基础数学专业硕士研究生培养方案

基础数学专业硕士研究生培养方案

一、培养目标
按照党和国家的教育方针，培养德、智、体全面发展的高层次专门人才。具体的要求为：
1、 掌握马克思主义的基本原理，热爱祖国，遵纪守法，品德优良，学风严谨，具有实事求是、
不断追求新知 、勇于创造的科学精神，积极为社会主义建设服务。
2、掌握数学坚实宽广的基础理论和系统深入的现 代数学知识。具有独立从事科学研究和教学工
作、组织解决重大实际问题的能力，并在科学或专门技术上 作出创造性成果。
3、至少掌握一门外国语，能熟练阅读外文资料，具有撰写学术论文和进行国际学术交流的能力。
4、有健康的体魄。

二、研究方向：
见附表一


三、学习年限及时间分配
硕士生的学制为2年。课程学习在前2个学期内完成，学位论文时间不应少于1年。

四、课程设置及学分要求：
见附表二

硕士生所修课程总学分不少于26学分 ，其中学位课（包括公共课、专业必修课）不低于16学
分。第一外国语非英语的研究生，第二外国语必 须选修，且语种必须为英语。

五、文献阅读
普通硕士研究生要在第二学期或第三 学期根据导师的建议阅读一定数量的专业文献，并于期末
提交阅读报告。提交阅读报告，可得1学分。

六、开题报告
硕士生在第三学期初完成开题报告。论文开题工作应在导师指导下， 围绕研究方向查阅文献、
收集资料，独立选择研究课题。课题的选择尽可能结合导师的科研课题和研究专 长。 开题报告必须
包含所要研究课题的背景，现状，拟研究的问题，以及预期结果等方面的内容。开题 报告通过，可
得1学分。
对于开题未通过者，必须根据专家建议，在两个月内完成新的开题报告，并重新开题。

七、中期考核
每隔个学期，要求研究生在一定范围内报告论文进展情况，导师、指导小组及有 关人员参加，
帮助博士生分析论文工作进展中的难点，及时给予指导，促进论文研究工作的顺利进展。凡 不符合
要求者，令其重做，并延期毕业论文答辩。

八、论文工作
论文工 作应与课程学习交叉进行，硕士生用于科学研究和撰写论文的累计时间一般不应少于一
年。导师要全面掌 握硕士研究生的论文工作进度，根据实际需要对论文工作计划进行及时和必要的
调整。硕士论文的具体要 求按学校学位管理条例规定执行。

附表一
研究方向及主要研究内容介绍

一级学科名称
二级学科名称
序号
数学
基础数学
代 码
代 码
主 要 内 容 简 介
0701
070101
带 头 人 研 究 方 向
01
泛函分析
算子理论、算子代数、空间理论、非线性泛函分析
以及应用泛函分析
纪友清
02
代数学
环论，交换代数，多项式环的自同态，编码与密码
的代数理论
杜现昆
03
拓扑学与拓扑动力系统
超空间、低维拓扑、集值映射、混沌理论、遍历理
论、动力系统
廖公夫
04
复分析与几何 复几何与微分几何、K-理论、复分析与函数空间 曹阳
05
常微分方程
可积性与不可积性，微分Galois理论，定性理论，
摄动理论，重整化群方法
史少云
06
偏微分方程 非线性偏微分方程及其方程组 袁洪君
07
几何分析与变分学 调和映照，曲率流，临界点理论，变分法 王春朋

附表二
硕 士 生 课 程 设 置 表

类 别 课 程
编 号


必


修


课
公
共
课
基
础
理
论
课
专
业
课







选



修



课





补
修
课


00020041
00020061
31020012

第一外国语
自然辩证法
科学社会主义理论与实践
泛函分析

课 程 名 称 任课
教师


纪友清

教师代
码


101523
开课
学时 学
时间
分
1 2
100
40
20
72

3
?
2
?
1
4
?



