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在职研究生考试数学测试练习题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-27 23:04
tags:不考数学的研究生专业

讫怎么读-喜不自胜的近义词

2020年10月27日发(作者:瞿道文)


. .
在职研究生考试数学测试练习题



微积分
(1)设
y(x)
是微分方程
y
??< br>?(x?1)y
?
?x
2
y?e
x
的满足
y (0)?0

y
?
(0)?1
的解,则
x
(A)等 于0.
x?0
lim
y(x)?x
2
()
(B)等于1. (C)等于2. (D)不存在.

lim
x?0< br>y(x)?xy
?
(x)?1y
??
(x)1
?lim?li m?y
??
(0)

2
x?0x?0
x2x22
2

x?0
代入方程,得
y
??
(0)?(x?1)y?
(0)?xy(0)?1
,又
y(0)?0

y
?< br>(0)?1
,故
y
??
0()2?
所以
lim
x?0

y(x)?x
?1
,选择B.
x
2
?f(x,y)
?f(x,y)
?0
,则保证不等式
f(x
1
,y
1
)?f(x
2
,y
2
)
成立
?0

?y
?x
(2)设在全平面上有
的条件是()
(A)< br>x
1
?x
2

y
1
?y
2
.
(C)
x
1
?x
2

y
1
?y
2
.



(B)
x
1
?x
2

y
1
?y
2
.
(D)
x
1
?x
2

y
1
?y
2
.
?f(x,y)
?0?f(x,y)
关于
x
单调减少,
?x
?f(x,y)
?0?f(x,y)
关于
y
单调增加,
?y

x
1
?x
2

y
1
?y
2
时,
f(x
1
,y
1
)?f(x
2
,y
1
)?f(x
2
,y
2
)
,选择A .
(3)设
f(x)

(??,??)
存在二阶导数,且
f(x)??f(?x)
,当
x?0
时有
f
?
(x)?0< br>,
f
??
(x)?0
,则当
x?0
时有()
(A)
f
?
(x)?0,f
??
(x)?0
. (B)
f
?
(x)?0,f
??
(x)?0
.
(C)
f
?
(x)?0,f
??
(x)?0
. (D)
f
?
(x)?0,f
??
(x)?0
.
解【利用数形结合】
f(x)
为奇函数,当
x?0
时,
f (x)
的图形为递减的凹曲线,当
x?0
时,
f(x)
的图形为递< br>减的凸曲线,选择D.

(4)设函数
f(x)
连续,且
f
?
(0)?0
,则存在
?
?0
,使得()
word完美格式


. .
(A)在
(0,
?
)
内单调增加
(B)在
(?
?
,0)
内单调减少
(C)对任意的
x?(0,
?
)
,有
f(x)?f(0)

(D)对任意 的
x?(?
?
,0)
,有
f(x)?f(0)

f(x)?f(0)
?0

x?0
x
f(x)?f(0)
由极限的的保号性,在此邻域内,所以对任意的
x?(?
?
,0)

?U(0,
?
)

?0

x
解【利用导数 的定义和极限的保号性】
f
?
(0)?lim

f(x)?f(0)
,选择D.
f(x)?
(5) 函数
|x|sin(x?2)
x( x?1)(x?2)
2
在下列哪个区间内有界.
(A) (?1 , 0).
[ A ]
【分析】如
函数f (x)
在(a , b)内有界.
(B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).
?
f (x)在(a , b)内连续,且极限
x?a
limf(x)
?

x?b
limf(x)
存在,则
【详解】当x ? 0 , 1 , 2时,f (x)连续,而
x??1
limf(x)??
sin2
4

limf(x)??
?
sin3
18

x?0
?
x?0
?
limf(x)?
sin2
limf(x)??
limf( x)??
4

x?1

x?2

所以,函数f (x)在(?1 , 0)内有界,故选(A).
【评注】一般地,如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续,则f (x)在闭区间
[a , b]上有界;如函数f (x)在开区间(a , b)内连续,且极限
x?a
x?b
?
limf(x)
?
与< br>limf(x)
存在,则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.
limf(x)?a
(6)设f (x)在(?? , +?)内有定义,且
x??

word完美格式


. .

1
?< br>?
f(),x?0
g(x)?
?
x
?
?
0, x?0
,则
(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.
断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(B) x = 0必是g(x)的第二类间
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.
[ D ]
【分析】考查极限
x?0

u?
1
x


limg(x)
是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换
可将极限
x?0
limg(x)
转化为
x??
limf(x)
.
1
1
limg(x)?limf()?limf(u)
u?
x?0u??
x
x
),又g(0) = 0,【详解】因为
x?0
= a(令
所以,
当a = 0时,
x?0
limg(x)?g(0)
,即g(x)在点x = 0处连续,当a ? 0时,
x?0
limg(x)?g(0)
,即x = 0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x = 0
处的连续性
与a的取值有关,故选(D).
【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性.




