长方行面积公式是什么(完整版)复数的三角形式及乘除运算

2020年10月29日发(作者：倪廷对)
复数的三角形式及乘除运算
一、主要内容:
复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.
二、学习要求:
1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.
2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.
3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.
4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.
5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.
三、重点:
复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.
四、学习建议:
1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下 ，代数形式在这些方面显得
有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表 示，复数Z既可以用复
平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在
需 要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isin θ)(r≥0).
既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.

1
代数形式r=三角形式
Z=a+bi(a,b∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)
复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余 弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数
Z的一个辐角，不一定是辐角主值.
例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:
(1) Z
1
=-2(cosθ+isinθ) (2) Z
2
=cosθ- isinθ (3) Z
3
=-sinθ+icosθ
(4) Z
4
=-sinθ-icosθ (5) Z
5
=cos60°+isin30°
分析:由三角形式的结构特征，确定判 断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数
Z对应点所在象限（此处可假定θ 为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称
为“定点→定名→定角”. 这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.
解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z
1
=Z(-cosθ-isinθ)
复平面上Z
1
(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余 弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，
因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限 .∴Z
1
=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]
（2）由“加号连”知，不是三角形式
复平面上点Z
2
(cos θ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式
“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.

∴ Z
2
=cosθ- isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z
2
=cosθ- isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.
（3）由“余弦前”知，不是三角形式

2
复平面上点Z
3
(-sinθ,cosθ)在第二象限（ 假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式
“

∴
Z
3
(-sinθ,cosθ)=cos(

+θ”将θ变换到第二象限.
+θ)+isin(
+θ)
3
同理（4）
Z
4
=-sinθ-icosθ=cos(
（5）
Z
5
=cos60°+isin30°=

π-θ)
4
π-θ)+isin(
+
i=
·
+isin
5
(1+i)=
(cos
)=

(cos+isin
)
小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了 “定点→
定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.

解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos
2

6
-1)+2i·sin
cos
(cos
)........(1)
7
=2cos
+isin


∵ π<θ<2π ∴
cos

∴(1)式右端
=-2cos

<
<0
(-cos
8
<π, ∴
-isin
)=-2cos
)]+isin(π+
9
)]
[cos(π+


∴ r=-2cos
ArgZ=π+

,
+2kπ(k∈Z)
10
∵

argZ=π+
<
π<π+
.
11
<π
<2π，

∴
∴

小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为
r=2cos, argZ=或
ArgZ=
错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非 负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为
三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z
1< br>=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ，Z
2
=1+cosθ- isinθ(π<θ<2π)等类似问题.

12
例3．将
Z=(π<θ<3π)化
为三角形式，并求其辐角主值.
分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.

解:==
=

13
=cos2θ+isin2θ
∵π<θ<3π, ∴
<2θ<6π,

∴π<2θ-4π<2π，∴ argZ=2θ-4π
小结:掌握三角变形是解决这类问题的根 本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其
与三角形式的异同，从而决定变形的 方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，
举一反三，达到熟练解决一类 问题的目的，如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.

14
2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z
1
-Z
2
|的几何意义是:复平面上两点Z
1
，
Z
2
之间距离.辐角 几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量
在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围内的 辐角称辐角主值，记为argZ.
要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.
例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.
解:法一，数形结合
由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径 的圆面（包括圆周），
|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|
max
=3, |Z|
min
=1,
另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知

15
所
∠AOC=∠BOC=
[0,]∪[
法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)
则由|Z-2|≤1得(x-2)
2
+y
2
≤1,

16
argZ∈
π,2π)
，∴


∴
|Z|=≤=
,
∵ (x-2)
2
+y
2
≤1, ∴(x-2)
2
≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,
∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.
小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优 势，通
过分析与比较都一目了然.
例5．复数Z满足arg(Z+3)=

17
π,
求|z+6|+|z-3i|最小值.
分析:由两个复数 模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决
应比较简便.
解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠
xOA=π,而
|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|
将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，


18

|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3
=3

.
19
, ∴ 所求最小值
法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹
应是平行于OA，且过点（-3，0）的射线BM，
∴ |Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连结PQ与 射线BM交于点N，取E
为N点表示复数时，

|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3,
∴所求最小值=3

20
.
小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成 几何问题进行解决.如果纯粹用代数方
法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角 主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.
例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.
解：∵|Z-2i|≤1,∴点 Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）
得一以（0， 4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(Z-4i)最大值为π.
3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.
两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.
由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三 角形，
平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.
复数三角形式较之 代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运
算.