3
?
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

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授课考核
方式 方式

讲授

考试

31021013
31021023
31021033
31021044
31021054
31021064
31021074
31021084
31021094
31021104
31021114
31021124
31021134
31021144
31021154
31021164
31021174
31021184
31021194
31021204
31021214
31024023

模与范畴
代数拓扑
复分析
算子理论
Banach代数
套代数导引
交换代数
代数几何初步
同调代数
环论
Lie代数
拓扑动力系统
遍历理论初步
分形几何
现代几何导引
有界解析函数
复几何
微分Galois理论初步
偏微分方程泛函方法
双曲型偏微分方程
Rieman几何
微分方程几何理论

杜现昆
廖公夫
曹 阳
纪友清
纪友清
纪友清
杜现昆
杜现昆
杜现昆
杜现昆
杜现昆
廖公夫
廖公夫
廖公夫
曹 阳
曹 阳
曹 阳
史少云
袁洪君
袁洪君
谢敬然
李 勇

104608
103558
100243
101523
101523
101523
104608
104608
104608
104608
104608
103558
103558
103558
100243
100243
100243
102476
101129
101129
103828
104605

54
72
54
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36


?
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讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授
讲授

考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试
考试

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泛函分析 课程教学大纲

课程编号：31020012 课程名称：泛函分析
学时：72 学分：4 开课学期：1
开课单位：数学研究所
任课教师： 纪友清 教师职称：教授
教师梯队：纪友清、曹阳、徐新军、张敏
1、课程目的、任务及对象
泛函分析是二 十世纪初期形成的较新的数学分支，能充分体现现代数学的思想和特征。泛函
分析的基本知识、思想和方 法已渗透到现代数学的各个领域以及其它学科的许多领域。本课程是继
本科泛函分析课程之后，进一步介 绍泛函分析的基础理论知识、思想和方法，以展现现代数学的一
些主要特征，为硕士研究生进入以后的学 习与科研工作打下基础。
2、授课的具体内容
第一章 拓扑学引论
第一节 拓扑空间
第二节 弱拓扑
第三节 网与收敛
第四节 紧拓扑空间
第五节 Banach空间上弱拓扑
第六节 算子拓扑
第二章 测度论概述
第一节 抽象测度
第二节 欧氏空间上的Borel测度与Borel函数
第三节 紧Hausdorff空间上的Borel测度
第三章 几个基本结果
第一节 商空间与对偶空间
第二节 Stone-Weierstrass定理
第三节 Riesz-Markov定理
第四章 广义函数与Sobolev空间
第一节 广义函数空间概要
第二节 经典广义函数空间
第三节 Sobolev空间与嵌入定理
第五章 自伴算子谱论
第一节 连续函数演算
第二节 算子的正平方根与算子极分解
第三节 标量值谱测度、谱表示
第四节 Borel函数演算
第五节 射影值谱测度、自伴算子谱定理
第六章 C
p
类算子
第一节 迹类算子

第二节 Hilbert-Schmidt算子
第三节 C
p
算子类的对偶
第四章 广义函数与Sobolev空间
第一节 广义函数空间概要
第二节 经典广义函数空间
第七节 无界自伴算子
第一节 算子的伴随与谱
第二节 自伴算子
第三节 射影值测度
第四节 谱定理
3、实践性环节

4、本课学习的基本要求
通过本科程学习，学生应掌握泛函分析的基本思想、基本概念、基本方法论与基本结果。

5、预备知识 实变函数、本科阶段的泛函分析
6、教材及主要参考书：
江泽坚、吴智泉，实变函数论（第二版），高等教育出版社，1994年。
江泽坚、孙善利，泛函分析，高等教育出版社，1994年。
王振鹏，泛函分析，吉林大学出版社，1990年。
张恭庆、林源渠，泛函分析（上册），北京大学出版社，1987年。
7、教学方式及考试方式
课程结束将进行综合考试。

模与范畴 课程教学大纲

课程编号：31021013 课程名称：模与范畴
学时：54 学分：3 开课学期：1
开课单位：数学研究所
任课教师：杜现昆 教师职称：教授
教师梯队：杜现昆、原永久、刘阳、孙晓松、于晓峰
1、课程目的、任务及对象
本课程是代数学的基础，主要讲授模范畴理论的基本概念、基本方 法与基本结果。通过本课
程的学习，可以使学生了解现代的代数学理论，为以后的学习与科研工作打下基 础。
2、授课的具体内容
第一章 环、模与同态
第一节 环及其同态
第二节 模与子模
第三节 模的同态
第四节 模范畴
第二章 直和与直积

