2
=0（舍去），
∴抛物线的解析式为
y?? x
2
?
1
4
3
x?4
。
2
2< br>2
法二：可证
?AOC:?COB
，得
OC?OA?OB
，即
k?16,?k?4

（3）如图2，由抛物线的解析式
y??x
2
?
1
4
3
x?4
可得，
2
25
??
A（﹣2，0），B（8，0），C（4，0），D（3，0），M
?
3 ,
?

，
4
??
过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，
则MH=3，
625
?
25
?
∴
DM?
??
?
，
16
?
4
?
2
2
22 5
?
25
?
CM?MH?CH?3?
?
?4
??
。
416
??
2222
2
在Rt△COD中，CD?3
2
?4
2
?5?AD
，
∴点C在⊙D上。
625
?
25
?
∵
DM?
??
?
，
16
?
4
?
2
2

∴DM
2
=CM
2
+CD
2
。∴△CDM是直角三角形。∴CD⊥CM。
法二：可证
?COD:?MHC
，得CD⊥CM。
∴直线CM与⊙D相切。

变式题2（2011荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边O C、OA所在直
线为
x
轴、
y
轴建立平面直角坐标系（O、C、F三 点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点(圆心在
x
轴上)，抛物线
y?
1
2
x?bx?c
经过A、C两点，与
x
轴的另一交点为G，M是 FG的中点，正方形
4
CDEF的面积为1.
（1）求B点坐标；
（2）求证：ME是⊙P的切线；
（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴 上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的
最小值；②若FQ＝
t
，S
△
ACQ
＝
s
，直接写出
．．．．
s
与
t< br>之间的函数关系式.










图甲
(二)几何型综合题：

图乙（备用图）
这类题型是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点(或动 线段)运动，对应产生线段、
面积等的变化，求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前，不知 道函数解析式的形式是什么)和求
函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，

探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边 形是菱形、梯形
等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之 间满足一定关系
求x的值等；⑥直线与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的 关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程)，变形
写成y＝f(x)的 形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量
的方程，然 后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f(x)的形式)等。
找等量关系的途径主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等……求定义域
主要 是寻找图形的特殊位置 (极限位置)和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
例3（2011）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A ,
设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的 函数关
系的是（ ）


8
y
8
x
O
y
8
O
y
8
O
y

O

【答案】B。

4
A
1216481216
B
x
8
C
16
x
4
D
16
x
【分析】 该题主要考察动点问题的函数图象。
【解题思路】当点P由点A向点D运动时，y的值为0；当点p在 DC山运动时，y随着x的增大而增大；
当点p在CB上运动时，y不变；当点P在CA上运动时，y随 x的增大而减小。故选B。
变式题
3
（
2011
）如图
2
，点
P
是菱形
ABCD
的对角线
AC
上的一个
动点，过点
P
垂直于
AC
的直线交菱形
ABCD的边于
M
、
N
两点．设，，，△
AMN
的面积为，则关 于的
函数图象大致形状是（

）

例4（2011）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是
x轴上一动点，以线段AP为一
边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q的 位置为B。

（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在
x
轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ
为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是
梯形？若存在，请求出P点的坐 标；若不存在，请说明理由。
【分析】本题通过“点动”带来“形动”，把观察、操作、探究、计算融 合在一起，巧妙将等边三角
形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判 定等初中数学的主干知
识综合在一起。蕴含着数形结合思想、化归的思想、分类讨论思想、运动变化等数 学思想。
【解题思路】（1）根据题意作辅助线过点B作BC⊥y轴于点C，根据等边三角形的性质即 可求出点B
的坐标。
（2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得 出△APO≌△AQB总成立，得出当点P在x
轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。
（3）根据点P在
x
的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可 得出结果。
【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C，
∵A(0,2)，△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，

1
）∴BC=
3
，OC=AC=1。即B（
3 ，
。
（2）不失一般性，当点P在
x
轴上运动（P不与O重合）时，
∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，∵A P=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。
∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。
（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，
∴AO与BQ不平行。
①当点P在
x
轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。
又OB=OA=2，可求得BQ=
3
。
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=
3
，
0
）∴此时P的坐标为（
?3，
。
②当点P在
x
轴正半轴上时，点Q在点B的上方，
此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。
又AB= 2，可求得BQ=
23
，
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=
23
，

0
）∴此时P的坐标为（
23，
。
0
）或（
23， 0
）综上所述，P的坐标为（
?3，
。
变式题4（2011）在平面直角坐标系
x
O
y
中，边长为
a
（
a
为大于0的常数）的正方形ABCD的
对角线AC、BD相交于点P，顶点A在
x
轴正半轴上运动，顶点B在
y
轴正半轴上运动（
x
轴的正 半
轴、
y
轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。
（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在
x
轴正半轴上、点B在
y
轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3） 设点P到
x
轴的距离为
h
，试确定
h
的取值围，并说明理由 。

