南昌大学考研数学专业真题

南昌大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题

一、 判断题（每小题6分，共30分，对的请证明；错的请举例）
1、 若
0?q
n?1,(n?2,3,?),
则必有
lim(q
n
)?0

n??
n
2、 设
f(x)
定义在[a,b]上，
f(x)
在（a,b）上连续，
f(a)?0,且f(b)?0,则比存在x
0
?[a ,b],使f(x
0
)?0

??
a
n
3、 若级数
?
a
n
和
?
b
n
满足lim< br>
?0，则当
?
b
n
收敛时，a
n
也收敛。
?
n??
b
n?1n?1n?1n?1
n
??
4、 若
limf(x,y)存在，则limlimf(x,y)存在。

x?x
0
y?y
0
x?x
0
y?y
0
22
5、 若 曲面S为：
x?y?z?R,则（x?y?z)d
?
?
S
22
??
222
??
R
S
n
d
?
。
二、 计算题（每小题12分，共60分）
1、 求
lim(sinx?1?sin
x??
x)

2、 求
lim
1
x
2
costdt

0
x?0
x
?
xy?u?u?
2
u?
2
u
3、 设
u?f(s,t),s?,t?,求,,,
2

yz?x?z?x?y
?z
x
2n?1
4、
求幂级数
?
的和函数

2n?1
b?1
?
5、 应用斯托克斯公式计算
C
?
(2y?z)dx?(x?z)dy?(y?x)dz

其中C是平面x?y?z?1与坐标平面的绞线，C的方向与平面x?y?z?1的
?

111
法向量n?(,,)按右手法则。
333

三、 证明题（每小题12分，共60分）
1、 从定义出发，证明数列
{(?1)}
发散
2、 证明：（i）函数
f(x)?
n
1
在[a,1]上一致连续， 其中0?a?1;

x
0，1]上非一致连续
（ii）函数
g(x)?lnx在（
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1

3、 证明：对任意的
x?(??,??),成立不等式，xe?e
x

4、 证明 ：若
f
x
(x,y)与f
y
(x,y)在矩形区域D上有界，则函数 f(x,y)在D上

一致连续。
5、 证明：（i）对任意
a?2,
（ii）
??
''
?
??
1
x
dx收敛；

2?x
n
x
??）上非一致收敛；
、
?
1
2?x
n
dx
在关于
a在（2，
??
x
dx在（2，??）上连续。
（iii）函数
F(a)?
?

n
1
2?x

































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2

南昌大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题

一、判断题（每小题6分，共30分。对的请证明，错的请举反例）
1、 若
q
n
?1

(n?1,2?),则必有lim(q
n
)???

n??
n
2、 若
limf(x)?A,则f(x)?A?
?
(x),其中
?
(x)(?a)是无穷小。

x?a
3、 若函数
f(x,y)
在点
(x
0
,y
0
)
连续， 则
limlimf(x,y)
与
limlimf(x,y)
均存
x? x
0
y?y
0
y?y
0
x?x
0
在。
4、 若暇积分
?
b
a

|f(x)|dx收敛（a为瑕点 ）。则
?
f(x)dx也收敛。
a
b
5、 若
f(x)在[a,b]上可积，

g(x)在[a,b]不可积，则f(x)g(x )在[a,b]上不可积。
二、计算题（每小题12分，共60分）
1、
lim(
n??
111
??
?
)。

1?22?3n?(n?1)
n
2、
lim
1
.

?
n??
n?k
k?1
3、将函数
f(x)?
?
?
2
?
0

?
?
?x?0
展成傅立叶级数，并画出
0?x?
?
f(x)的傅立叶级数和函数的图像

4、设C是xy平面上以原点为圆心半径为1的圆周，其方向是顺时针方向，求

(y?6)dx?(3x?e
C
?
siny
)dy

5、求
f(x，y)?

x
2
?y
2
在点(0,0)沿任意射线l的方向导数

三、 计算题（每小题12分，共60分）
1、 用柯西收敛准则证明
limsin
x?0
1
不存在。

x
2、 证明
f(x)?
3、
证明
1
在（0，1）上连续，而在（0，1）上非一致连续

2x
?
i）
?x?(0,??),级数
?
2
n
s in
n?1
1
收敛

3
n
x
ii）函数级数
?
2
n
sin
n?1
?
1
在（0，??）上非一致连续

n
3x
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3

4、设二元函数f(x,y)定义在D?R
2
上，且对x 连续；对y满足李普希兹条件，
即存在常数l?0,使得?(x,y),(x,y)?D,有
| f(x,y
'
)?f(x,y
''
|?L|y
'
?y
''
|