21
例7．若
分别表示复数Z
1
=1+2
Z
2
=7+

与
i,
i, 求∠Z
2
OZ
1
并判断ΔOZ1
Z
2
的形状.
22

解:欲求∠Z
2
OZ
1
，可计算
=
=
23
=
=




Z
2
OZ
1
=

=
24
且

∴∠
，

由余弦定理，设|OZ
1
|=k,
|OZ
2
|=2k(k>0)| Z
1
Z
2
|
2
=k
2
+(2k)
2
-2k·2k·cos

=3k
2

∴ |Z
1
Z
2
|=k,
而k
2
+(k)2
=(2k)
2
，∴ΔOZ
1
Z
2
为有一锐角 为60°的直角三角形.
小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.

25
例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0) 和B(0,8)关于
l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.
解:如图，建立复平面x0y，设向量

x
1
+y
1
i, x
2
+y
2
i.
由对称性，|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8,

∴ x
2
+y
2
i=(x
1
+y
1
i)8 i=-8y
1
+8x
1
i

、
对应复数分别为
26
∴
y
2
2
=2px
2
,
∴ x
1
=


设抛物线方程为y
2=2px(p>0)则有y
1
2
=2px
1
,
, y
1
2
=p
2
, 又|OA'|=1，
27
∴(
p=

)
2
+p
2
=1,
或-
28
∴
（舍）
∴抛物线方程为y
2
=x，直线方程
为:y=x.
小结:对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及 到特殊
位置，特殊关系的图形时，尤显其效.
五、易错点
1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定.
2．注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.

ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值.
3．复数三角形式的四个要求: 模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角
形式.
4．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.
六、练习
1．写出下列复数的三角形式

29
(1) ai(a∈R) (2) tgθ+i(
-
2．设
Z=(-3
N，当Z∈R时，n为何值？

sinθ-icosθ)
+3
30
<θ<π） (3)
i)
n
, n∈
（
3．在复平面上A，B表示复数为α,β( α≠0),且β=(1+i)α，判断ΔAOB形状，并证明
S
ΔAOB
=
参考答案:
1．（1）ai=

|d|
2
.

31
（2）tgθ+i(
=-
(

[cos(
π-θ)]
32
<θ<π）
π-θ)+isin
（3）
-
os(
2．n为4的正整数倍
3．法一:∵α≠0，β=（1+i)α
∴

(sinθ-icosθ)=
+θ)+isin(
=1+i=
33
[c
+θ)]
(cos


AOB=
∵

+isin
,
分别表示复数α，β-α，
34
), ∴∠

由β-α=αi，得
∴∠OAB=90°,
=i=cos
，
ΔAOB为等腰直角三角形.
35
+isin


∴

法二:∵|
|
|

|=|α|,
|=|β-α|=|αi|=|α|, ∴
|=|
36
|
又
|
|,|
2|α|
2
=|

|
2
+|
|
2

37
|α
|
2
=|α|
2
+|α|
2
=
|=|β|=|(1+ i)α|=
∴ΔAOB为等腰直角三角形，∴
S
ΔAOB
=
选择题
1．若复数z=(a+i)
2
的辐角是

|
|=
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38
|·|
|α|
2
.
a的值是（ ），则实数
A、1
-

B、-1 C、-
39
D、

2．已知关于x的实系数方程x+x+p=0的两虚根a， b满足|a-b|=3， 则p的值是（ ）
2
A、-2 B、-
D、1
40
C、


3．设π<θ<
A、2π-3θ
4．复数
cos

B、3θ-2π
，则复数
的辐角主值为（ ）
C、3θ D、3θ-π
+isin
41
经过n

次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于（ ）
A、3 B、12 C、6k-1(k∈Z) D、6k+1(k∈Z)
5．z为复数，
(
A、直线