近几年的中考数学综合题都重视知识间的联系与整合，在知识交汇处，设置多层次的开 放性、观
察操作、阅读理解、合理猜想、推理探究，考查数学思考和解决问题的能力。这启示我们在进行 综合
思维的时候要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，方程函
数是工具，计算推理得严谨，创新品质得提高。
附变式题答案：
1. 【答案】B
2. 【答案】解：（1）如图，连接PE、PB，设PC＝
n
，
∵正方形CDEF面积为1，∴CD＝CF＝1。
根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝
n
，
∴BC＝2PC＝2
n
。
而PB＝PE，
PB
2
=BC
2
+PC
2
?4n
2
?n
2
?5 n
2
，

PE
2
=PF
2
+EF< br>2
?
?
n?1
?
2
?1
，
∴
(n?1)
2
?1?5n
2
。
解得
n?1
(
n??
1
2
舍去) 。
∴BC＝OC＝2。 ∴B点坐标为
(2,2)
。
（2）如图，由（1）知A
(0,2)
，C
(2,0)
，
∵A，C在抛物线上，∴
y?
1
4
x
2
?bx?2
，∴
b??
3
2
。
∴抛物线的解析式为
y?
1< br>4
x
2
?
3
2
x?2
，即
y?11
4
(x?3)
2
?
4
。
∴抛物线的对称轴为
x?3
即EF所在直线。
∵C与G关于直线
x ?3
对称，∴CF＝FG＝1、∴FM＝
1
2
FG＝
1
2< br>。
在Rt△PEF与Rt△EMF中，
PF
EF
EF
?2
，
FM
?1:
1
2
?2
， ∴
PFEF
EF
?
FM
，∴△PEF∽△EMF 。
∴∠EPF＝∠FEM，∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°。
∴ME与⊙P相切。
（3）①如图，延长AB交抛物线于A′，连接CA′交对称轴
x?3
于Q，连接AQ，
则有AQ＝A′Q，△ACQ周长的最小值为（AC+ A′C）的长。
∵A与A′关于直线
x?3
对称，∴A
(0,2)
，
∴A′C＝
(6?2)
2
?2
2
?25
。
而AC=
2
2
?2
2
?22
，
A′
(6,2)
。

∴△ACQ周长的最小值为
22?25
。
②当Q点在F点上方时，
s?t?1
；
当Q点在线段FN上时，
s?1?t
；
当Q点在N点下方时，
s?t?1
。
（当Q点在F点上方时，如上图，
s
=S
AOFQ
－S
△
AOC
－S
△QCF

=
111
（
t
+2）×3－×2×2－×1 ×
t
=
t
＋1；
222
当Q点在线段FN上时，如右图，
s
=S
△
AHQ
－S
△
AOC
－S
OCQH

=
111
（
t
+2）×3－×2×2－×（ 2＋3）×
t
=1－
t
；
222
当Q点在N点下方时，如右图，
s
=S
△
AQI< br>－S
AIFC
－S△
CFQ

=
111
（
t
+2）×3－×（1＋3）×2－×1×
t
=
t
－1。）
222
3. 【答案】C。
4. 【答案】解：（1）当∠BAO＝45°时，四边形OAPB为正方形。
∴OA＝OB＝
a< br>·cos45°=
222
a
。∴P点坐标为（
a
，
a
）。
222
（2）作DE⊥
x
轴于E,PF ⊥
x
轴于F,
设A点坐标为（
m
，0），B点坐标为（0，
n
），
∵∠BAO＋∠DAE＝∠BAO＋∠ABO＝90°，

∴∠DAE＝∠ABO。
在△AOB和△DEA中，
?
?AOB??DEA?90?

?
，
?
?ABO??DAE
?
AB?AD

?
∴△AOB≌和△DEA（AAS）。
∴AE＝0B＝
n
，DE＝OA＝
m
。
∴D点坐标为（
m
＋
n
，
m
）。
∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0，
n
）
∴P点坐标为（
m?nm?nm?n
,）。∴PF=OF= 。 ∴∠POF=45°。
222
∴OP平分∠AOB。
即无论点A在
x
轴正半轴上 、点B在
y
轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上。
（3）当A，B分 别在
x
轴正半轴和
y
轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为 α。
2
a
·cos α。
2
22
1
a
∵0°≤α＜45° ∴＜cos α≤1 ∴
a
＜
h
≤
22
2

则0°≤α＜45° ，
h
＝PF＝PA·cos α＝