证明：
f(x,y)在D上连续。

'''

｛x
n
｝无界，但limx
n
?0，则｛ x
n
｝必存在两个子列，
一个子5 、证明：若数列
n??
列收敛，另一个子列（当
n??时）是无穷大


































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4

南昌大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题

一、
判断题（每小题6分，对的请证明，错的请举反例）
1、 若
?m?N
n
,且limx
n
?x,则x?0

n ??
（a,b)
内可导，则
f(x)
在
[a,b]
上必可导 。 2、 若函数
f(x)在[a,b]
上连续且在
3、 若数值级数
?a收敛，则相应的幂级数
?
a
n
n?1n?1
y?y
0
x?x
0
??
n
x
n
的收敛半径r?1

4、
若limlimf(x,y)与limlimf(x,y)均不存在，则limf(x, y)均不存在。
x?x
0
y?y
0
x?x
0
y?y
0
若无穷积分
?
??
a
f(x)dx收敛，则limf(x )?0

x???
二、
计算题（每小题12分，共60分）
1、 求
lim(1?
x??
0
1
x
)

x?3
2
?
sinx
?
?
y?
?
x
dx

2
3、 用斯托克斯公式计算
?
xydx?ydy?zdz，其中C是抛物面

2、 求二重积分
dy
?
?
C
C逆时针方向为正向。
2?z?x
2
?y
2
被平面z=1截下一块光滑球面S的边界，
4、 设z=< br>f(xe
y
,x?cosy)
，求
?z?z
，

?x?y
11
，，0)
的切线方程与法平
22
5、 求曲线
x?y?z?1,x?y?z?0在你p(
面方程
222
三、
证明题（每小题12分，共60分）
1、 从定义出发证明数列
?
?
n
?
?
的极限不是0。
?
n?1
?
2
2、 证明：若函数
f(x)在[a,b]上可积，则函数

[f(x)]在[a,b]上也可积。
3、 从定义出发证明
f(x)?x在(?1, 1)上一致连续，在（
上非一致
-?，??）
连续。
2
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5

lim(
4、 设函数
?
x
n
?
满 足条件
lim(x
n
?x
n?2
)?0,证明：
n??n? ?
x
n?
x
n?1
)?0

n
5、 证明 （1）函数级数
?
ne
n?1
?
?nx
的收敛域为
(0,??)

?nx
ne
（2）函数级数
?
在
(0,??)
上非一致收敛
?
































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n?1
?
3）若令
f(x)?
?
ne
?nx
,x?(0,??),
则f(x)在（0， ??）上连续

n?1
6
（

南昌大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题

1、（20分）计算n级行列式：
1?a
1
D?
a
1?
a
1
a
2
1?a
2
?
a
2
a
3
?
a
3
?
??
a
n
a
n
?

a
3
?
1?a
n
2、（25分） 设
f(x),g (x),d(x)
和
u(x)
都是数域P上一元多项式，且
u(x)
的次
数大于零。证明：
d(x)
是
f(x)
和
g(x)的最大公因子。当且仅当
d(u(x))
是
f(u(x))
和
g (u(x))
的最大公因子
3、（25分）设V是数域P上n维向量空间，
?
是V的一个线性变换，证明：若
V中每个非零向量都是
?
的特征向量，则有某个个
a?P
，使得对于每
?
?V,
?
(
?
)?a
?

秩（E?A)?秩（E?A)?n

4、（25分）设 n级矩阵A满足
A
2
?E,其中E为n级单位矩阵，证明：


5、（27分）设E 是一个欧式空间，
a
1
,a
2
,?
,a
m
是E中一组向量，

证明：向量组
a
1
,a
2
,
?
,a
m
的秩等于下面矩阵的秩： < br>?
(a
1
,a
1
)(a
1
,a
2< br>)
?
(a,a)(a,a)
2122
A
?
?
?
??
?
?
(a
m
,a
1
)(a
m
,a
2
)
?
(a
1
,a
m
)< br>?
?
(a
2
,a
m
)
?
?
其中
(
?
,
?
)为向量
?
和
?
的 内积。
??
?
?
?
(a
m
,a
m
)
?
6、（28分）设A是一个n级实对称矩阵，
P
1< br>,P
2
,
?
,P
n
是A
的顺序主子式，
证明：若
P
i
?0,i?1,2,?m.其中1?m ?n则
A至少有m个正的特
征值，这里重特征值的个数按重数计算