第一节 直和项
第六节 模的直和与直积
第七节 环的分解
第四节 生成子与余生成予
第三章 模的有限性条件
第一节 半单模
第二节 有限生成、有限余生成、链条件
第三节 合成列
第四节 模的分解
第四章 经典环论
第一节 半单环
第二节 稠密定理
第三节 环的根
3、实践性环节

4、本课学习的基本要求
通过本科程学习，学生应掌握范畴的基本概念、模的基本概念、基本方法论与基本结果，经典
环 论的基本结果。

5、预备知识 近世代数.
6、教材及主要参考书：
F.W. Anderson, K.R. Fuller, Rings and Categories of Modules, 2
nd
Ed. Springer- Verlag, New York,
1992.
7、教学方式及考试方式
课程结束将进行综合考试。

代数拓扑 课程教学大纲

课程编号：31021023 课程名称：代数拓扑
学时：72 学分：4 开课学期：2
开课单位：数学研究所
任课教师：廖公夫 教师职称：教授
教师梯队：廖公夫、曹阳、谢敬然、王立娟
1、课程目的、任务及对象 < br>代数拓扑是二十世纪数学最重要的创造之一，其主要思想是借助代数工具来研究拓扑空间及其
上的 映射的在连续形变下的不变量。代数拓扑的基本知识、思想和方法已渗透到现代数学的各个领
域以及其它 学科的许多领域。本课程是继本科基础拓扑学课程之后，进一步介绍代数拓扑的基础理
论知识、思想和方 法，以展现现代数学的一些主要特征，为硕士研究生进入以后的学习与科研工作
打下基础。
2、授课的具体内容
第一章 同伦论初步

第一节 路径的同伦
第二节 映射的同伦
第三节 圆周的基本群
第四节 覆盖空间
第五节 提升问题
第六节 高维同伦群
第二章 奇异同调论
第一节 仿射空间
第八节 奇异单纯形
第九节 链复形
第十节 同调的同伦不变性
第十一节
?
1
和
H
1
的关系
第十二节 相对同调
第三章 同调代数和同调群的计算
第一节 正合同调序列
第二节 切除定理
第三节 球面的同调群
第四节 Mayer-Vietoris序列
第五节 Jordan-Brouwer分离定理
第四章 特殊拓扑空间的构造及其同调群
第一节 球复形
第二节 Betti数和Euler示性数
第三节 胞腔复形
第五章 流形的定向和对偶
第一节 流形及其定向
第四节 奇异上同调
第五节 上同调的Cup和Cap积
第六节 代数极限
第十三节 Poincare对偶
第十四节 Alexander对偶
第十五节 Lefschetz对偶
3、实践性环节

4、本课学习的基本要求
通过本科程学习，学生应掌握同伦论和同调论的基本思想、基本概念、基本方法论与基本结果。

5、预备知识 点集拓扑、抽象代数的基本知识。
6、教材及主要参考书：
[1]Marvin J. Greenberg & John R. Harper, Algebraic Topology, A First Course, The
BenjaminCummings Publishing Company Inc, 1981.
[2]J. Milnor & J. Stasheff, Characteristic Class, Annals of Math. Studies, 76, Princeton Univ.
Press.
[3]W. S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction, Harcourt-Brace, N. Y. ,1967.
7、教学方式及考试方式
课程结束将进行综合考试。

