三国演义读后感100-炭怎么读
浙江大学 研究生高等代数试题
一．
a
1
,a2
,
?
,a
n
是
n
个不相同的整数，证明f
(
x
)
?
(
x?a
1
)(
x?a
2
)
?
(
x?a
n
)
?
1
在
有理数域上可约的充分必要条件是
f(x)
可表示为一个整数多项式的平方
?
a
1
?
??
?
a
?
二．设?
?
?
2
?
，且
?
T
?
?0
，求(1)
E
n
?
??
T
(2)
(E
n
?
??
T
)
?1
?
??
?
a
?
?
n
?
(其中
E<
br>n
为
n
阶单位阵，
?
T
为
?
的转置
)
三．矩阵
A
m?n
是行满秩
(即秩A?m)
，证明：
(1)存在可逆阵
Q
，使得
A?(E
m
,0)Q
(2) 存在矩阵
B
n?m
，使得
AB?E
m
<
br>四．设
n
阶方阵
A
满足
A
2
?A
，
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n
是
P
n
中
n
个线形无关的列向量，设
V
2
是由
A
?
1
,A
?
2
,
?
,A
?
n
生成的子空间，
V
1
是
AX?0
的解空间，证明：
P
n
?V
1
?V
2
(
V
1
?V
2
表示
V
1
与
V
2的直和)
?
?
1
?
??
?
五．设
A
,B
都是
n
阶实对称矩阵，且
B
正定，则存在
S及D???
，使得
?
?
n
?
??
A?SDS
T
,B?SS
T
六．设
n
阶矩阵
A?(a
ij
)
，满足下列条件：
(1)0
?
a
ij
?
1,
?i,j
(2)
a
i1
?a
i2
???a
in
?1
(i=1,2,,n)
求证：(1)
A
的每一个特征值
?<
br>，都有
?
?1
(2)
?
0
?1
为
A
的一个特征
?
x
1
??
y
1
?
?
?
x
1
?
?
????
?
??
?<
br>n
?
?
?
?
?
，
?
?
?<
br>?
?
??
n
，
??
??
?
?
|x
i
是实数
?
，
A是n阶正定阵
，
?
x
??
y
?
??
x
??
n
n
?
?
???
n
?
??
求证：(1)
(
?
T<
br>A
?
)
2
?(
?
T
A
?
)
(
?
T
A
?
)
等号成立当且仅当
?
与?
线形相关时成立
（2）若
A是正定矩阵，则
(
?
T
A
?
)
2
?(
?
T
A
?
)(
?
T
A
?
)
也成立
八（1）设<
br>A,B
分别为复数矩阵域上的
k阶和l阶方阵
，并且
A,B
没
有公共的特征
值，求证
AX?XB
只有空解（这里
X?(x
ij)
k?k
）
（2）在
?
n?n
中，变换
?:
X?AX?XA,A??
n?n
，
?
为一个固定的矩阵，且
?
的
特征值不为（-
?
）的特征值，求证：
?
为一个线形变换。
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