2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案
答案速查：
一、选择题
（1）
B
（2）
D
（3）
C
（4）
B
（5）
D
（6）
D
（7）
A
（8）
B
（9）
C
（10）
A
二、填空题

（11）
0
三、解答题
（17）曲线
y?y(x)
在点（1，1）附近是凸的.
（18）
（12） （13） （14） （15）
1
（16）
(?1)
n
2
n
n!

3
n?1
2(?
y
'
x
'
f
1
?f
2
)< br>
xy
x

1?lnx
3

4
1
?42ln(2?1)

3
（19）略
1< br>?
1(?1)
n
n
（20）
f(x)??
?
(
n?1
?
n?1
)(x?1),x?(?1,3)

5< br>n?0
32
（21）
a?1
，此时所有公共解为
x?k[1, 0,?1]
，其中k为任意常数；
a?2
，此时唯一公
共解为
x?[ 0,1,?1]

（22）（Ⅰ）B的特征值为-2,1,1；B的属于特征值-2的全部特征 向量为
k
1
?
1
（
k
1
为非零的任
意常数），B的属于特征值1的全部特征向量为
k
2
?
2
?k3
?
3
（
k
2
,k
3
为不全为零的任 意常数）
T
T
?
01?1
?
??
（Ⅱ）
B?
?
101
?

?
?110
?
???
z(2?z),0?z?1,
7
?
2
（23）（Ⅰ）
P
?
X?2Y
?
?
；（Ⅱ）
f
Z
(z)?
?
(2?z),1?z?2,

24
?
0,其他
?
?
=2X?
（24）（Ⅰ）
?
1
2
2
;（ Ⅱ）
4(X)
不是
?
的无偏估计量
2
一、选择题（本题共 10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只
有一项符合题目要求，把所选项前 的字母填在后边的括号内）
（1）【答案】（B）
【解析】利用当
x?0
时的等价无穷小关系
ln(1?x):x
，即知当
x?0
时
?

ln(1?x):x
.故选B..
（2）【答案】 (D)
【解 析】方法1:论证法，由
lim
f(x)
存在及
f(x)
在
x?0
处连续，所以
x?0
x
f(x)
f(0)?limf(x) ?lim(x)?0,
（A）正确；
x?0x?0
x
f(x)?f(0)f (x)
由于
lim
存在，所以
f'(0)
存在.（C）也正确； < br>?lim
x?0x?0
x?0x
由
f(x)
在
x?0
处连续，所以
f(?x)
在
x?0
处连续，从而
f(x)? f(?x)
在
x?0
处
连续，将它看成（A）中的
f(x)
，从而推知
f(0)?f(?0)?0,
即有
2f(0)?0,f(0)?0
.
所以（B）正确，此题选择（D）.
方法2：举例法，举例说明（D）不正确.例如取
f(x)?x
，有
x??x
f(x)?f(?x)
lim?lim?0

x?0x?0
x?0x
而
f'(0)
并不存在. （D）不正确，选（D）.
（3）【答案】（C ）
【解析】由题给条件知，
f( x)
为
x
的奇函数，故
F(x)
为
x
的偶函数，所 以
F(?3)?F(3).
而
F(3)?
?
f(t)dt?
?
f(t)dt?
?
f(t)dt?
002
323
?2
?
?
8
?
3
?
,
8
F(2 )?
?
f(t)dt?
0
2
?
2

,
所以
F(?3)

?
3
F(2)
，选择C
4
（4）【答案】（B）
【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D，交换为先
x
后
y
< br>?
?
dx
?
2
?
1
sinx
f(x ,y)dy?
?
dy
?
0
1
?
?
?arc siny
f(x,y)dx
， 所以选择(B).
（5）【答案】（D）
【解析】
需求弹性?
Q'(P)?22P
P?P?.

Q( P)160?2P160?2P
由题知，它等于1，解之，
P?40.
所以选(D)
（6）【答案】（D）
【解析】
limy?lim
?
x?0
?
1
?
?ln(1?e
x
)
?
??,
所 以
x?0
是一条垂直渐近线；
x?0
x
??