复分析 课程教学大纲

课程编号：31021033 课程名称：复分析
学时：54 学分：3 开课学期：2
开课单位：数学研究所
任课教师：曹阳 教师职称：副教授
教师梯队：曹阳、徐新军、张敏、纪友清
1、课程目的、任务及对象
多复变量解析 函数理论在上个世纪有了长足的发展，它是函数论研究的重要基础。它与调和
分析、偏微分方程、复几何 、算子理论等学科分支的密切联系，使它一直保持着旺盛的生命力。本
课程主要讲授多复变量函数的基本 概念、基本结果。通过本课程，使学生了解这方面的一些基本思
想，为今后的科研工作打下这方面的基础 。
2、授课的具体内容
第一章 单变量复变函数的一些结果
第一节 Cauchy积分公式及其应用
第二节 Runge逼近定理
第三节 Mittag-Leffler定理
第五节 Weierstrass定理
第二章 多变量全纯函数的局部性质
第一节 全纯函数
第十六节 全纯映射
第十七节 全纯函数的零点集
第三章 全纯域和拟凸域
第一节 全纯函数的扩张
第二节 自然边界和拟凸域
第三节 Cartan和Thullen的定理
第四节 Plurisubharmonic 函数
第五节 拟凸域的刻画
第四章 微分形式和Hermitian几何
第一节 实微分流形上的微积分
第二节 复结构
第三节
C
上的Hermitian几何
第五章
C
中函数的积分表示
第一节 Bochner-Martineli- Koppelman公式
第七节 一些应用
第三章 一般的同伦形式公式
第四章 Bergman核
3、实践性环节

n
n

4、本课学习的基本要求
通过本科程学习，学生应掌握 多复变量的函数理论基本思想、基本概念、基本方法论与基本结
果。

5、预备知识 实变函数、本科阶段的单复变函数理论和泛函分析
6、教材及主要参考书：
R．M．Range， Holomorphic Functions and Integral Representations
in Several Complex Variables，World Publishing Corp，1986。
L. Hormanders, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables,North Holland,1990.
7、教学方式及考试方式
课程结束将进行综合考试。


算子理论 课程内容简介

课程编号：31021044 课程名称：算子理论
学时：36 学分：2 开课学期：1
开课单位：数学研究所
任课教师： 纪友清 教师职称：教授
教师梯队：纪友清、曹阳、徐新军、张敏
1、课程目的、任务及对象
算子理论是二 十世纪在线性代数和积分方程等方面的成果基础上形成的较新的数学分支，它
利用现代数学的思想、方法 处理同时具有代数结构和拓扑结构的数学对象，其结果在算子理论内部
和其它诸多领域都有应用。本课程 介绍算子理论的基本思想、方法和基础理论知识，以及算子理论
的一些基本问题，是泛函分析方向的重要 基础课，为本方向硕士研究生进入以后的学习与科研工作
打下基础。
2、授课的内容简介 < br>算子谱论、算子的正规性、自反性、特殊算子类（加权移位、压缩算子、Toeplitz算子等）、算子逼近、膨胀理论、模型理论、算子的指标理论、不变子空间问题等

Banach代数 课程内容简介

课程编号：31021054 课程名称：Banach代数
学时：36 学分：2 开课学期：2
开课单位：数学研究所
任课教师： 纪友清 教师职称：教授
教师梯队：纪友清、曹阳、徐新军、张敏
1、课程目的、任务及对象
Banach 代数理论为算子理论算子代数的研究，提供了有力的工具，同时，它也是泛函分析的
重要研究方面。本课 程介绍Banach代数理论的基本思想、方法和基础理论知识，以及在算子理论中
的一些应用，是泛函 分析方向的重要基础课，为本方向硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下
基础。
2、授课的内容简介
Banach代数的一般理论，交换Banach的Gelfond变换 理论，函数代数，Banach代数在算子理
论中的应用。


套代数导引 课程内容简介

课程编号：31021064 课程名称：套代数导引
学时：36 学分：2 开课学期：2
开课单位：数学研究所
任课教师： 纪友清 教师职称：教授
教师梯队：纪友清、曹阳、徐新军、张敏
1、课程目的、任务及对象
二十世纪八十 年代，关于自伴算子代数的研究已非常成熟。但关于非自伴算子代数的研究刚
刚走向正轨。于是，关于套 代数的研究飞速发展起来。套代数理论是非自伴算子代数的典范，极大
地丰富和推动了算子理论和算子代 数的研究。本课程介绍套代数理论的基本思想、方法和基础理论
知识，是泛函分析方向的重要基础课，为 本方向硕士研究生进入以后的学习与科研工作打下基础。
2、授课的内容简介
套代数的基本 概念，套的序型，套代数的结构，三角积分，套代数的相似、酉等价及近似酉等
价，套代数的一些新进展 。