(7) 设f (x) = |x(1 ? x)|,则
(A) x = 0是f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.
(B) x = 0不是f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(C) x = 0是f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
word完美格式


. .
(D) x = 0不是f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.
[ C ]
【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极
值情况,
考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.
【详解】设0 0,而f (0)
= 0,所以x = 0是f (x)
的极小值点.
显然,x = 0是f (x)的不可导点. 当x ? (?? , 0)时,f (x) = ?x(1 ?
x),
f
??
(x)?2?0

当x ? (0 , ?)时,f (x) = x(1 ? x),
f
??
(x)??2?0
,所以(0 , 0)
是曲线y = f (x)的拐点.
故选(C).
【评注】对于极值情况,也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导
数的符号来判断.
(8) 设有下列命题:
(1) 若
n?1
?
?
(u
2n?1
?u
2n
)< br>?
收敛,则
n?1
?
?
u
n
?
收敛 .
(2) 若
n?1
?
u
n
收敛,则
n?1< br>?
u
n?1000
?
u
n
?
收敛.
(3) 若
u
lim
n?1
?1
n??
u
n
,则
n?1
发散.
?
(4) 若
n?1
?
(u
n
?v
n
)
?
收敛,则
n?1
?
u
n
?
v
n

n?1
?
都收 敛.
则以上命题中正确的是
(A) (1) (2).
[ B ]
【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.
(B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).
word完美格式


. .
【详解】(1)是错误的,如令
u
n
?(?1)
,显然,
n?1
收敛.
n
?
u
n
?
分散,而
n?1
?
(u
2n? 1
?u
2n
)
?
(2)是正确的,因为改变、增加或减少级数的有限 项,不改变级数的收敛性.
u
lim
n?1
?1
n??
u
n
(3)是正确的,因为由
发散.
可得到
u
n
不趋向于零(n ??),所以
n?1
?
u
n
?
(4)是错误的,如令
u
n
?
11
?
u
n
?
v
n
,v
n
??
nn
,显然,
n?1

n?1
都发散,而
??
n?1
?
(u
n
?v
n
)
?
收敛. 故选(B).
【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法,属于基本题型.
(9) 设
f
?
(x)
在[a , b]上连续,且
f
?
( a)?0,f
?
(b)?0
,则下列结论中错误的是





(A) 至少存在一点
(B) 至少存在一点
(C) 至少存在一点
(D) 至少存在一点
x
0
?(a,b)
x
0
?(a,b)
x
0
?(a,b)
x
0
?(a,b)
,使得
,使得
,使得
,使得
f(x
0
)
f (x
0
)
> f (a).
> f (b).
.

f
?
(x
0
)?0
f(x
0
)
= 0.
[ D ]
【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可
选出错误选项.
【详解】首先,由已知
f
?
(x)
在[a , b]上连续,且f
?
(a)?0,f
?
(b)?0
,则由
介值定理,
至少存在一点
x
0
?(a,b)
,使得
f
?
(x
0
)?0

另外,

f
?
(a )?lim
x?a
?
f(x)?f(a)
?0
x?a
,由极 限的保号性,至少存在一点
x
0
?(a,b)
word完美格式


. .


使得使得
f(x
0
)?f(a)
?0
x
0
?a,即
f(x
0
)?f(a)
. 同理,至少存在一点
x
0
?(a,b)

f(x
0
)?f(b)
. 所以,(A) (B) (C)都正确,故选(D).
【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有一定的难度.

(10)设函数
y?f(x)
具有二阶导数,且
f
?(x)?0,f
??
(x)?0

?x
为自变量
x在点
x
0
x
处的增量,
?y与dy
分别为
f( x)
在点
0
处对应的增量与微分,若
?x?0
,则
(A)
0?dy??y
. (B)
0??y?dy
.
(C)
?y?dy?0
. (D)
dy??y?0
.
[ A]
【分析】题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.
【详解】由
f
?(x)?0,f
??
(x)?0
知,函数
f(x)
单调增加,曲
线
y?f(x)
凹向,作函数
y?f(x)
的图形如右图所示,显然 当
?x?0
时,
?y?dy?f
?
(x
0
)dx ?f
?
(x
0
)?x?0
,故应选(A).
f
?
h
2
?
h
2
?1
(11)设函数
(A)
(C)
[ C ]
f
?
x
?
lim
x?0
在处连续,且
h?0
,则
f
?
0
??1且f
?
?
?
0
?
f
?
0
?
?0且f
?
?
?
0
?
存在 (B)
存在 (D)
存在
f
?
0
?
? 0且f
?
?
?
0
?
f
?
0
??1且f
?
?
?
0
?
存在
【分析】从
f
?
?
(0),f
?
?
(0)
lim
h?0
f
?
h
2
?
h
2< br>?1
入手计算
f(0)
,利用导数的左右导数定义判定
的存在性. < br>lim
h?0
f
?
h
2
?
h
2【详解】由
x?0
?1
知,
h?0
limf
?
h
2
?
?0
.
.又因为
f
?
x
?