?
1
?
limy?lim
?
?ln(1?e
x
)
?
?0,
所以
y?0
是沿
x???
方向的一条水平 渐近线；
x???x???
x
??
e
x
x
?1ln(1?e
x
)
?
yln(1?e
x
)
1 ?e
洛lim?1,
又
lim?lim
?
2
?< br>?
?
x
lim
x???
x
x???
x
???x???
xxx
??
?
1
?
lim
?y?x
?
?lim
?
?ln(1?e
x
)?x
?
?lim
?
ln(1?e
x
)?x
?

x???x???
x
??
x???
1?e
x
?limln(
x
)=limln(e
?x
?1)?0,

x???x?? ?
e
所以
y?x
也是一条渐近线，所以共有3条，选择（D）
（7）【答案】(A)
【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数
k
1
,k
2
,k
3
，使得
k
1
?
1
?k
2
?
2
?k
3
?
3
?0< br>成立.则称
?
1
,
?
2
,
?
3线性相关.因
?
1
?
?
2
?
?
2?
?
3
?
?
3
?
?
1
?0< br>，
故
?
1
?
?
2
，
?
2
?
?
3
，
?
3
?
?
1
线 性相关，所以选择（A）.
（8）【答案】（B）
?
?2
【解析】
?
E?A?
11
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0

1
1
?
?2
1
?
?
1
?
?2?
?
0< br>?
?3
?
?2
?
?2
?
?3
??
?
?3
?
?
?0

因为
A
的特征值是3，3，0，
B
的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似.
A< br>与
B
有相同的正惯性指数2，秩都等于2，所以
A
与
B
合同，应选（B）.

（9）【答案】(C)
【解析】根据独立重复的贝努利试 验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为
1
C
3
p(1?p)2
.
再加上第4次是成功的，其概率为
p
.根据独立性，第4次射击为第 二次命中
2
目标的概率为
1
C
3
p(1?p)
2
gp?3p
2
(1?p)
2
.
所以应选（C）.
（10）【答案】(A)
【解析】由于二维正态的
(X,Y)
中
X
与
Y
不相关，故
X
与
Y
独立，且
f(x, y)?f
X
(x)f
Y
(y)
.根据条件概率密度的定义，当在Y?y
条件下，如果
f
Y
(y)?0,
则

f
XY
(xy)?
f(x,y)

f
Y
(y)< br>?
f
X
(x)f
Y
(y)
?f
X
( x)
.现
f
Y
(y)
显然不为0，因此
f
XY(xy)?f
X
(x).
应选(A).
f
Y
(y)
二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11）【答案】 0
【解析】方法1：由洛必达法则，
x
3
?x
2
?13x
2
?2x6x?2

lim?lim?lim
2
x???
2
x
?x
3< br>x???
2
x
ln2?3x
2
x???
x
2
?
ln2
?
?6x
?lim
而
(sinx?cos x)
是有界变量，所以
6
2
?
ln2
?
?6x
3
x???
?0,

x
3
?x
2< br>?1
lim
x
(sinx?cosx)?0.

x??
2?x
3
x
3
?x
2
?11?x
?1
? x
?3
(sinx?cosx)?lim(sinx?cosx)
方法2：
lim
x???
2
x
?x
3
x???
2
x
x
?3
?1
2
x
2
x
ln22
x
(ln2)
2
?lim
而
lim2x?lim
3
?lim

x???x???
xx???
3x
2
x???
6x
x?3
2
x(ln2)
3
?lim???
，
x???
6
x
3
?x
2
?1
(sinx?cosx)?0.
所以
lim
x??
2
x
?x
3