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南昌大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题

1、（20分）计算n级行列式：

x
D?
a
a
a
x
a
a
a
a
?
a
?
a
?
x

?????
2、（25分）设
f(x)
，
g (x)
和
u(x)
都是数域P上一元多项式，且
u(x)
的次数大于 零，
证明：
f(x)
和
g(x)
互素，当且仅当
f(u( x))
和
g(u(x))
互素。
3、（24分）设n级矩阵A满足
A
K
?0
,其中K为一个正整数，证明：
A
n
?0
。
4、（26分）设V是数域P上一个向量空间，
?
1
,
?
2
,
?
,
?
n
是V中一组向量，其中n>1,
P
n
?
{(a
1
,a
2
,
?
, a
n
)|a
i
?
P,i
?
1,2,
?n}
是数域P上n维行向量空间，且W
是
P
的如下子集：
W= ｛（
a
1
,a
2
,
?
,a
n
）< br>?P
|
a
1
?
1
?a
2
?
2
??a
n
?
n
?
0
｝
证明： （1）W是
P
的一个子空间。
（2）若
?
1
,
?
2
,
?
,
?
m
是向量组< br>?
1
,
?
2
,
?
,
?
n< br>的一个极大线性无关组
这里
1
?
m
?
n,
且
?
i
?
a
i1
?
1
??
aim
?
m
,i
?
m
?
1,
?
,n
。则子空间W有如下
一组基：（
n
n
?
m?1,1,
?
m?1,2
,
?
,
?
m?1,m
,
?
1,0,
?
,0
），…，
(
?
n,1
,
?
n,2
,?,
?
n,m
,0,0,?,?1)

5、（27分）设E是一个人n维欧氏空间，A是E的一个线性变换，
证明：A是 E的一个对称变换，当且仅当对于E的任意一个标准正交基，A在该基下的
矩阵为对称矩阵。
6、（28分）设A和B都是n级实对称矩阵，且A=
C
BC，其中C是一个n级实矩阵，而< br>C
为矩阵C的转置。证明：A的正惯性指数和负惯性指数都不超过矩阵B



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南昌大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题

1、（20分）计算n（n>1）级行列式

x
D?
a
a
a
x
0
a
0
0
?
a
?
0
?
x

?????
2、（25分）设
f(x)
是复 数域上一个常数项不为零的单元多项式，n为一个正整数，
证明：
f(x)
没有重根 ，当且仅当
f(x
n
)
没有重根。
3、（26分）设n级矩阵A满 足
A
=0，其中k是一个正整数，证明：n级矩阵E+A的行列
式为1，这里E为n级 单位矩阵。
4、（26分）设V是数域P上一个n为向量空间，A是V的一个线性变换，且
?
?V
，现
考虑V如下子集：W=
{c
0
?
1?c
1
A
?
2
?
?
c
n?1
A
n?1
K
?
n
|c
0
,c
1
,
?
,c
n?1
?P}
。
证明：（1）W是V的一个A- 不变子空间
（2）对于V的任意一个包括
?
的A-不变子空间U, W
?
U。
5、（27分）设V是一个欧式空间，
?
1
,< br>?
2
,
?
,
?
m
是V的一个标准正交向量组 ，证明：对
于V的任意一个向量
?
,
如下不等式成立：
(
?
,
?
)?(
?
,
?
1
)
2
???(
?
,
?
m
)
2
，
这里（u,v）表示V中向量u和v的内积。
6、（28分）设A是一个n级是对称矩阵，< br>P
1
,P
2
,
?
,P
n
是A的顺序 主子式，
a
1
,a
2
,
?
,a
n

都是实数，使得
a
i
P
证明：A合同如下列矩阵：
,?
n?1。
i
?0且a
i?1
P
i
P
i?1
?0,i?1
?
a
1
00
?
0a0
2
?
?
00a
3
?
?
???
?
?
000






2013-4-136:13:09
0
?
?
0
?
?
?
0
?

?
??
?
0a
n
?
?
?
9