x?0
处连续,则
f(0)?limf(x)?limf
?
h
2
?
?0
h?0
word完美格式


. .

t?h
,则
所以

f
?
?
(0 )
2
1?lim
h?0
f
?
h
2
?
h
2
?lim
?
t?0
f
?
t
?
?f(0)
?f
?
?
(0)
t
.
存在,故本题选(C).
(12)若级数
?
a
n?1
?
n
收敛,则级数
(A)
n?1
?
a
?
?
n
收敛 . (B)
n?1
?
(?1)
?
n
a
n
收敛.
?
(C)
[ D ]
?
a
n
a
n? 1
n?1
a
n
?a
n?1
?
2
收敛. (D)
n?1
收敛.
【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.
【详解】由
n?1
?
a
n
?
收敛知
n?1
?
a
n?1
?a
n
?a
n?1
?
2
收敛,所以级数
n?1< br>收敛,故应选(D).
?
或利用排除法:
a
n
?(?1)
n
1
n
,则可排除选项(A),(B); 取

a
n
?(?1)
n
1
n
,则可排除选项(C).故(D)项正确. < br>y
1
(x),y
2
(x),C
(13)设非齐次线性微分方程
y
?
?P(x)y?Q(x)
有两个不同的解
任意常数,则该方程的 通解是
(A)
(C)
C
?
y
1
(x)?y
2
(x)
?

. (B)
. (D)
y
1
(x)?C
?
y
1
(x)?y
2
(x)
?
.
C
?
y
1
(x)?y
2
(x)
?
y
1
(x)?C
?
y
1
(x)?y2
(x)
?
[ B ]
【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于
所以它的通解是
y
1
(x)?y
2
(x)
是对应齐次线性微分方程
y
?
?P(x)y?0
的非零解,
,故原方程的通解为
,故应选(B).
Y?C
?
y
1
(x)?y
2< br>(x)
?
y?y
1
(x)?Y?y
1
(x)?C?
y
1
(x)?y
2
(x)
?
word完美格式


. .
【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:
y?y*?Y
.
其中
y*
是所给一阶线性微分方程的特解,
Y
是对应齐次微分方程的 通解.
?
y
?
(x,y)?0
(x,y)
f(x,y)与
?
(x,y)
(14)设均为可微函数,且,已知
00

f (x,y)

约束条件
?
(x,y)?0
下的一个极值点,下列选项 正确的是
(A) 若
(B) 若
(C) 若
(D)
[ D ]
(x,y,
?
)
?
【分析】利用拉格朗日函数
F( x,y,
?
)?f(x,y)?
??
(x,y)

000< br>(
0

f
x
?
(x
0
,y
0
)?0
f
x
?
(x
0
,y
0
) ?0
f
x
?
(x
0
,y
0
)?0
,则
,则
,则
f
y
?
(x
0
,y
0
)?0
f
y
?
(x
0
,y
0
) ?0
f
y
?
(x
0
,y
0
)?0
.
.
.

f
y
?
(x
0
,y
0
)?0

f
x
?
(x< br>0
,y
0
)?0
,.
对应< br>x
0
,y
0
的参数
?
的值)取到极值的必要条件即可 .
x,y
【详解】作拉格朗日函数
F(x,y,
?
)?f(x,y )?
??
(x,y)
,并记对应
00
的参

?的值为
?
0
,则
?
F
?
(x,y,
?
)?0
?
f
?
(x,y)?
??
?
(x ,y)?0
?
x00
?
x000
0x00
?
???
?
?
?
F
y
(x
0
,y
0
,
?
0
)?0
,即
?
?
f
y< br>(x
0
,y
0
)?
?
0
?
y
(x
0
,y
0
)?0
.
消去
?
0
,得
,
?
y
?
(x ,y)?0
f
x
?
(x
0
,y
0
)
?
y
?
(x
0
,y
0
)?f
y
?
(x
0
,y
0
)
?
x
?
(x< br>0
,y
0
)?0
f
x
?
(x
0,y
0
)?
1
整理得

f
x
?
(x
0
,y
0
)?0
?
y
?
(x
0
,y
0
)
f
y
?
(x
0
,y
0
)
?
x
?
(x
0
,y
0
)
.(因为
.故选(D).
),
,则
f
y
?
(x
0
,y
0
)?0

