2019研究生数学考试数三真题

2019年全国硕士研究生入学统一考试
（数学三）试题及答案
一、选择题 ：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的。
1.当
x?0
时，若
x?tanx
与
x
k
是同阶无穷小，则
k?
（ ）
（A）1
5
（B）2 （C）3 （D）4
2.已知方程
x?5x?k?0
有3个不同的实根，则k的取值范围是（ ）
（A）
(??,?4)
（B）
(4,??)

x
（C）
(?4,4)

?x
（D）
(?4，

4）
3.已知微分方程
y
??
? ay
?
?by?ce
的通解为
y?(C
1
?C
2< br>x)e
（A）1, 0, 1
?
?e
x
，则a，b，c依次为（ ）
（D）2, 1, 4 （B）1, 0, 2
?
（C）2, 1, 3
4.若
?< br>un
n
绝对收敛，
?
n?1
v
n
条件收敛， 则（ ）
n?1
n
（B）（A）
?
uv
n?1
?
?
nn
绝对收敛
?
uv
n?1
?
?
nn
绝对收敛
（C）
?
uv
n?1
nn
收敛 （D）
?
uv
n?1
nn
发散
5.设A是4阶矩阵，A* 为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，
则
r(A)?
（ ）
（A）0 （B）1 （C）2
2
*
（D）3 < br>T
6.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若
A?A?2E
，且
A?4
，则二次型
xAx
的规范形为（ ）
22
（A）< br>y
1
?y
2
?y
3
2








（B）
y
1
?y
2
?y
3

（D）
?y
1
?y
2
?y
3

2 2
2
22
2
（C）
y
1
?y
2
? y
3

22
2
7.设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是（ ）

（A）
P(AB)?P(A)?P(B)






（B）
P(AB)?P(A)P(B)

（D）
P(AB)?P(AB)
（C）
P(AB)?P(BA)

8.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布
N(
?
,
?2
)
，则
P{X-Y＜

1}?
（ ）
（A）与μ无关，与σ
2
有关
（C）与μ、σ
2
都有关






（B）与μ有关，与σ
2
无关
（D）与μ、σ
2
都无关
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
9.
lim(
n? ?
11
??
1223
?
1
)
n
?
。
n(n?1)
10.曲线
y?xsinx?2cosx(?
11.已知函 数
f(x)?
?
2
＜x＜
1
3
?
)
的拐点坐标为 。
2
?
x
1
1?t
4
dt
，则
?
x
2
f(x)dx?
。
0
12.以P
A
, P
B
分别表示A, B两个商品的 价格，设商品A的需求函数
2
Q
A
?500?P
A
?PA
P
B
?2P
B
2
，则当P
A
=10 , P
B
=20时，商品A的需求量对自身价格弹性
?
AA
(
?
AA
＞0)
为 。
?1
??
10?
0
?
????
?1
?
，b?
?
1< br>?
.
若线性方程组Ax=b有无穷多解，则a= 。13.已知矩阵
A?
?
11

?
01a
2
?1
??
a
?
????
?
x
?
,0＜x ＜2
14.设随机变量X的概率密度为
f(x)?
?
2
F(X)为 X的分布函数，EX为X的数
，
?
?
0,其他
学期望，则
P {F(X)＞EX?1}?
。
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
2x
?
?
x,x＞0,
已知 函数
f(x)?
?
x
求
f
?
(x)
，并求
f(x)
的极值。
?
?
xe?1,x?0，
16.（本题满分10分）

设函数
f(u,v)
具有2阶连续偏导数，函数
g(x,y)?xy?f(x?y, x?y)
，求
?
2
g?
2
g?
2
g
??.

22
?x?x?y?y

17.（本题满分10分） < br>设函数
y(x)
是微分方程
y
?
?xy?
（1）求< br>y(x)
；
（2）设平面区域
D?{(x,y)1?x?2,0?y?y(x )}
，求D绕x轴旋转所得旋转体的体积。
18.（本题满分10分）
求曲线
y?e
【
19.（本题满分10分）
设
a
n
?
?x
1
2x
e
满足条件
y(1)?e
的特解。
x
2
2
sinx(x?0)
与x轴之间图形的面积。
?
1
0
x
n
1?x
2
dx(n?0,1, 2)

（1）证明：数列
?
a
n
?
单调减少，且< br>a
n
?
（2）求
lim
n?1

a
n?2
(n
?
2,3,
?
)；
n?2
a
n
.

n??
a
n?1
20.（本题满分11分）
TT2T
已知向量组
I：
?
1
=(1,1,4),
?
2
?(1,0,4),
?
3
?(1,2,a?3)

II ：
?
1
=(1,1,a+3)
T
,
?
2
= (0,2,1-a)
T
,
?
3
=(1,3,a
2
+ 3)
T

若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求a的取值，并将β
3
用α
1
, α
2
, α
3
线性表示。
21.（本题满分11分）
?
?2?21
??
210
?
????
A?
?
2x?2
?
B?
?
0?10
?
已知矩阵与相似
?
00?2
??
00y
?
????

（1）求x , y；
（2）求可逆矩阵P，使得
PAP?B.


22.（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概 率分布为
?1
P(Y??1)?p,P(Y?1)?1?p(0＜p＜1).
令
Z?XY

（1）求 Z的概率密度；
（2）p为何值时，X与Z不相关；
（3）X与Z是否相互独立；
23.（本题满分11分）
?
2
?
A
?
(x?
?
2
)
?
2
?
2
,x?
?
，设总体X的概率密度为
f(x;
?
)??
e
其中
?
是已知参数，
?
＞0
是
?
?
0,x＜
?
?
?
未知参数，A是常数，
X1
,X
2
,
（1）求A；
（2）求
?
的最大似然估计量。

2
,X
n
是来自总体X的简单随机样本。