兔子数列求和公式证明直线与圆相切的两种方法

2020年10月29日发(作者：简春雷)
证明直线与圆相切的两种方法
一、根据切线的判定定理
证明直线与圆相切主要有以下两种：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证明直线与圆相切的两种方法。
当 已知直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是连结公
共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可。

例1. （2019年江苏省淮安市题）
已知：如图1，在△ABC中，&a ng;BAC的平分线AD交△ABC
的外接圆⊙O于点D，交BC于点G。
图1


（1）连结CD，若AG＝4，DG＝2，求CD的长；（解略）

（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、
F。求证：EF与⊙O相切。
证明：（2）连结OD，由∠1＝∠2，
得，则OD⊥BC
所以



因为EF∥BC，所以∠BCD＝∠CDF
从而


即EF⊥OD，所以EF与⊙O相切。
例2. （2019年湖北省黄冈市中考题）
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如图2，BE是⊙O的直径，点A在BE的 延长线上，弦
PD⊥BE，垂足为C，连结OD，且∠AOD＝∠APC。

（1）求证：AP是⊙O的切线。
（2）略。
图2



证明：连结OP，因为PD⊥BE，OP＝OD

所以∠POB＝∠DOB，而∠APD＝∠DOB

所以∠POB＝∠APD
由PD⊥BE得：∠POB＋∠OPC＝90°

即∠APD＋∠OPC＝90°
所以AP是⊙O的切线


二、根据直线与圆的位置关系
若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。

当题设中不能肯定直线与圆有公共点 时，常用此法。辅助
线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半
径即可。
例3. （2019年甘肃省中考题）
如图3，Rt△ABC中，∠C＝90& deg;，AC＝3cm，BC＝
4cm，以C为圆心、r为半径作圆，当r＝2.4时，AB与圆有< br>怎样的位置关系？为什么？
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图3
解：作CD⊥AB，垂足为D，则
由CD·AB＝AC·BC得：
即AB与圆相切。
例4. 如图4，AB是⊙O的直径，AC⊥l，BD⊥l，
C、D为垂足，且AC＋BD ＝AB，求证：直线l与⊙O相切。

图4
证明：过O作OE⊥l，E为垂足，则
OE∥AC∥BD，又AO＝BO
所以





而，则
即垂线段OE等于圆的半径 证明直线与圆相切的两种方
法，所以直线l是⊙O的切线。
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