线性代数
222
(1)二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)? x
1
?4x
2
?4x
3
?4x
1
x
2
?4x
1
x
3
?8x
2
x
3
的规范型是().
word完美格式


. .
222
222
(A)
f? z
1
?z
2
?z
3
.(B)
f?z
1?z
2
?z
3
.
2
22
(C)
f? z
1
?z
2
.(D)
f?z
1
.
解二次型的规范型由它的正负惯性指数确定,
?
1?22
?
??< br>二次型的矩阵
A?
?
?24?4
?
,其特征多项式
?
2?44
?
??
1?
?
A?
?
E??2
2
?2
4?
?
?4
2
?4?
4?
?
9?
?
0
0
?2
?
?
0
20?
?
2
(9?
?
)

?
?

A
的特征值为
9,0,0
,正惯性指数
p?1
,负惯性 指数
q?0
,选择D.
2k
??
1
??
(2)设
A?
?
1k?11
?

B
是三阶非零矩阵,且AB?O
,则().
?
k21
?
??
(A)当
k?1
时,
r(B)?1
.(B)当
k??3
时,
r(B )?1
.
(C)当
k?1
时,
r(B)?2
.(D)当< br>k??2
时,
r(B)?2
.

B?O?r(B)?1
AB?O?r(A)?r(B)?3?r(B)?3?r(A)

1?r(B)?3?r(A)
.

k?1
时,
r(A)? 1

1?r(B)?2
,排除A,C,
?
12?2
??< br>03?3
?
????

k??2
时,
A?
?
1?11
?
~
?
1?11
?

r(A)? 3

1?r(B)?0
,矛盾,
?
?221
??
003
?
????
排除D,选择B.

(3) 设
n
阶矩阵
A

B
等价, 则必有
(A) 当
|A|?a(a?0)
时,
|B|?a
. (B) 当
|A|?a(a?0)
时,
|B|??a
.
(C) 当
|A|?0
时,
|B|?0
. (D) 当
|A|?0
时,
|B|?0
.
[ D ]
【分析】利用矩阵
A

B
等价的充要条件:
r(A)?r(B)
立即可得.
word完美格式


. .
【详解】因为当
|A|?0
时,
r(A)?n
, 又
A

B
等价, 故
r(B)?n
, 即
|B|?0
, 故选(D).
【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.
*
A?0,

ξ
1

2

3

4
是非齐次线性方程组
Ax?b

n
(4) 设阶矩阵
A
的伴随矩阵
互不相等的解,则对应的齐次线性 方程组
Ax?0
的基础解系
(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.
[ B ]
【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系
数矩阵的秩.
【详解】因为基础解系含向量的个数=
n?r(A)
, 而且
r(A)?n ,
?
n,
?
r(A
*
)?
?
1,r(A) ?n?1,
?
0,r(A)?n?1.
?

*
A?0,于是
r(A)
等于
n

n?1
. 又
Ax?b
有互不相等的解, 根据已知条件
即解不惟一, 故
r(A)?n?1
. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).
【评注】本 题是对矩阵
A
与其伴随矩阵
A
的秩之间的关系、线性方程组解
的结构 等多个知识点的综合考查.

*
?
300
?
??
000
??
?
T
T
T
000
?
?
?(1,1,1)
??
?
?(1,0,k)
??
,则
k?< br> . (5)设,,若矩阵相似于
【答案】2.
?
300
?
?
000
?
??
TT
?
000
?????
??
【解析】相似于,根据相似矩阵有相同的特征值,得到的
特征值为
T
T
??
??
3,0,0.而为矩阵的对角元素之和,
?1 ?k?3?0?0

?k?2
.
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. .

(6)设
?
1
,
?
2
,
?
1
,
?
2
,
?
1
,
?
2
,
,
?
s
均为
n
维列向量,
A

m?n
矩阵,下列选项正确 的是
线性相关,则
线性相关,则
A
?
1
,A
?< br>2
,
A
?
1
,A
?
2
,
A
?
1
,A
?
2
,
,A
?
s
,A
?
s
(A)若
(B)若
,
?
s
,< br>?
s
线性相关.
线性无关.
线性相关.
,A
?
s
(C) 若
(D) 若
[ A ] < br>?
1
,
?
2
,
?
1
,
?< br>2
,
,
?
s
线性无关,则
,A
?
s
,
?
s
线性无关,则
A
?
1
,A
?
2
,
线性无关.
【分析】本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定.
【详解】记
B?(
?
1
,
?
2
,,
?
s
)< br>,则
(A
?
1
,A
?
2
,,A
?< br>s
)?AB
.
所以,若向量组
向量组