)
|z-3|
=(
)
-1
的图形是（< br>B、半实轴长为1的双曲线
42
）
)
|z+3|
(


C、焦点在x轴，半实轴长为
不能确定
答案：1、B 2、C 3、B 4、C

解析：

答案与解析
、C
43
D、的双曲线右支
5
1．∵z=(a+i)
2
=(a
2
-1)+2ai，
，∴a=-1，本题选B.
44
argz=，∴

2．求根a，b=
∴ 4p-1=9， p=
（Δ=1-4p<0） ∵
|=3，
，故本题应选C.
45

|a-b|=|


3．
+isin3θ.
=
46
=cos3
θ

∵ π<θ<
<
<

，∴3π<3θ
<3θ-2π
B.
47
，∴π
，故本题应选
4．由题意，得
(cos
s

+isin
+isin
-isin
48
)
n
=co
=cos

由复数相等的定义 ，得
解得
-


=2kπ
(k∈Z)，∴n=6k-1.故本题应选C.
49
，
5．依题意，有 |z-3|=|z+3|-1，∴ |z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义，此方程表示焦点(±3，0)，2a=1，
a=的双曲线右支，故本题应选C.
复数三角形式的运算·疑难问题解析
1．复数的模与辐角：
(1)复数模的性质：｜z
1
·z
2
｜=｜z
1
｜·｜z
2
｜













(2)辐角的性质：积的辐角等于各因数辐角的和．
商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
一个复数n次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的n倍．
注意：(1)辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点．如下面两个问题：
若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求α+β的值．(α+β∈(3π，4π))

50
若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求arg[(2-i)(3-i)]的值．
(2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和，商的辐角主值不一定等于辐角主值的差.
2．关于数的开方
(1)复数的开方法则：r(cosθ+isinθ)的n次方根是



几何意义：

51
设
于复平面上的点



，则有：

52
对应















所以，复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点．
(2)复数平方根的求法．
求-3-4i的平方根．
解法一 利用复数代数形式．设-3-4i的平方根为x+yi(x，y∈R)，则有
(x+yi)
2
=-3-4i, 即(x
2
-y
2
)+2xyi=-3-4i， 由复数相等条件，得

∴-3-4i的平方根是±(1-2i)．


53
法二 利用复数的三角形式．


3．复数集中的方程．
关于实系数的一元二次方程的解法：设ax
2
+bx+c=0(a≠0，a，b， c∈R，x
1
，x
2
为它的两个根)
(1)当△=b
2
-4ac≥0时，方程有两个实数根 当△=b
2
-4ac＜0时，方程有一对共轭虚根

2
(4)二次三项式的因式分解：ax+bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
)

54
关于复系数的一元二次方程的解法：设ax
2
+ bx+c=0(a≠0，a、b、c∈C，且至少有一个虚数，x
1
x
2
为它 的两
个根)

(4)二次三项式的因式分解ax
2
+ bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
)仍然适用．
关于二项方程的解法
形如a
n
x
n
+a
0
=0(a
0
，a
n
∈C且a
n
≠0)的方程叫做二项方程， 任何一个二项方程都可以化成x
n
=b(b∈C)的形式，
因此都可以通过复数开方来 求根．
























可以充分利用复数z的整体性质，复数z的三种表示方法及其转换来解方程．
已知方程x
2
-4x+p=0两虚数根为α、β，且|α-β|=2求实数p的值．
解法1 ∵实系数一元二次方程虚根共轭设α=a+bi，
β=a-bi，(a，b∈R) ∴α+β=2a=4，∴a=2
又∵|α-β|=2, ∴|2bi|=2得b=±1
即两根为2+i，2-i由韦达定理得：p=(2+i)(2-i)=5
法2 由韦达定理可得：α+β=4，αβ=p
于是|α-β|
2
=|(α-β)
2
|=|(α+β)
2
-4αβ|=|4
2
-4p|=4， 即|4-p|=1
又∵△=4
2
-4p＜0 p＞4， ∴p-4=1， 得p=5
说明 注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别．

55
一等式成立．若有两个虚根则上述等式不成立．因为｜α-β｜

2
≠(α-β)
2
．因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要避免 出现混淆与干扰．










已知方程2x
2
+3ax+a
2
-a=0有模 为1的根，求实数a的值．
分析 已知方程有模为1的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数a要注意分域讨论．
解 (1) 若所给方程有实根则△=(3a)
2
-4×2(a
2
-a)=a
2< br>+8a＞0， 即a＜-8或a＞0
由条件得根必为1或-1，
①将x=1代入原方程可得a
2
+2a+2=0a无实数解．

