2018考研数学一

本科院校 目标院校 目标专业 姓名
.......... ...........................
装
.............. .........................
订
................ .......................
线
.................. .....................

2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学一试题
整理人：中博考研向禹老师
xy123@

题号
分数



1-8

9-14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

总分





评卷人
一、

得分
选择题（每小题 4 分, 共 32 分）
1. 下列函数不可导的是
A. f (x) = |x| sin |x|

(
√
B. f (x) = |x| sin
|x| C. f (x) = cos |x| D. f (x) = cos
√
|x|
)

′
1
′
1
【解析】A, B, C 可导, D 根据导数的定义可得 f
(0) =
.
+
(0) = ?
, f
2
?
2
2. 过点 (1, 0, 0) 与 (0, 1, 0) 且与 z = x
2
+ y
2
相切的平面方程为
A. z = 0 与 x + y ? z = 1 B. z = 0 与 2x + 2y ? z = 0 C. y = x 与 x + y ? z = 1
(
D. y = x 与 2x + 2y ? z = 2
)
【解析】过点 (1, 0, 0) 与 (0, 1, 0) 且与已知曲面相切的平面只有两个, 显然 z = 0 与曲面 z = x
2
+ y
2
相切, 故排除 C, D.
1 1
曲面 z = x
2
+ y
2
的法向量为 (2x, 2y, ? 1), 对于A 选项, x + y ? z = 1 的法向量为 (1, 1, ? 1), 可得 x = , y = . 代入
2 2
z = x
2
+ y
2
和 x + y ? z = 1 中 z 不相等, 排除 A, 故选B.
3.
∑
(
?
1)


n=0
∞
+ 3
n
2n
B. 2 sin 1 + cos 1 C. 2 sin 1 + 2 cos 1 D. 3 sin 1 + 2 cos 1
(2n + 1)!
A. sin 1 + cos 1
( )

【解析】利用sin x 与cos x 的麦克劳林级数可得

∞

∑
(
?
1

)
n=0
+ 3
n
2n
∞

(2n + 1)!
=
∑
(?1)
n
∞
=

0

n=0

n
(2n + 1) + 2

n
(2n + 1
∞
)!


1
(2n)!
n=0
n
=
∑
?
(

1)
因此选B.
∫
π
π

2

= 2 sin 1 + cos 1
(2n + 1)!
+
∑
(?1)

2
∫

∫
π
2


( √ )


?
2

2

dx, K =

(1 + x)

π
4. 设 M =
1 + cos x
dx, 则
dx, N =
2
π
1 + x
2

π
( )
2
A. M > N > K B. M >
π
K > N C. K > M > N D. N > M > K

π
(
∫
(1 +
∫
2
x)
2

2x
)
2
1 +
【解析】利用对称性可以计算 M =
dx = π, 另外比较被积函数与 1 的大小关系易
dx =
π
π
1 + x
2
2
1 + x
?
2
?
2
见 K > π = M > N.

x
e

x
?
2

1 +
?
1 1 0
5. 下列矩阵中, 与矩阵
0
相似的为

1 1


0 0 1
(

)
第 1 页 共 8 页

本科院校 目标院校 目标专业 姓名
.................. ...................
装
...................... .................
订
........................ ...............
线
.......................... .............


1 1 ?1
A.
0 1
0 0
A.
1
1
1 0 ?1
B.
0 1
0 0
1
1
1 1 ?1
C.
0 1
0 0
0
1
1 0 ?1
D.
0 1
0 0
0
1
【解析】易知题中矩阵均为 3 重特征值 1. 若矩阵相似, 则不同特征值对应矩阵 λE ? A 的秩相等, 即 E ? A 秩相等. 显然为


6. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 记 r(X) 为矩阵 X 的秩, (X Y) 表示分块矩阵, 则
A. r(A AB) = r(A)
C. r(A B) = max{r(A), r(B)}

( )
B. r(A BA) = r(A)
D. r(A B) = r(A
T
B
T
)

0 0
0 1

.D


【解析】对于 A, 有 r (A AB) = r (A (E B)), 且 (E B) 为行满秩的矩阵, 则 r(A AB) = r(A), 即选 A.