A
?
1
,A
?
2
,
?
1
,
?
2
,,
?
s
线性相关,则
r(B)?s
,从而
r (AB)?r(B)?s

,A
?
s
也线性相关,故应选(A).
(7)设
A
为3阶矩阵,将
A
的第2行加到第1行得
B,再将
B
的第1列的
?1

?
110
?
??
P?
?
010
?
?
001
?
??< br>,则
C
加到第2列得,记
?1
?1
(A)
C?PAP
. (B)
C?PAP
.
T
T
(C)
C?PAP
. (D)
C?PAP
. [B]
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.
【详解】由题设可得
?
110
??
1?10
??
110
??
1?10
?
????????
B?
?
0 10
?
A,   C?B
?
010
?
?
?
010
?
A
?
010
?
?
001
??001
??
001
??
001
?
????????
?
1?10
?
??
P
?1
?
?< br>010
?
?
001
?
??
,则有
C?PAP
?1
.故应选(B). 而


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. .

概率论
( 1)设随机变量
X

Y
分别服从
N

N
, 且
X

Y
不相关,
k
1
X?Y

(?1,2)(1,2)
X?k
2
Y
也不相关,则().
(A)< br>k
1
?k
2
?0
.(B)
k
1
?k
2
?0
.
(C)
k
1
?k
2
? 0
.(D)
k
1
?k
2
?0
.

X

Y
不相关
?Cov(X,Y)?0

k
1
X?Y

X?k
2
Y
不相关
?Cov(k
1
X?Y,X?k
2
Y)?k
1
Cov(X ,X)?k
1
k
2
Cov(X,Y)?Cov(Y,X)?k
2Cov(Y,Y)

?k
1
DX?k
2
DY?2k1
?2k
2
?0?k
1
?k
2
?0
, 选择A.

(2)设
X
1
,X
2
,,X
n
(n?2)
为来自总体
N(0,1)
的简单随机样本,
X
为样本均值,
S
2

22
样本方差,则()
(A)
nX~N(0,1)
.(B)
nS~
?
(n)
.
(n? 1)X
(n?1)X
1
2
~t(n?1)
.(D)
n
(C)
~F(1,n?1)
.
S
2
X
?
ii?2

D(nX)?n
2
D(X)?n
2
?
1
?n
,排除A,
n
(n?1)S
2
?
2
?(n?1)S
2
~
?
2
(n?1)
,排除B,
X?
?
n?1X
?~t(n?1)
,排除C,选择D.
S
Sn?1

(3)设
X
1

X
2
,…,
X
n
为来自二项分布总体
B(n,p)
的简单随机 样本,
X

S

?
.
2
2
T?X?S
别为样本均值和样本方差,记统计量,则
ET
2
np
【答案】
222
ET?E(X?S)?EX?ES?np?np(1?p)?np
【解析】由.
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. .

(4)设随机变量
X
服从正态分布
N(
?
1
,
?
1
2
)

Y
服从正态分布
2
N(
?
2
,
?
2
)
,且
P?
X?
?
1
?1
?
?P
?
Y?
?
2
?1
?

则必有
(A)
?
1
?
?
2
(B)
?
1
?
?
2

(C)
?
1
?
?
2
(D)
?
1
?
?
2
[ A ]
【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.
【详解】由题设可得
? X?
?
1
?Y?
?
2
1
?
1
?< br>P
?
?
?
?P
?
?
?
????11
?
22
???

?
1
??
1< br>?
?
1
??
1
?
?
??
??
??
2?
??
?1?2?
??
?1
?
?
2
?
.
?
?
1
??
?
2
?,即
?
?
1
?

其中
?(x)
是标准 正态分布的分布函数.
1

?(x)
是单调不减函数,则
故选(A).

?
1
?
1
?
2
,即
?
1
??
2
.
u
(5) 设随机变量
X
服从正态分布
N(0,1)
, 对给定的
α?(0,1)
, 数
α
满足
P
{
X?
u
α
}?
α
,

P{|X|?x}?α
, 则
x
等于
u
α
u
(A)
[ C ]
2
. (B)
1?
α
2
u
1?α
. (C)
2
. (D)
u
1?
α
.
【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.
【详解】由
P{|X|?x}?α
, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
P{X?x}?
1?
α
2
. 故正确答案为(C).
【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考
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. .
查.



