ex的导数-升达人
4章 数值积分与数值微分
4.1 引言
4.1.1 数值求积的基本思想 实际问题当中常常需要计算积分．有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积
分计算相 联系．
依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分
．
只要找到被积函数的原函数，便有下列牛顿－莱布尼兹(Newton- Leibniz)公式：
但实际使用这种积分方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如< br>找不到用初等函数表示的原函数；另外，当
等等，我们
是由测量或数值计算给出的一张数 据表时，
牛顿－莱布尼兹公式也不能直接使用．因此有必要研究积分的数值计算问题．
积分中值定理告诉我们，在积分区间内存在一点，成立
就是说，底为而高为的矩形 面积恰等于所求曲边梯形的面积（图４－１）．问
的值．我们将称为区题在于点的具体位置一般是不知道 的，因而难准确算出
间上的平均高度．这样，只要对平均高度提供一种算法，相应地便获得一种数
值求积方法．
如果我们用两端点“高度”
导出的求积公式
和的算术平均平均作为平均高度的近似值，这样
（4.1.1） 便是我们所熟悉的梯形公式（几何意义参看图４－２）．而如果改用区间中点
“高度”近似地取代平 均高度
的
，则又可导出所谓中矩形公式（今后简称矩形公式）
（4.1.2）
更一般地，我们可以在区间上适当选取某些节点，然后用加权平均得到平均
高 度的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：
（4.1.3）
式中称为求积节点；称为求积系数，亦称伴随节点
的具体形式．
的权．权仅仅与节点 的选
取有关，而不依赖于被积函数
这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问 题归结为函数值的计算，这就
避开了牛顿－莱布尼兹公式需要求原函数的困难．
4.1.2 代数精度的概念
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的 函数
准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念．
定义１ 如果某个求积公式对于次数不超 过的多项式均能准确地成立，但对于次多
项式就不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度．
不难验证，梯形公式（4.1.1）的矩形公式（4.1.2）均具有一次代数精度．
一般地，欲使求积公式（4.１.３）具有
能精确成立，这就要求
次代数精度，只要令它对于都
(4.1.4)
为简洁起见，这里省略了符号
如果我们事先选定求积节点
中的上下标．
，臂 如，以区间的等距分点作为节点，这时取求
解方程组(4.1.4)即可确定求积系数，而使求积公式( 4.1.3)至少具有次代数精度．本章第
２节介绍这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例．
为了构造出形如(4.1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数
4.1.3 插值型的求积公式
设给定一组节点
且已知函数在节点上的值，作插值函数（参见 第２章(2.9)式）．由于代数多项式
和的代数问题．
的原函数是容易求出的，我们取
作为积分的近似值，这样构造出的求积公式
(4.1.5)
称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数的积分得出
(4.1.6)
由插值余项定理（第２章的定理２）即知，对于插值型的求积公式(4.1.5)，其余项
(4.1.7)
式中与变量有关，．
，其余项如果求积公式(4.1.5)是插值型的，按 式(4.1.7)，对于次数不超过的多项式
等于零，因而这时求积公式至少具有次代数精度．
反之，如果求积公式(4.1.5)至少具有次代数精度，则它必定是插值型的．事实上，这时公
式( 4.1.5)对于插值基函数应准确成立，即有
注意到，上式右端实际上即等于，因而式(4.1.6)成立．
综上所述，我们的结论是：
定理１ 形如(4.1.5)的求积公式至少具有次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的．
4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性
定义２ 在求积公式(4.1.3)中，若
．
其中，则称求积公式(4.1.3)是收敛的．
可能产生误差，实际得到，即在求积公式(4.1.3)中，由于计算
．记
．
如果对任给小正数，只要误差充分小就有
， (4.1.8)
它表明求积公式(4.1.3)计算是稳定的，由此给出：
定义３ 在任给，若，只要就有(4.1.8)成立，
则称求积公式(4.1.3)是稳定的．
定理２ 若求积公式(4.1.3)中系数，则此求积公式是稳定的．
证明 对任给，若取，对都有，则有
由定义３可知求积公式(4.1.3)是稳定的．证毕．
定理２表明只要求积系数
4.2 牛顿－4.3 柯特斯公式
4.2.1 柯特斯系数
，就能保证计算的稳定性．
设将积分区间
值型求积公式
划分为等分，步长，选取等距节点构造出的插
(4.2.1)
称为牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)公式，式中
，则有
称为柯特斯系数．按(4.1.6)式，引进变换
(4.2.2)
由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难．当时，
这时的求积公式就是我们所熟悉的梯形公式(4.1.1)．
当时，按(4.2.2)式，这时柯特斯系数为
相应的求积公式是下列辛普森(Simpson)公式
， (4.2.3)
而当的牛顿－柯特斯公式则特别称为柯特斯公式，其形式是
(4.2.4)
为里．
下表列出柯特斯系数表开头的一部分．
1
2
3
4
5
6
7
8
从表中看到时，出现负值，于是有
，
特别地，假定，且，则有