交换代数 课程内容简介

课程编号：31021074 课程名称：交换代数
学时：36 学分：2 开课学期：1
开课单位：数学研究所
任课教师：杜现昆 教师职称：教授
教师梯队: 杜现昆、刘阳、孙晓松、于晓峰、徐晓伟、马晶

课程简介：介绍交换 代数的主要内容。特别强调模的作用、局部化思想以及与代数几何的联系。
主要内容有：环、理想、模、 分式环、准素分解、整相关性、Noether环与Artin环、离散赋值环、
完备化以及维数理论。
主要参考书：， ald，Introduction to Commutative Algebra，
Addison-Wesley Publishing Company，1969.


代数几何初步 课程内容简介

课程编号：31021084 课程名称：代数几何初步
学时：36 学分：2 开课学期：2
开课单位： 数学研究所
任课教师： 杜现昆 教师职称：教授
教师梯队: 杜现昆、刘阳、孙晓松、于晓峰、徐晓伟、马晶

课程简介：介绍代数几何的基本理论。主要内容有：仿射与射影代数簇、概形、除子、黎曼-
罗赫定理、 参量空间。
主要参考书：李克正，代数几何初步，科学出版社，2004.


同调代数 课程内容简介

课程编号：31021094 课程名称：同调代数
学时：36 学分：2 开课学期：2
开课单位：数学研究所
任课教师：杜现昆 教师职称：教授
教师梯队: 杜现昆、刘阳、孙晓松、于晓峰、徐晓伟、马晶

课程简介：介绍交换 代数的。主要内容有：模、范畴、函子、Hom函子与张量函子、模范畴的
等价性与对偶性、导出函子、 投射模、内射模、平坦模、同调与上同调。
主要参考书：，An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, New
York, 1979.

环论 课程内容简介

课程编号：31021104 课程名称：环论
学时：36 学分：2 开课学期： 2
开课单位：数学研究所
任课教师：杜现昆 教师职称：教授
教师梯队: 杜现昆、刘阳、孙晓松、于晓峰、徐晓伟、马晶

课程简介：介绍结合环的结构的基本理论。主要内容有： Wedderburn- Artin理论、Jacobson
根、素环与本原环、除环、局部环、完备环。
主要参考书：，A First Course in Noncommutative Rings，GTM.131，Springer-Verlag，
New York，1991.


Lie代数 课程内容简介

课程编号：31021114 课程名称：Lie代数
学时：36 学分：2 开课学期：2
开课单位：数学研究所
任课教师：杜现昆 教师职称：教授
教师梯队: 杜现昆、刘阳、孙晓松、于晓峰、徐晓伟、马晶

课程简介：介绍Lie代数及其线性表示的基本理论。主要内容有： 基本概念、可解与幂零李
代数、Engel定理、Lie定理、Cartan定理、Killing型、导子、根空间分解、根系、同构 定理、泛
包络代数、表示论。
主要参考书：eys，Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,
GTM 9, Springer-Verlag, New York, 1972


拓扑动力系统 课程内容简介

课程编号：31021124 课程名称：拓扑动力系统
学时：36 学分：2 开课学期：1
开课单位：数学研究所
任课教师：廖公夫 教师职称：教授
教师梯队：廖公夫、王立娟、曹阳、杨柳

课程简介：本课程主要讲述连续映射的若 干动力性质（包括回复性、传递性、混合性、极小性、
共轭性等），符号动力系统，有限型子转移，拓扑 熵，混沌等拓扑动力系统理论中的基本问题，它可
作为基础数学专业硕士研究生以及数学学科高年级本科 生的选修课。通过学习可使学生在拓扑动力
系统领域奠定必要的研究基础。

遍历理论初步 课程内容简介

课程编号：31021134 课程名称：遍历理论初步
学时：36 学分：2 开课学期：2
开课单位：数学研究所
任课教师：廖公夫 教师职称：教授
教师梯队：廖公夫、王立娟、曹阳、杨柳

课程简介：本课程主要讲述概率空间的保 测变换，遍历性，混合性，测度熵，连续变换的不变
测度，唯一遍历性等遍历理论中的基本问题，它可作 为基础数学专业硕士研究生以及数学学科高年
级本科生的选修课。通过学习可使学生在动力系统与遍历理 论领域奠定必要的研究基础。