(?1)
n
2
n
n!
（12）【答案】
3
n?1
【解析】
y?
1
?1?2?3
?
?
2x? 3
?
,y'?(?1)2
?
2x?3
?
,y''?(?1) (?2)2
2
?
2x?3
?
,
L
,
2x?3
(n)
由数学归纳法知
y?(?1)2n!
?
2x?3
?
nn
?n?1
(?1)
n
2
n
n!
,
y(0)?
n?1
3
(n)
（13）【答案】2(?
y
'
x
'
f
1
?f
2
)

xy

【解析】
?z1
?
y
?< br>?f
1
'?
?
?
2
?
?f
2
'?;
?xy
?
x
?
x
?
x
?
?z1
?f
1
'??f
2
'?
?
?
2?
,

?yx
?
y
?
?z?zyx
? y?2(?f
1
'
?f
2
'
)

?x?yxy
（14）【答案】
x

1?lnx
dydu
?u?x,
原方程化为
dxdx
du12dudx
u?x?u?u
3
,
即
3
??,

dx2ux
1
积分，得
2
?lnx?C

u
【解析】典型类型按标准解法.命
y? ux,
有
x
2
化为
y
，得
y?

lnx?C
2
解出
y?
x

C?lnx
x
.
1?lnx
再 以
(1,1)
代入，
C?1,
所以得特解
y?
（15）【答 案】 1
【解析】
?
0
?
0
2
A?
?
?
0
?
?
0
100
??
0
??< br>010
??
0
001
??
0
??
000??
0
100
??
0
??
010
??
0
?
??
0001
??
000
??
0
01 0
?
?
001
?
000
?
?
000
?
00?1
?
?
000
?

000
?
?
000
?

?
0
?< br>0
32
?
A?A?A?
?
0
?
?
0
显然
rA
010
??
0
??
001
??< br>0
000
??
0
??
000
??
0
100
??
0
??
010
??
0
?
001
??
0
??
000
??
0
??
?1.
3
(16) 【答案】
3

4
1
。在坐 标轴上画出
2
【解析】所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数
X,Y
，
X?Y?

?
1
?
1?
??
1< br>?
D的面积3
2
?
图形，所求概率为
P
?
X ?Y?
?
??
??
?.
其中D是由
2
?
单 位正方形面积14
?
1
y?x??
，
x?1
，
y? 1
以及x、y轴围成的图形.
2
三、解答题：17－24小题，共86分。请将解 答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
（17）【解析】 对方程两边求导得
ylny?2y?1?0?y?
'''
2
1
2?lny
1
'
(y
'
)
2
''
y? 0?y??
再两边求导得
y(2?lny)?y

yy(2?lny)
'''
'2
(y)
1
x?1
求在（1，1）点的值
y''
x?1
?????0

1(2?ln1)8
所以
y?y(x)
在点（1，1）处是凸的.

（18）【解析】由区域对称性和被积函数的奇偶性有
??
f(x,y)d
?
D
?4
??
f(x,y)d
?

D
1
其中
D
1
为
D
在第一象限的部分，而
??
f(x,y)d
?
?
??
f(x,y)d
?< br>?
??
f(x,y)d
?

D
1
D
11
D
12
其中
D
11
?
?
(x,y)0?y?1?x,0?x?1
?
D
1 2
?
?
(x,y)1?x?y?2,0?x,y?0
?

因 为
??
D
11
f(x,y)d
?
?
??
x
2
d
?
?
D
11
1

12
1
x
2
?y
2
d
?
?
2
ln( 22?3)

2
D
12
??
f(x,y)d
??
??
D
12
所以原式
?

1
?42ln(2?1)
.
3
（19）【解析】（Ⅰ）因
f(x)
与
g(x)
在
(a,b)
内存在相等的最大值，若两个函数 能够在同一
点
c?(a,b)
取得最大值，则
f(c)?g(c)
， 取
c
作为
?
即可.否则两个函数必在两个不同的点
x?c
与
x?d
处分别取得最大值.为确定起见，设
f(c)
是
f(x)在
[a,b]
上的最大值，
g(d)