1 01 01 0
B 错误, 反例如 A = , B = .C 错误, r(A B) ? max{r(A), r(B)}, 反例如 A = ,

B =

0 01 10 0
错误, 反例如 A =
1 0

0 0
,

B = .


0 01 0
∫
2
0


7. 设随机变量 X 的概率密度 f (x) 满足 f (1 + x) = f (1 ? x), 且
A. 0.2 B. 0.3
f (x)dx = 0.6, 则 P(X < 0) =
D. 0.6
∫
2
1
( )
C. 0.4
∫
1
【解析】由 f (1 + x) = f (1 ? x) 知 f (x) 关于 x = 1 对称, 则
P {X < 0} =

∫
0
1
∫
0
f (x)dx =
∫
1
1
2
f (x)dx = f (x)dx = 0.3, 于是
2
0
∫

f (x)dx ?

f (x)dx =
f (x)dx = 0.5 ? 0.3 = 0.2
0
?∞
?∞
选 A.

8. 给定总体 X ? N(?, σ
2
), σ
2
已知, 给定样本 X
1
, X
2
, · · · , X
n
, 对总体均值 ? 进行检验, 令 H
0
: ? = ?
0
, H
1
: ? ?= ?
0
, 则
( )
A. 若显著性水平 α = 0.05 时拒绝 H
0
, 则 α = 0.01 时必拒绝 H
0

B. 若显著性水平 α = 0.05 时接受 H
0
, 则 α = 0.01 时必拒绝 H
0

C. 若显著性水平 α = 0.05 时拒绝 H
0
, 则 α = 0.01 时必接受 H
0

D. 若显著性水平 α = 0.05 时接受 H
0
, 则 α = 0.01 时必接受 H
0

【解析】α 越小, 显著性差异越小, 越容易接受 H
0
, 若 α = 0.05 时接受 H
0
, 则 α = 0.051 时显著性变弱, 更加容易接受 H
0
,
选 D.







评卷人
二、

得分
填空题（每空 4 分, 共 24 分）



(
9. lim

x→0
1 + tan x
)
1

(kx
)
= e, 则 k =

.
第 2 页 共 8 页

本科院校 目标院校 目标专业 姓名
.....................................
装
.......................................
订
.. .....................................
线
.... ...................................

【解析】原极限为 1
∞
型, 故恒等变形为



)
?2 tan x
lim
1 +
x→0
1 + tan x
?2 tan x
所以 lim
= 1, k = 2.
x→0
(1 + tan x) sin (kx)
(

1+tan x 2 tan x
?
?2 tan x
(1+tan x) sin(kx)

(

)
?2 tan x

lim
= exp
= e
x→0
(1 + tan x) sin (kx)
10. 设函数 f (x) 具有二阶连续导数, 若曲线 y = f (x) 的过点 (0, 0), 且与曲线 y = 2
x
在点 (1, 2) 处相切, 则
.
= 2 ln 2. 由分部积分公式, 原积分等于 x f
x=1
∫
1
0
x f
′′
(x) dx =
∫
1
【解析】由题意知 f (0) = 0, f (1) = 2, f
′
(1) = 2x
ln 2 |
= 2 ln 2 ? 2.

′
(x)
|
1
?
f
′
(x)
d
x

0
0
11. 设 F (x, y, z) = xy
?
i ? yz
?
j + xz
?
k, 求 rot
?
F (1, 1, 0) = .
?
i
?
j
?
k
. .
?
【解析】由旋度的定义 rot
?
F =
?

?
?
.
= y
?
i ? z
?
j ? x
?
k, 于是 rot
?
F (1, 1, 0) = i ?
?
k.

.


?z
??y
x
.
xy ?yz xz
.
12. 设 L 为球面 x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
与平面
x + y
+
z = 0 的交线, 则
【解析】由对称性得

I
I
L

xyds = .
I
1
I
1
I
[
()
]
1
xyds =
(xy + yz + xz) ds =

(x + y + z)
2
? x
2
+ y
2
+ z
2
ds =

3

L
6
L
6
L

π
(?1) ds = ?