(2)若所给方程有虚根则△=a
2
+8＜0， 即-8＜a＜0

56

即a
2
-a-2=0， ∴a=-1或a=2(舍)












已知方程x
2
-(2i-1)x+3m-i=0有实数根，求实数m．
分析 求实数m的范围，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数．
利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等，解方程组来求实数m均可以．现仅介绍一种方法．
解 ∵x，m∈R，方程变形可得，(x
2
+x+3m)-(2x+1)i=0



复数例题讲解与分析
57


例1．已知x, y互为共轭复数，且(x+y)
2
-3xyi=4-6i,求x, y.
[思路1]：确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设z=a+bi或三角形式，化虚为实。
：设x=a+bi(a,b∈R), 则y=a-bi, 代入原等式得：(2a)
2
-3(a
2
+b
2
)i=4-6i.
58
或


[解法1]



或

59
或
，

∴ 或
或 或
[思路2]：“x, y互为共轭”含义？→x+y∈R, xy∈R,则(x+y)
2
-3xyi=4-6i

60
。
.


[解法2]：∵x=，∴x+y∈R, xy∈R, ∴由两复数相等可得：

，
∴由韦达定理可知：x,y同是方程：z
2
+2z+2=0或z
2
-2z+2 =0的两根，
分别解两个一元二次方程则得x,y……（略）。

61
例2．已知z∈C,|z|=1且z
2
≠-1,则复数（ ）
A、必为纯虚数 B、是虚数但不一定是纯虚数 C、必为实数 D、可能是实数也可能是虚数
[思路分析]：选择题，从结论的一般性考虑，若z=±1，显然A、B选项不成立，分析C、D选 项，显然穷
举验证不能得出一般结论只能推演
解：[法1] 设z=a+bi, a,b∈R, a
2
+b
2
=1,a≠0.
则
==

62
C。
[法2]

则

设z=cosθ+isinθ (θ∈R,且θ≠kπ+
=
63
∈R，故，应选
)，
=
=
64
=
∈R。

[法3]
z·

z·=|z|
2
, ∴当|z|=1时有
=1,
65
∵
∴
[法4] ∵当|z|=1时有z·
=
=
66
=1，
=
∈R.




∴
=
∈R.
[法5] ∵复数z为实数的充要条件是z=
67
=
,




而(
|z|=1时，
)=
=
68
, 又
，

∵

∴
==
， ∴∈R。
[评注]：复习中，概念一定要结合意义落实到位，一方面深化理解（比如复数定义：“形如a+bi (a,b ∈R)的
数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式 将问题化虚为
实；……。）
同时对一些概念的等价表达式要熟知。（比如：z=a+bi∈R

69
b=0(a,b∈R)
z=
z
2
≥0；

70
z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0 (a,b∈R)
z+
z
2
<0；…….)
在面对具体问题时要有简捷意识（比如该例方法1，有同学可能会在算到

71
=0 (z≠0)
时不注意及时化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行），
多方理解挖掘题目立意。
例3．求使关于x的方程x
2
+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根的实数m.
[思路分析]：根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。
解：设x
0
为方程的一个实根，则有

72
x
0
2
+mx
0
+2+(2x
0
+m)i=0
m=±2


73
，解得：
。
例4．设 z∈C， arg(z+2)=,
arg(z-2)=, 求z。
[思路分析]：常规思路，设z=a+bi, 由已知列关于a,b的方程求解；数形结合思想，由题设可知z+ 2对应的
点A在射线OA上，∠AOX=
的点B应在射线OB上，

74
，z-2对应
BOX=
AOB=
故而易得：z=-1+
解：（略）
，z对应的点Z应在AB中点上，|AB|=4，ABOx轴，
，
i.
75
∠
∠



例5．设x,y∈R, z
1
=2-
z
2
=
已知|z
1
|=|z
2
|，
arg

y-1+(
=
76
x+xi,
-y)i,
, (1)求

(
z=
k∈Z}中元素的个数。

)
100
=? (2)设
, 求集合A={x|x=z
2k
+z
-2k
,
77


[思路分析]：理解已知，|z
1
|=|z
2
|，< br>arg
→
(1)解：∵|z
1
|=|z
2
|, ∴|


=
=i, 即z
1
=z
2
i→两复数相等→x, y.
|=1,
78
含义？

又arg
∴
z
1
=z
2
i,

=
=|
+isin
79
,
|(cos
)=i, 即

∴
2-


x+xi=[
-y)i]i
80
y-1+(
即
x=y=
∴
(

，解得
+
)
100
=(
81
,
+



i)
100
=(-+
i)
50
==-
-i.
[简评] 1
0
本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法，如果把两个已知条件割裂开来去考虑，则需要
解关于x, y的二元二次方程组，其运算肯定很麻烦；