是
g(x)
在
[a,b]
上的最大值，且
a?c?d?b
，不难得出
f (c)?g(c)
且
f(d)?g(d)
.
设
F(x)?f(x) ?g(x)
，则
F(x)
在
[a,b]
上连续，且
F(c) ?0?F(d)
成立.由闭区间
上连续函数取中间值性质知存在
?
?(c,d )?(a,b)
，使
F(
?
)?0
，即
f(
?)?g(
?
)

当
f(d)
是
f(x)
在
[a,b]
上的最大值且
g(c)
是
g(x)
在
[a,b]
上的最大值时可类似证明
存在
?
?(c,d)?(a,b)使得
F(
?
)?0
，即
f(
?
)?g(
?
)

（Ⅱ）设
F(x)?f(x)?g(x)
.由题设与（Ⅰ） 的结论知，
F(x)
在
[a,b]
上连续，
(a,b)
内二 次可导，且存在
?
?(a,b)
使
F(a)?F(
?
)?F (b)?0
.分别在
[a,
?
]
与
[
?
, b]
上对
F(x)
应用罗尔定理可得，存在
?
?(a,
?< br>)
，
?
?(
?
,b)
使
F
?
(
?
)?F
?
(
?
)?0
.由于
F?
(x)
在
[
?
,
?
]
上满足罗尔定 理的全部条件，按罗尔定理知存在
?
?(
?
,
?
)?(a, b)
，使
F
??
(
?
)?0
，即
f
??
(
?
)?g
??
(
?
)


（20）【解析】
f(x)?
1111
?(?)

(x?4 )(x?1)5x?1?3x?1?2
11111
?
x?1
n
??( )??
?
(),
记
f
1
(x)?
x?15x?415
1?(
15
n?0
3
)
3
111 11
?
x?1
n
f
2
(x)??()?
?
(?1)
n
(),
5x?110
1?(
x?1
)
1 0
n?0
2
2
则
x?1?3

x?1?2

1
?
x?1
n
1
?
1
?
1(?1)
n
n
x?1
n
f(x)??
?
()?
?
(?1)()??
?
(
n?1
?n?1
)(x?1)
n
,x?(?1,3)

15
n? 0
310
n?0
25
n?0
32
（21）【解析】方法1： 因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立
?
x
1
?x
2
?x
3
?0
?
x?2x?ax?0
?
123
?
2
x?4x?ax
3
?0
2
?
1
?< br>x?2x?x?a?1
23
?
1
并对联立方程组的增广矩阵作初等行变 换
(3)

?
1110
??
1
???
12a0
?
?
?
0
(Ab)?
?
?
14a
2
0
??
0
?
?
121a?1?
?
?
?
???
0
110
?
?
1
?
1a?10
?
?
0
?
?
2
3a?10
?
?
0
?
?
10a?1
?
?< br>?
0
1
?
?
10a?1
?

?< br>0a?11?a
?
00(a?1)(a?2)
?
10
?
x
1
?x
2
?x
3
?0
当
a?1
时，联立方程组（3）的同解方程组为
?

x?0
?
2
解 得两方程组的公共解为
k[1,0,?1]
，其中
k
是任意常数.
T
?
x
1
?x
2
?x
3
?0
?< br>当
a?2
时, 联立方程组（3）的同解方程组为
?
x
2
?1

?
x??1
?
3
解得两方程的公共解为
[0,1,?1]
.
方法2：将方程组（1）的系数矩阵
A
作初等行变换
T
?
111
?
?
111
??
111
?
??
?< br>?
?
01
?

A?
?
12a
??
?
01a?1a?1
????
2
2
?
?03a?1
?
?
?
?
00(a?1)(a?2)
??
?
14a
?
?
?
当
a?1
时，方程 组（1）的同解方程组为
?
T
?
x
1
?x
2
?x
3
?0

?
x
2
?0
T
解 得（1）的通解为
k[1,0,?1]
，其中
k
是任意常数.将通解
k[1,0,?1]
代入方程（2）
、（2）的公共解.
k?0?(?k)?0< br>.对任意的
k
成立，故当
a?1
时，
k[1,0,?1]T
是（1）
当
a?2
时，方程组（1）的同解方程组为
?
T
?
x
1
?x
2
?x
3
?0

