王者荣耀周瑜连招公式外接球与内切球半径

2020年10月29日发(作者：祝肇年)






A
C
B
A
1
B
1
C
1
1.如上图，圆柱丶直三棱柱 A
1
B
1
C
1
-ABC丶三棱锥A
1
-A BC丶四棱锥A
1
- B
1
C
1
CB
的外接球都是同一个球，外接球半径均为：

其中：r为圆柱底面半径，h为圆柱的高。同时，圆柱两底面分别为△A
1
B
1
C
1
和△ABC的外接圆，由此可得出如下结论：
（1）圆柱的外接球半径为：
其中：r为圆柱底面半径，h为圆柱的高。
（2）直三 棱柱A
1
B
1
C
1
-ABC的外接球半径为

其中：r为三棱柱底面三角形外接圆半径，h为棱柱的高。
（3）有一条棱与底面垂直的三棱锥A
1
-ABC的外接球半径为：

其中：r为棱锥底面三角形外接圆半径，h为与底面ABC垂直的棱A
1
A的长
度。
（4）有一侧面与底面垂直（侧面A
1
B
1
C
1
⊥ 底面B
1
C
1
CB）且底面为矩形的四棱
锥A
1
- B
1
C
1
CB的外接球半径为：
其中：r为棱锥中与底面垂直的侧 面△A
1
B
1
C外接圆的半径，h为与侧面A
1
B
1
C
1
垂直的矩形的边BB
1
的长度。
注：三角形外接圆半径可由正弦定理推导，即

其中，r为三角形外接圆半径。
2.正三棱锥：以棱长为a的正三棱锥外接球半径推导为例：
对于棱长为a的正三棱锥，其外接球如图:
过A作A O
1
⊥底面BCD， 则O
1
为△BCD的外接圆圆
心，DE为BC边中线，且三棱锥圆心O在A O
1
上。
在等边△BCD中，DE=
故DO
1
=
在
O
1
=
因O为球心，故OD=OA=R
由DO
1
+OO
1
=DO可得：

解得：R=
222
A

B
E
C
O
O
1
D

Rt△AD O
1
中

，A
3.正四棱锥：正四棱锥的外接球球心也在底面正方形对角线交点与顶点连
线上 ，同正三棱锥外接球球心半径推导过程。
可得：棱长为a的正四棱锥，其外接球半径为

注：棱长为a的正四棱锥的高为
方形对角线交点。
4.长方体：长方体外接球的球心为其体对角线的中点
对于长宽高分别为的长方体，其外接球半径为：

特别地：对于正方体，其长宽高均为a，故其外接球半径为
，故正四棱锥的外接球球心即为底 面正
注：对于一般几何体可建立直角坐标系，根据球心到各顶点距离相等建立
方程组求解。
二丶内切球半径
1. 正方体：
正方体内切球球心位于其体对角线中点处，对于边长为a的正方体，其
内切球半径

2. 正三棱锥：
正三棱锥内切球球心到各面距离均为R（R为内切球半径），故以内切球< br>球心为顶点，各面为底面将其分成4个三棱锥。（其中3个以侧面为底的
三棱锥体积相同，当棱长 均为a时，分成的4个三棱锥体积均相同）
对于边长为a的正三棱锥，各面均为边长为a的正三角形， 内切球球心
到各面距离均为R，故由分成的小三棱锥体积和等于正三棱锥体积可得：

其中，S为正三棱锥各面面积，h为正三棱锥的高且h=
故 R=
3.正四棱锥：
推导方法同正三棱锥内切球半径推导一样，以内切球球心为顶点，各面< br>为底面将正四棱锥分成4个体积相等的三棱锥和一个四棱锥。（其中4个
以侧面为底的三棱锥体积 相同）
侧面面积为
底面面积为



故由体积不变得：

其中，h为正四棱锥的高，且
故
4.直三棱柱：
直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，故直三棱柱内切球
半径R等于底面三角形内切圆半径 r，又因为内切球到上下底面距离相
等且都为R，故仅有满足h=2r的直三棱柱有内切球，其中，h为 直三棱
柱的高。
三角形内切圆半径求法如下：
如图，设三角形三边长分别为，其内切圆圆心为O，以
O


O为 顶点，3边为底边将其分成3个三角形，由于O点到三边距离均为r，
故三个三角形的高均为r，由面积 不变得：
故

其中，S为三角形面积。
5.圆柱：和 直三棱柱类似，其内切球半径R等于底面半径r，且仅有满
足高h=2r的圆柱有内切球。