82
2
0
在计算题中对1的立方根之一：
w=-
熟知即 w
3
=
0,

+
=
83
3
=1,
i的特性要
=w
2
,1+w+w
2
=
1+
点设计问题是命题经常参考的着眼 点。
(2) [思路分析]：由(1)知
z=
z
3
=-1=

+
+
3
, |z|=1,
84
=0, 关于此
i，z的特性：

z=cos
z
2
=w, ……，z
2k
+z
-2k
可怎么理解呢？

=
+ isin
(z
2
)
k
+(z
2
)
-k, z
2k
+
85

,
2k
, ……
；


解[法1]：令
w=-
z
2k
+z
-2k
=w
k
+w
-k
,

∵w
3
=1,而k∈z, ∴k=

+
86
i，则

当k=3m时，z
2k
+z
-2k
=(w
3
)
m
+(w
3
)
-m
=2,

当k=3m+1时，z
2k
+z
-2k
=w
3m
·w+w
-3m
·w
-1
=w+w
-1
=w+
当k=3m+2时，z
2k
+z
-2k
=w
3m
·w
2
+w
-3m
·w
-2
=w
2
+w
-2
=w
3
·w
-1
+w
-3
·w=w< br>-1
+w=-1,

综上可知，集合A中有2个元素。
[法2]：∵|z|=1, ∴
=

∴

87
=-1,
,

z
2k
+z
-2k
=z
2k
+

+isin
-isin
88
2k
=cos
+cos
=2cos
=
A中有2个元素。
89


由此可判定集合


例6．设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π), w=
|w|=
θ。（93年全国理）
[思路分析]：欲用已知，需化简w,
解：
w=

, argw<
=
90
, 并且
=
,求
=tg2θ(sin4θ+icos4θ)
∴ |w|=|tg2θ| 由|w|=
tg2θ=±


.
91
得



∵ 0<θ<π, 故有(i)当tg2θ=
θ=
此时
w=

或θ=
(cos
92
时，得
.
+isin
argw=
意。

)，∴
<
93
,适合题
(ii)当 tg2θ=-
θ=
时，
w=

时，得
π或θ=
(cos
94
π，此
π+isin

∴argw=
不合题意，舍去，


π).
95
π>,

故综合(i), (ii)知，θ=或
θ=.
[简评] 1
0
复数与三角的综合题目 是命题的一个方向，其中应用三角公式“1±cosa的升幂式”及“诱导公式”
化复数代数形式为标准 三角形式应用频率较高。
2
0
此题在w的化简中亦可利用 |z|=1, z·=|z|来化简：

96

w==
=
这样可省去较为繁锁的三角变换。
例7．已知|z|=1,且z
5
+z=1, 求z。
[思路分析1]：已知含未知数的等式求未知数，方程问题，设元化虚为实，
解：[法1]设z=cosθ+isinθ，则由z
5
+z=1可得：

97
=……以下略，

由(1)
2
+(2)
2
得：
cos4θ=-……（以下略）。
[思路分析2]：复数的概念，运算都有几何意义，由z
5
+z=1，若设z5
, z,1对应点为A，B，C则四边形OACB
为平行四边形。
★[ 法2]：设z
5
,z,1在复平面上对应点分别为A，B，C，则由z
5
+z =1，可知，四边形OACB为平行四边形，
又∵ |z
5
|=|z|
5
=1=|z|


98
∴
z=
z=

OACB为边长为1的菱形且∠AOB=120°，∴ 易求得：
+i或
-i。
99

可以验证当
z=±i时，
z
5
=
i符合题意。
[简评]：1
0
数形结合思想方法应是处理复数有关问题的习惯思路，因复数中的概念，运算 都有一定的几
何含义，这源于z=a+bi本身就表示一个点，当a,b确定，z表示定点，当a,b不 定则z就能表示一个动点轨迹，

100