微积分
(1)设
f(x)?lim
x
2n?1
?ax
2
?bx
x
2n
n??
?1
(n?N),若
limf(x)

limf(x)
都存在,那么
x?1x??1
a?
________

b?________
. < br>x
2n?1
?ax
2
?bx
2
?ax?bx
, 解当
x?1
时,
f(x)?lim
2n
n??
x?1< br>当
x?1
时,
f(x)?lim
1
n??
x
1?
a
x
2n?3
x
2n?2
?
1
, < br>1
x
1?
2n
x
?
b
limf(x)
存在
?limf(x)?limf(x)
,即
a?b?1

??
x?1
x?1x?1
x??1
limf(x)
存在
?lim
?
f(x)?lim
?
f(x)
,即
a?b??1

x??1x??1
解得
a?0,b?1
.
sinx
(cosx?b)?5
x
x?0
e?a
(2) 若,则a =
?________
,b =
?________
.
lim
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
sinx
(cosx? b)?5
limsinx?(cosx?b)?0
x
x?0
x
e?a
【详解】因为,且
?0
,所以
lim
x?0
lim(e< br>x
?a)?0
lim
,得a = 1.
sinxx
(cos x?b)?lim(cosx?b)?1?b?5
x
x?0x?0
x
e?a< br>极限化为,得b = ?4.
因此,a = 1,b = ?4.

11< br>?
x
2
xe,??x?
?
22
f(x)?
?
2
1
?
?1,x?
?
1
f(x?1)dx?
2
?
(3) 设,则
2
?
1
2
.
【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x ? 1 = t,再利用对称
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. .
区间上奇偶函数的积分性质即可.

?
【详解】令x ? 1 = t,< br>2
1
2
f(x?1)dx?
?
1
1
?
2
f(t)dt?
?
1
?
1
2
f(x)dt
?


1
2
1
?
2
21
11
xe
x
dx?
?
1
(?1)dx?0? (?)??
22
2
.
(4)
lim
1
r?0?
r
2
x
2
?y
2
?2r
2
222
??
e
xy
cos(x
2
?y)dxdy
? ________
.
2
解由积分中值定理知,存在
(
?
,
?
)?D

x?y?2r
,使得
lim

1
r?0
?
r
2
x
2
?y
2
? 2r
2
??
e
xy
cos(x
2
?y)dxdy? lim
2
1
??
2
22
?ecos(
?
?
?
)?2
?
r?2
.
r?0
?
r
2
(5)设
z?z(x,y)
由方程
xy?xf(z)?yg(z)
确定,且
xf
?
(z)?yg
?
(z)?0
,则
[x?g(z)]
?z?z
?[y?f(z)]?________
.
?x?y
解方程为
F(x,y,z)?xf(z)?yg(z)?xy?0

F
y
F
x
?zf(z)?y
?zg(z)?x
?? ??
,,
????
?xF
z
xf
?
(z)?yg
?
(z)
?yF
z
xf
?
(z)?yg
?
(z)
[x?g(z)]
?z?z
?[y?f(z)]

?x?y
y?f(z)x?g(z)
?[y?f(z)]?0
.
x f
?
(z)?yg
?
(z)xf
?
(z)?yg
?
(z)
?[x?g(z)]

(6)设
F(x)是f(x)
的一个原函数,且
F(0)?1
,F(x)f(x)?cos2x
,则
?
?
0
|f(x)|dx
?________
.

F
?
(x)=f(x)

2F(x)f(x)dx?2cos2x dx

2F(x)f(x)dx?2cos2xdx

????
F
2
(x)?sin2x?C

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. .

F(0)?1
,故
C?1

F(x)?sin2x?1

F(x)?sin2x ?1?sinx?cosx

|cos2x||cos
2
x?sin
2
x|
|f(x)|???cosx?sinx

|F(x)||cos x?sinx|
2
?
?
0
|f(x)|dx?
?
c osx?sinxdx?
?
4
(cosx?sinx)dx?
?
?< br>(sinx?cosx)dx

00
4
?
?
?
?(2?1)?(1?2)?22
.
(7)极限
x??
limxsin
2x
x
2
?1< br>?________
.
【分析】本题属基本题型,直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.
limxsin
2x
2x
limx?2.
x
2
?1
=
x??x
2
?1
【详解】
x??
(8)微分方程
xy
?
?y?0
满足初始条件
y(1)?2
的特解为
?_______ _
.
【分析】直接积分即可.
【详解】原方程可化为
(xy)
?
?0
,积分得
xy?C

代入初始条件得C=2,故所求特解为 xy=2.
x?y
z?xe?(x?1)ln(1?y)
,则(9)设二元函数dz
(1,0)
?
.
【分析】基本题型,直接套用相应的公式即可.
?z
?e
x?y
?xe
x?y
?ln(1?y)
【 详解】
?x
,
?zx?1
?xe
x?y
?
?y1?y
,
dz?
于是