3
L

13. 设二阶矩阵 A 有两个不同的特征值, α
1
, α
2
是 A 的线性无关的特征向量, A
2
(α
1
+ α
2
) = α
1
+ α
2
, 则 |A| = .
【解析】由 α
1
, α
2
是 A 的线性无关的特征向量, 则 α
1
, α
2
是 A
2
的线性无关的特征向量. 又 A
2
(α
1
+ α
2
) = α
1
+ α
2
, α
1
+ α
2

也是 A
2
的特征向量, 则 A
2
有二重特征值 1. 又 A 有两个不同的特征值, 则其特征值为 ?1, 1, , 故 |A| = ?1.
1 1
14. 设随机事件 A 与 B 相互独立, A 与 C 相互独立, BC = ?. 若 P(A) = P(B) =, P (AC|AB ∪ C) =, 则 P(C) =
2 4
【解析】因为 BC = ?, P(BC) = 0, 故 P(ABC) = 0.
.






P (AC|AB ∪ C) =
1
解得 P(C) =
.
4

P [(ABC) ∪ (AC)]
P (AC) P (A) P (C)
1
===
P (AB ∪ C) P (AB) + P (C) ? P (ABC)
P (A) P (B) + P (C) 4


解答题（共 94 分）
评卷人
三、

得分

15. (本题满分 10 分)
∫
求不定积分 e
2x
arctan
√
e
x
? 1dx.
第 3 页 共 8 页

本科院校 目标院校 目标专业 姓名
.................. ...................
装
...................... .................
订
........................ ...............
线
.......................... .............



【解析】利用分部积分法


∫


∫
∫
√
1
2x
√
()
1
e
2x

e
x
1
x
x
2x
1
√
dx
e
2x
arctan
e
x

?
1dx
=

arctan
e

?
1d
e

=
e
arctan
e

?

?
x
1
2

e
x
? 1
222
1 + e
?

√
1
√
∫
1
2x
e
2x
e
x
∫
x
=
e
2x
arctan
e
x

1
(e
x
)
=
e
arctan
e

1
√
dx
√
d
? 1 ?
4

x
2
? 1 ?
4

x
e
? 1

2
e
? 1

√






其中

∫
√
e
x
? 1

e
x
t
∫
d
(e
x
) =

√




∫



∫
√


dt =
t ? 1
t ? 1 + 1

dt =
√
t ? 1
dt
∫
1dt +

√
t
?

t ? 1
√√
3 3
2 2
x
2 2
= (t ? 1) + 2
t ? 1 + C =
(e
? 1)
+ 2
e
x
? 1 + C
3 3
∫
故


√√
3
1 1 1
√
x
2
?
e
2x
arctan
e
x
? 1dx =
e
2x
arctan
e
x
? 1 ?
(e
x
? 1)
e
? 1 + C
1
.
2 6 2
16. (本题满分 10 分)
将长为 2m 的铁丝分成三段, 依次围成圆、正方形与正三角形, 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在, 求出最小
值. 【解析】设分成的三段依次为 x, y, z, 则 x + y + z = 2, 依次围成的圆的半径、正方形的边长与正三角形边长分别为
x y
z
,
,
, 因此三个面积的和为
2π 4

3





S
= π
(
x
)
2

2π

√
()
2

√

(
y
)
2

x
2

1
2

3 z
3
2
= +
y
+
z
+ +
4π 16
4
4 3
36





′
x
f
x
=
+ λ = 0




x =


可得
8



√

′
y
π 2
2π

x
2
1
y
2

3
2

z
x y z
f
y
=
8
+ λ = 0
′
2
, 求驻点. 由

f
z
=
π+4+3 3
0
18
z + λ =
法一 令 f x, y, z,
(
, ,
+

λ
π
) =
28
4

π 16
+
36
+ ? )
√

3
y =
π+4+3
√
3
√

63
z


=
√
,

+ λ ( +

x + y + z = 2

π+4+3 3
{
并且 H f = diag
1

√
}
1 3
)
此时最小面积为 正定, 这就是面积和的最小值点, S
36

1
2

=
1
2
√
3
m

.
(
x
2

18
√
3
)
(
2
min
2

π + 4 + 3
x y z

法二 由柯西不等式

4π
+
y
+
z
36
16
4π + 16 +
√

? (x + y + z)
= 4, 因此当
= =
√
时, S
min
=
2π 16
123 3
Σ
Σ Σ+Σ
1
1
m
2
.
√
π + 4 + 3
3