分形几何 课程内容简介

课程编号：31021144 课程名称：分形几何
学时：36 学分：2 开课学期：1
开课单位：数学研究所
任课教师：廖公夫 教师职称：教授
教师梯队：廖公夫、王立娟、曹阳、杨柳

课程简介：本课程主要讲述Hausdorff 测度，Hausdorff维数，密度，整维数与非整维数集的结
构，Besicovitch 与Kakeya集， 自相似集，吸引子等分形几何理论中的基本问题，它可作为基础数
学专业硕士研究 生以及数学学科高年级本科生的选修课。通过学习可使学生在动力系统与分形几何
领域奠定必要的研究基 础。


现代几何导引 课程内容简介

课程编号：31021154 课程名称：现代几何导引
学时：36 学分：2 开课学期：1
开课单位：数学研究所
任课教师：曹阳 教师职称：副教授
教师梯队: 曹阳、谢敬然、王立娟、廖公夫

课程简介：介绍 近现代几何理论历史演变及思想的进化过程。培养学生数学史观、学生对数学
的兴趣。主要内容包括：欧 氏几何、球面几何、双曲几何、Riemann几何的基本思想、基本概念。
主要参考书：B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, Modern Geometry Methods and
nd
Applications, vol 1, Springer-Verlag, 2 edition, 1992.
克莱因（美），古今数学思想。

有界解析函数 课程内容简介

课程编号：31021164 课程名称：有界解析函数
学时：36 学分：2 开课学期：1
开课单位：数学研究所
任课教师：曹阳 教师职称：副教授
教师梯队: 曹阳、纪友清、徐新军、张敏

课程简介：单位圆 盘内解析函数的边界表现、Nevanlinna类函数的内外因子分解、Beurling定
理、一致 代数、Corona定理、Douglas代数
主要参考书：John B. Garnett, Bounded analytic functions, Academic Press, 1981年。


复几何 课程内容简介


课程编号：31021174 课程名称：复几何
学时：36 学分：2 开课学期：2
开课单位：数学研究所
任课教师：曹阳 教师职称：副教授
教师梯队：曹阳、徐新军、张敏、纪友清
内容简介：
复几何的 基本概念，基本结果。主要内容包括：Hermitian结构、复丛上的联络、Kahler几何、
G rossmann流形及其上的曲线，陈类等。
主要参考书：Chern S. S. ,Complex Manifolds without Potential Theory, 2 edition,
Springer-Verlag, 1979.

nd
双曲型偏微分方程 课程内容简介

课程编号：31021204 课程名称：双曲型偏微分方程
学时：36 学分：2 开课学期：2
开课单位：数学研究所
任课教师：袁洪君 教师职称：教授
教师梯队：袁洪君、许孝精
1、课程目的、任务及对象
本课程介绍双曲型偏微分方程的基础知识, 着重介绍拟线性双曲型守恒律方程的适
定性理论,如解的存在性、解的唯一性和解的稳定性等. 在论证 过程中,着重介绍双曲型守

恒律方程间断解理论和补偿紧致性方法,也将适当介绍包括差 分方法在内的一些计算方
法.通过本课程的学习,可以使本专业的硕士生了解和掌握包括双曲型守恒律方 程在内的
双曲型偏微分方程的基本研究方法和基本研究技巧, 并为进一步学习奠定必要的基础。
2、授课的具体内容简介


弱解，古典解与分片光滑解，初值问题的弱解，补偿列紧方法，守恒型差分格式


Riemann几何 课程内容简介

课程编号：31021214 课程名称：Riemann几何
学时：36 学分：2 开课学期：2
开课单位：数学研究所
任课教师：谢敬然 教师职称：副教授
教师梯队：谢敬然、曹阳、王立娟、廖公夫
内容简介：
介绍Riemann几何的 一般理论。主要内容包括：微分流形的定义、Riemann度量、曲率、Jacobi
场、常曲率空间 、等距浸入理论等。
教学参考书：M. P. Do Carmo, Riemann Geometry, Birkhauser, 1992.