(1,0)
2edx?(e?2)dy
. < br>lim
e?e
cosx
1?x?1
2
(10)
x?0
3
?
.
3
e
2
【答案】.
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. .
1
2
e?x< br>e(1?cosx)
2
cosxcosx?1
?lim
?lim
e?ee(1?e)
x?0
x?0
1
2
1
2
3< br>lim?lim
x
x
?e
22
x?0
3
x? 0
3
1?x?11?x?1
3
3
2
. 【解析】
y x
z?(x?e)
,则(11)设
?z
?
?x
(1,0)< br>.
【答案】
2ln2?1
.
【解析】由
z?
?< br>x?e
y
?
x
,故
z
?
x,0
?< br>?
?
x?1
?
x

dz
?
x
?
x
'
xln(1?x)
'
xln(1?x)
?
?
?
?
x?1
?
?
?
?
e?eln(1? x)?
?
?
?
?
dx
?
1?x
?
??

?z
代入
x?1
得,
?x
?
1,0
?
1
??
?e
ln2
?
ln2?
?
?2ln2?1
2
??
.

e
n
?(?1)< br>n
n
x
?
2
n
(12)幂级数
n?1
的收敛半径为.
?
1
【答案】
e
.
e
n?
?
?1
?
a
n
??0
2
n
【解析】由题意知,
n?1
??
1
??
n?1
e
?
1?
?
?
?
?
2
?
e
?
?
n
?
??
?e(n??)??
2
?
n?1?
e
n
?
1?
?
?
1
?
n< br>?
?
??
?
e
??
??
??
na
n?1
e
?
a
n
n?1
?
?
?1
?
2
n?1
?
n?1
?
?
n
2
e
n
?
?
?1
?
n

1
所以,该幂级数的收敛半径为
e


(13)设某产品的 需求函数为
Q?Q(P)
,其对应价格
P
的弹性
量为10000件时 ,价格增加1元会使产品收益增加元.
【答案】8000.
QP
?
??Q
?
P?Q
?
【解析】所求即为
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?
p
?0.2
,则当需求


. .
因为
?
p
?
Q
?
P
??0.2
Q
,所以
Q
?
P??0.2Q

QP
?
?
??0.2Q?Q?0.8Q
?
所以
QP
?
?
?8000
?
Q?10000
将代入有.


线性代数
(1)设矩阵
A?E?2
??
,其 中
?
,
?

n
维列向量,且
??
?2,则
A

A?(E?2
??
)?E?4
??
? 4
?
(
??
)
?

2T2TTT
TT?1
?______
.
?E?12
??
T
?E?6(A?E)?6A?5E


5E?6A?A?(6E?A)A
,所以
A
?1
?

2
1
(6E?A)
.
5
(2)设行向量组
(2, 1,1,1)

(2,1,a,a)

(3,2,1,a)

(4,3,2,1)
线性相关,且
a?1
,则
a=.
【分析】四个4维向量线性相关,必有其对应行列式为零,由此即可确定
a.
【详解】由题设,有
2
2
3
4

(3)设
A?(a
ij
)
是三阶非零矩阵,
|A|
为A的行列式,
A
ij

a
ij
的代数余子式,若
1
1
2
3
1
a
1
2
1
a
?
a
1
1
a?1,a?
a?.
1
(a?1)(2a?1)?0
a? 1
2
2
, 得,但题设,故
a
ij
?A
ij?0(i,j?1,2,3),则A?____

【答案】
?1

【解析】
由a
ij
?A
ij
?0可知,
A
T
??A
*

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. .
A?a
i1
A
i1
?a
i2
A
i2
?a
i3
A
i3
?a
1j
A
1j
?a
2j
A
2j?a
3j
A
3j
2
??
?
a??
?< br>a
ij
?0
2
ij
j?1i?1
33

2
从而有A?A
T
??A
*
??A,故A=-1.


?
300
?
??
000
??
?
T
T
T
000
?
?
?(1,1,1)
??
?
?(1,0,k)
??
,则
k?
. (4)设,,若矩阵相似于
【答案】2.
?
300
?
?
0 00
?
??
TT
?
000
?
????
??
【解析】相似于,根据相似矩阵有相同的特征值,得到的
特征值为
T
T??
??
3,0,0.而为矩阵的对角元素之和,
?1?k?3?0?0

?k?2
.