∫∫
求
√
()
33
xdydz + y + z
dzdx + zdxdy. 其中 Σ 取曲面 x =
1 ? 3y
2
? 3z
2
的正面.
Σ
1

∫∫ ∫∫
∫∫
(
x = 0,
) (
, 则
)
【解析】取 Σ
1
: 3y
2
+ 3z
2
? 1, 法向量方向指向 x Σ
1
所围成的区域
(
轴负向
)
. 记 ? 为 Σ 和
33
xdydz + y + z
dzdx + zdxdy =

xdydz + y
3
+ z
dzdx + z
3
dxdy ?

xdydz + y
3
+ z
dzdx + z
3
dxdy

本科院校 目标院校 目标专业 姓名
...... ...............................
装
.......... .............................
订
............ ...........................
线
.............. .........................



由高斯公式得





Σ+Σ
1


∫∫
()
xdydz + y
3
+ z
dzdx + z
3
dxdy

=
∫∫∫
(
?


∫∫∫
√
∫∫
(
)
)
22
1 + 3y + 3z
dV =

dV + 3
y
2
+ z
2
1 ? 3y
2
? 3z
2
dydz
?

3y
2
+3z
2
?1

∫

2π

∫
√
1
√

1 4π
√

√

14π
3
33
2
2
d
θ
r1 ? 3rrdr =
=
·

· ·
+ 3
0
45
0
2 3
3
3
∫∫
而

Σ
1

∫∫
() ()
333
xdydz +
y + z
dzdx + zdxdy = 0, 所以
xdydz + y + z
dzdx + z
3
dxdy =
Σ
14π
.
45
18. (本题满分 10 分)
已知微分方程 y
′
+ y = f (x), 其中 f (x) 是R 上的连续函数.

(a) 当 f (x) = x 时, 求微分方程的通解.
(b) 当 f (x) 周期为 T 的函数时, 证明: 方程存在唯一的以 T 为周期解.

【解析】

(a) 方程两边乘以e
x
得 (e
x
y)
′
=
e
x
(y
′
+ y) = x
e
x
, 因此e
x
y = (x ? 1)e
x
+ C, 因此通解为 y = Ce
?
x
+ x ? 1.
(
∫
x
)
(b) 等式两边乘以e
x
可得 (e
x
y)
′
= ex
f (x), 通解可表示为 y(x) = e
?
x
f (t) e
t
dt + C. 现在 f (x + T) = f (x), 则

)(
∫
T
(
∫
x+T
)
∫
T+x
f
(t)
e
t
dt + C

f

(t)
e
t
dt + C
= e
?
x
?
T
f
(t)
e
t
dt +
y (x + T)
= e
?x?T
T
0 0
(
∫
T
)(
∫
T
)
∫∫
x x
= e
?
x
?
T
f (t) e
t
dt +
f (u + T) e
u+T
du + C
= e
?
x
?
T
f (t) e
t
dt +
f (u) e
u+T
du + C

0 0
((
∫
T
0
)
0
∫
x
)
= e
?
x
f (t) e
t
dt + Ce
?
T
+ f (u) e
u
du

0 0

0





∫
T
(
∫
T
)

t
t T
0
f (t) e
dt
?
, 因
要使得这个解是周期函数, 则 y(x + T) = y(x), 即满足
f (t) e dt + C
e
= C, 由此解得 C =
(
∫
T
0
e
?
1
)
x
∫
T
?x