?
x
2
?x
3
?0
T
解得（1）的通解为
?
[0,1,?1]
,其中
?
是任意常数. 将通解
?
[0,1,?1]
代入方程（2）
T
（1）和（2）的公共解为
[0,1,?1]
.
2
?< br>?
?
?1
.得
?
?1
，故当
a?2
时，

nn
（22）【解析】（Ⅰ）可以很容易验证
A
?
1
?
?
1
?
1
(n?1,2,3...)
，于是
5353

B
?
1
?(A?4A? E)
?
1
?(
?
1
?4
?
1
?1 )
?
1
??2
?
1

于是
?
1
是矩阵
B
的特征向量.

B
的特征值可以由
A
的特征值以及
B
与
A
的关系 得到，
?
(B)?
?
(A)?4
?
(A)?1
所< br>53

以
B
的全部特征值为－2，1，1.
前面已 经求得
?
1
为
B
的属于－2的特征值，而
A
为实对 称矩阵，
于是根据
B
与
A
的关系可以知道
B
也是 实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正
交，设
B
的属于1的特征向量为(x
1
,x
2
,x
3
)
，所以有方程如下：
T
x
1
?x
2
?x
3
?0
TT
于是求得
B
的属于1的特征向量为
?
2
?(?1, 0,1),
?
3
?(1,1,0)

?
1?11
?
??
?1
（Ⅱ）令矩阵
P?
?
?
1
,?
2
,
?
3
?
??101
，则
PBP ?diag(?2,1,1)
，所以
??
?
?
110
?
?

1?
1
?
?
33
?
1?11
?
?
?
diag(?2,1,1)
?
?
11
B?P?diag(?2, 1,1)?P
?1
?
?
?101
??
?
33
??
?
?
110
?
2
?
1
?
3
?
3

（23）（本题满分11分）
【解析】（Ⅰ）
P
?
X?2Y
?
?
那部分区域；
求此二重积分可得
P
?
X?2Y
?
?
1
?
3
?
?
01?1
?
?
2
?< br>?
?
?
101
?
?

3
?
?
?
?110
?
?
1
?
?
3
?< br>?
??
(2?x?y)dxdy
，其中
D
为
0?x? 1,0?y?1
中
x?2y
的
D
1
5
2
7

?(x?x)dx?
dx(2?x?y)dy
?
0
8?
0
?
24
1
1
x
2
0
（Ⅱ ）
F
Z
(z)?P
?
Z?z
?
?P
?X?Y?z
?

当
z?0
时，
F
Z
(z)?0
；
当
z?2
时，
F
Z
(z)?1
；
1
32
(2?x?y)dy??z?z

?
00
3
11
1
3
5
2
当
1?z?2
时，
F
Z
(z)?1?
?
dx
?
(2?x?y)dy?z?2z?4z?

z?1z?x
33
?
2z?z
2
,0?z?1
?
2
1?z?2
所以
f
Z
(z)?
?
z?4z?4,
?
0,其他
?
当
0?z?1
时，
F
Z
(z)?
z
dx
?
z?x

（24）（本题满分11分）
【解析】（Ⅰ）记
EX?
?
，则
?
?EX?
?< br>解出
?
?2
?
?
?
0
1
xx
11
dx?
?
dx
??
?

?
2(1?
?
)2
?
42
1
$$
?2X?
1
； ，因此参数
?
的矩估计量为
?
22
2
2
（Ⅱ）只须 验证
E(4X)
是否为
?
即可，而

E(4X)?4E(X)?4(DX?(EX))?4(DX?(EX))
，而

EX?
22
2
1
n
2
111
?
?
，
EX
2
?(1?
?
?2
?
2
)
，
426
5
?
1
DX?EX
2
?(EX )
2
???
?
2
，
481212
2
5? 3n3n?13n?1
2
于是
E(4X)??
?
?
?
?
?
2

12n3n3n
2
因此
4X
不是为
?
的无偏估计量.

2