(5) 二次型
f(x
1
,x< br>2
,x
3
)?(x
1
?x
2
)
2< br>?(x
2
?x
3
)
2
?(x
3
?x
1
)
2
的秩为.
【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是
利用初等变换
或配方法均可得到答案.
【详解 一】因为
22
f(x
1
,x
2
,x
3
)? (x
1
?x
2
)
2
?(x
2
?x
3
)
2
?(x
3
?x
1
)
2
2< br>
?2x
1
?2x
2
?2x
3
?2x
1
x
2
?2x
1
x
3
?2x
2
x
3

?
211
?
??
A?
?
1 2?1
?
?
1?12
?
??
, 于是二次型的矩阵为
?
1?12
??
1?12
?
????
A?
?03?3
?
?
?
03?3
?
?
03?3
??
000
?
????
, 由初等变换得
从而
r(A)?2
, 即二次型的秩为2.
【详解二】因 为
f(x
1
,x
2
,x
3
)?(x
1?x
2
)
2
?(x
2
?x
3
)
2
?(x
3
?x
1
)
2

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. .
?2x
1
?2 x
2
?2x
3
?2x
1
x
2
?2x
1
x
3
?2x
2
x
3

?2(x
1
?
?2y
1
?
2
222
113
x2
?x
3
)
2
?(x
2
?x
3
)
2
222

3
2
y
2
2
,
其中
y
1
?x
1
?
11
x
2?x
3
,
y?x?x
223
22
.
所以二次型的秩为2.

概率论
(1)设
X
1
,X
2
,
1
,X
9
是来自正态总体
X
的简 单随机样本,
Y
1
?(X
1
??X
6
)
6
2(Y
1
?Y
2
)
1
9
1
22< br>Z?
S?(X?Y)
,,,则统计量
Z
服从______.
Y
2
?(X
7
?X
8
?X)
?
i2
9
S
2
3
i?7
2
解设正态总体
X~N(
?
,
?
)

E(Y
1
?Y
2
)?0

D(Y
1
?Y
2
)?DY
1
?D Y
2
?
?
2
Y
1
?Y
2
~N(0 ,
?
2
2
)

Y
1
?Y
2
~N(0,1)

2
~
?
2
(2)
,又
Y
1
?Y
2

S
2
独立,
?
?
2
6
2S
2
?
?
2
3
?
?
2
2

(Y
1
?Y
2
)
2( Y
1
?Y
2
)
Z?
?
2
?~t(2).
S
2S
2
?
2
(2)从数1,2,3,4中任取一 个数,记为X, 再从
1,2,?,X
中任取一个数,记为
Y, 则
P{Y?2}
=.
【分析】本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式, 且第一次试验的各
种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.
P{X?1}P {Y?2X?1}
P{X?2}P{Y?2X?2}
【详解】
P{Y?2}
= +
+
P{X?3}P{Y?2X?3}
P{X?4}P{Y?2X?4}
+
111113
?(0???)?.
423448
=
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. .
(3)设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为

XY 0 1
0 0.4 a
1 b 0.1
已知随机事件
{X?0}

{X?Y?1}
相互独立,则a=, b=.
【分析】首先所有概率求和为1,可得a+b=0.5, 其次,利用事件的独立性
又可得一等式,由此可确定a,b的取值.
【详解】由题设,知 a+b=0.5
又事件
{X?0}

{X?Y?1}
相互独立,于是有
P{X?0,X?Y?1}?P{X?0}P{X?Y?1}

即 a=
(0.4?a)(a?b)
, 由此可解得 a=0.4, b=0.1

(4) 设总体
X
2
2
N
(
μ
,
σ
)
,
N
(
μ
,
σ
)
2
1
Y
服从正态分布, 总体服从正态分布
X
1
,X
2,?X
n
1

Y
1
,Y
2
,?Yn
2
分别是来自总体
X

Y
的简单随机样本, 则 < br>22
n
2
?
n
1
?
?
?
( X
i
?X)?
?
(Y
j
?Y)
?
i?1j ?1
?
?E
?
??
n
1
?n
2
? 2
??
??
??
σ
2
.
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
1
n
2
1
n
1
22
E[(
Y
j
?
Y
)
2
]?
σ
2
E[(
X
i
?
X)]?
σ
?
?
【详解】因为
n
1
?1
i?1
,
n
2
?1
j?1
,
故应填
σ
.
【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.
( 5)设随机变量X服从标准正态分布
X~N(0,1)
,则
E(Xe
【答案】
2e

【解析】由
X
2
2
2X
)
=________。
N
?
0,1
?
及随机变量函数的期望公式知
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. .
E
?
Xe2X
?
?
?
??
??
xe
2x
1?
x
2
1
edx?
2
?
2
?
2
?
??
??
xe
1
?
?
?
x? 2
?
2
?4
?
??
??
2
dx?2e2
.
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人笑吧! 2、现在你不玩命的学,以后命玩你。、我不知道年少 轻狂,我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶;应学会做“金钱、权利”的主人。、什么时候离光明最近 ?那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景,是自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力,而是那些 比你牛×几倍的人依然比你努力。


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