f (t) e
t
dt

t

0
此 y = e
f (t) e dt +
就是唯一的周期函数解.
0
T
e
? 1

19. (本题满分 10 分)
设数列 {x
n
} 满足 x
1
> 0, x
n
= e
x
n+1
= e
x
n
? 1(n = 1, 2, · · · ). 证明 {x
n
} 收敛并求 lim x
n
.
【解析】首先由 x
1
> 0, x
n
= e
x
n+1
= e
x
n
? 1(n = 1, 2, · · · ) 归纳可知所有 x
n
> 0. 考虑函数 f (x) = e
x
, 由拉格朗日
e
x
n
? 1
f (x
n
) ? f (0)
e
ξ
n

e
x
n
, 这里 中值定理可得 e
x


0, x . 这就说明 x x 0, 因此 x 单
= <
n+1
=
n
>
n+1
>

=

ξ
n
∈ (
n
)
{
n
}
x
x
n
? 0
n
调递减有下界, 故收敛. 设 lim x
n
= x ? 0, 在等式 x
n
= e
x
n+1
= e
x
n
? 1 两边取极限得 xe
x
= e
x
? 1. 如果 x > 0, 则
n→∞
x
e
x
=
e
? 1
< e
x
, 矛盾, 因此 lim x
n
= x = 0(注意这个超越方程是不可解的, 不要直接解得 x = 0).
x
n→∞
n→∞
20. (本题满分 11 分)

设实二次型 f (x
1
, x
2
, x
3
) = (x
1
? x
2
+ x
3
)
2
+ (x
2
+ x
3
)
2
+ (x
1
+ ax
3
)
2
, 其中 a 是参数.
(a) 求 f (x
1
, x
2
, x
3
) = 0 的解;

第 5 页 共 8 页

本科院校 目标院校 目标专业 姓名
.................................. ...
装
...................................... .
订
.......................................< br>线
.......................................

(b) 求 f (x
1
, x
2
, x
3
) 的规范形.


【解析】


(a) 由 f (x
1
, x
2
, x
3
) = 0 可得方程组





x
1
? x
2
+ x
3
= 0
x
2
+ x
3
= 0

x
1
+ ax
3
= 0

对其系数矩阵进行初等行变换得
1 ?1 1

1 ?1 1
→
0 1 0 1 1

1

1 0 a0 0 a ? 2
如果 a = 2, 则方程组的通解为 (x
1
, x
2
, x
3
)
T
= c(?2, ? 1, 1)
T
. 如果 a ?= 2, 则方程组只有零解 (x
1
, x
2
, x
3
)
T
=
c(0, 0, 0)
T
.

(b) 如果 a = 2, 令

y
1
2
y



1 ?1 1
1
0
1
x
1

1
a
2
y
3
=

0

1

2
x
x
3
3
= Qx




其中 Q 是可逆矩阵, 所以此时的规范形为 f (y
1
, y
2
, y
3
) = y
2
+ y
2
+ y
2
.
如果 a = 2, 配方得
f (x
1
, x
2
, x
3
) = (x
1
? x
2
+ x
3
)
2
+ (x
2
+ x
3
)
2
+ (x
1
+ 2x
3
)
2
= 2x
2
+ 2x
2
+ 6x
2
? 2x
1
x
2
+ 6x
1
x
3

( )
1 3
2
3
2

= 2
x
1
? x
2
+ x
3

+
(x
2
+ x
3
)
2
2 2
此时的规范形为 f (y
1
, y
2
, y
3
) = y
2
+ y
2
.
1 2
1 2 3




21. (本题满分 11 分)
1 2

a
0





已知 a 是常数, 且矩阵 A =
1 3
1


可经初等列变换化为矩阵 B =

0
a 2
1 1
.

2 7 ?a
(a) 求 a;
(b) 求满足 AP = B 的可逆矩阵 P.
?1 1 1


【解析】

第 6 页 共 8 页

本科院校 目标院校 目标专业 姓名
...... ...............................
装
.......... .............................
订
............ ...........................
线
.............. .........................


(a) 由于矩阵 A 可经过初等列变换化为矩阵 B, 因此 A 和 B 的列向量组等价. 则对增广矩阵做初等行变换得



因此 a = 2.

( )
1 2
A B
=
1 3
a 2

1 2 a 1 a 2
→
0 1 ?a ?1 1 ? a ?1 0 0 1 1


2 7 ?a ?1 1 10 0 0 0 a ? 2 0
a 1
(b) 问题等价于解矩阵方程 AX = B, 也就是解三个非齐次线性方程组. 由 (1) 可得
1 0 6 3 4 4
(A, B) →
0 1 ?2 ?1 ?1 ?1
0 0

0 0 0 0



?6k
1
+ 3 ?6k
2
+ 4 ?6k
3
+ 4

解得 P =
2k
1
? 1

2k
2
? 1 2k
3
? 1
, k
1
, k
2
, k
3
为任意常数. 注意到 P 是可逆矩阵, 因此 |P| ?= 0, 这要求

k
1
k
2
k
3

k
2
?= k
3
.
22. (本题满分 11 分)
1
已知随机变量 X, Y 相互独立, 且 P {X = 1} = P {X = ?1} = , Y 服从参数为 λ 的泊松分布, Z = XY.
2
(a) 求Cov(X, Z);
(b) 求 Z 的分布律.


【解析】

(a) E(X) = 0, E(X
2
) = 1, 而 Y ? P(λ), E(Y) = λ, 因此
() ()
2
Cov (X, Z) = Cov (X, XY) = E
XY
? E (X) E (XY) = E
X
2
E (Y) ? E
2
(X) E (Y) = λ


(b)



P {Z = k} = P {X = 1} P {Z = k|X = 1} + P {X = ?1} P {Z = k|X = ?1}
1
= P {X = 1} P {Y = k} + P {X = ?1} P {Y = ?k} = [P {Y = k} + P {Y = ?k}]
2
1
当 k

1 λ
k
e
?λ
;

= 1, 2, 3, · · · 时, P {Z = k} =
P {Y = k} =
k!

1
2
1, 2, 3,
P Y
当 k 0 时, P Z 0 时, P Z k
P Y 0
2
e
?λ
; 当 k
1 λ
?k
e
?λ

k
=

.
{ = } = { = ? }
= ( = ) = ( = ) =
= ? ? ? · · ·
2 2
(?k)!
因此综上所述可得


λ
k

e
?λ
, k
= ±1, ± 2, · · ·
P (Z = k) = 2 |k|!

?
λ
e, k = 0


第 7 页 共 8 页

本科院校 目标院校 目标专业 姓名
. ....................................
装
..... ..................................
订
....... ................................
线
......... ..............................



23. (本题满分 11 分)
1
已知总体 X 的密度函数为 f (x, σ) =e
?
2σ
?
. 0 的参数, σ 的最大似然估计量为 σ
|
x
|
,
?
∞ < x < +∞
,
X
,
X
,
· · ·
,
X
σ

1 2


n
为来自总体 X 的简单随机样本, σ 为大于

?
; (a) 求 σ

?
), D(σ
?
). (b) 求 E(σ

【解析】



n
?n ?n ?
∑
n

|
x
i
|
i=1
1
n

(a) 似然函数为 L
(
σ
)
=
∏
f (x
i
, σ) =2 σ e
σ
n
, 取对数得对数似然函数为ln L (σ) = ?n ln 2 ? n ln σ ?
σ
∑
|x
i
|,
1
i=1
i=1
?n
1
n

0, 解得最大似然估计量
?
X .
d ln L

令
x
=
|
+
2
∑

i
| =
σ =
|



i
|
∑
σ
i

=1
dσ

σ
n
∫∫
i=1
+∞ +∞

|x|
?
d
x =
(b) 因为 E |X| =
|x| f x dx =
e

, 所以
σ

( ) ( )
σ
?∞
?
∞
2σ
1
n
E
?
E X E X
(σ) =
∑

|
i
| = (| |) = σ
n
|
x
|
i=1























∫
+∞
x
2
|x|
(
2
)
∫
+∞
2


2

xf
(
σ
E X
=
x
e
?

σ
dx
=
2

)
d

x
=
2σ
2
?∞ ?∞
σ
1
D (|X|)
E
2
X

E X
2

D ?

)
(σ) =
( ( )

(| |)=

=
?
n
n n