它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算 不稳定，故时的牛顿－柯特
斯公式是不用的．
4.2.2 偶阶求积公式的代数精度
作为插值型的求积公式，阶的牛顿－柯特斯公式至少具有次代数精度（定理１）．实际
的代数精度能否 进一步提高呢？
先看辛普森公式(4.2.3)，它是二阶牛顿－柯特斯公式，因此至少具有二次代数 精度．进一步
用进行检验，按辛普森公式计算得
另一方面，直接求积得
．
这时有，即辛普森公式即对次数不超过三次的多项式均能准确成立，又容易验证它对
通常是不准确的，因此，辛普森公式实际上具有三次代数精度．
一般地，我们可以证明下述论断：
定理３ 当阶为偶数时，牛顿－柯特斯公式(4.2.1)至少具有
证明 我们只要验证，当为偶数时，牛顿－柯特斯公式对
按余项公式(4.1.7)，由于这里，从而有
次代数精度．
的余项为零．
．
引进变换，并注意到，有
，
若为偶数，则为整数，再令，进一步有
，
据此可以断定，因为被积函数
是个奇函数．证毕．
4.2.3 几种低阶求积公式的余项
首先考虑梯形公式，按余项公式(4.1.7)，梯形公式(4.1.1)的余项
，
这里积分的核函数
内存在一点，使
在区间上保号（非正），应用积分中值定理，在
． (4.2.5)
再研究辛普森公式(4.2.3)的余项
足
．为此构造次数不超过３的多项式，使满
(4.2.6)
这里
准确的，即
．由于辛普森公式具有三次代数精度，它对于构造出的三次多项式是
，
而利用插值条 件(4.2.6)知，上式右端实际上等于按辛普森公式(4.2.3)求得的积分值Ｓ，因此
积分余项
．
对于满足条件(4.2.6)的多项式，其插值余项由第２章(2.5.11)得
，
故有
．
这时积分的核函数在上保号（非正），再用积分中值定理有
． (4.2.7)
关于柯特斯公式(4.2.4)的积分余项，这里不再具体推导，仅列出结果如下：
． (4.2.8)
4.3 复4.4 化求积公式
前面已经指出高阶牛顿－柯特斯求公式不稳 定的，因此，不可能通过提高阶的方法来提高求
积精度．为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间 （通常是等分），再在每个子区间
上用低阶求积公式．这种方法称为复化求积法．本节讨论复化梯形公式 与复化辛普森公式．
4.4.1 复4.4.2 化梯形公式
将区间划分为等分，分点
上采用梯形公式(4.1.1)，则得
，在每个子区间
(4.3.1)
记
， (4.3.2)
称为复化梯形公式，其余项可由(4.2.5)得
．
由于，且
．
所以使
．
于是复化梯形公式余项为
． (4.3.3)
可以看出误差是阶，且由(4.3.3)立即得到，当
，
即复化梯形公式是收敛的．事实上只要设
改写为
，则可得到收敛性，因为只要把
，则
．
当时，上式右端括号内的两个和式 均收敛到积分，所以复化梯形公式(4.3.2)
收敛．此外，的求积系数为正，由定理２知复化梯形公 式是稳定的．
4.4.3 复4.4.4 化辛普森求积公式
将区间分为等分，在每个子区间上采用辛普森公式(4.2.3)，若记
，则得
(4.3.4)
记
(4.3.5)
称为复化辛普森求积公式．其余项由(4.2.7)得
，
于是当时，与复化梯形公式相似有
． (4.3.6)
由(4.3.6)看出，误差阶为
即
此外，由于中求积系数均为正数，故知复化辛普森公式计算稳定．
，收敛性是显然的，实际上，只要则可得收敛性，
例１ 对于函数，给出的函数表（见表４－２ ），试用复化梯形公式(4.3.2)
及复化辛普森公式(4.3.5)计算积分
，
0
18
14
38
12
58
34
78
1
1
0.9973978
0.9896158
0.9767267
0.9588510
0.9361556
0.9088516
0.8771925
0.8414709
并估计误差．
解 将积分区间[0,1]划分为８等分，应用复化梯形法求得
；
而如果将[0,1]分为４等分，应用复化辛普森法有
．
比较上面两个结果和，它 们都需要提供９个点上的函
数值，计算量基本相同，然而精度却差别很大，同积分的准确值I=0.94 60831比较，复化梯
形公式的结果
有六位有效数字．
只有两位有效数字，而复化辛普森的结果却
为了利用余项公式估计误差，要求的高阶导数，由于
，
所以有
，
于是
．
由(4.3.3)得复化梯形公式的误差
．
对复化辛普森公式误差，由(4.3.6)得
．
4.5 高斯求积公式
4.5.1 一般理论
形如(1.3)的机械求积公式
含有个待定参数 ．当为等距节点时得到的插值求积公式其代
，有可能使求积公式具有次代数数精度至少为次，如果适当选 取
精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式．为使问题更具有一般性，我们研究带权积分，这里为权函数，类似(4.1.3)，它的求积公式为
， (4.5.1)
为不依赖于
取及
的求积系数，
次代数精度．
次代数精度，则称其节 点为高斯
为求积节点，可适当选
使(4.5.1)具有
定义４ 如果求积公式(4.5.1)具有
点，相应公式(4.5.1)称为高斯求积公式．
根据定义要使使(4.5.1)具有
(4.5.1)精确成立，则得
次代数精度，只要取，对，
． (4.5.2)
当给定权函数，求出右端积分，则可由(4.5.2)解得及．
例５ 试构造下列积分的高斯求积公式：
． (4.5.3)
解 令公式(4.5.3)对于准确成立，得
(4.5.4)
由于
，
利用(4.5.4)的第１式，可将第２式化为
．
同样地，利用第２式化第３式，利用第３式化第４式，分别得到
从上面三式子消去，有
进一步整理得
由此解出
，
从而求出
于是形如(4.5.3)的高斯求积公式是
．
从此 例看到求解非线性方程组(4.5.2)较为复杂，通常
方程(4.5.2)求及
就很难求解． 故一般不通过求解
，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式．
是高斯点的充分必要条件定理５ 插值型求积公式(4.5.1)的节点
是以这些节点为零点的多项式
与任何次数不超过的多项式带权正交，即
． (4.5.5)
证明 必要性．设
点，则求积公式(4.5.1)对于
，则，因此，如果
精确成立，即有
是高斯
．
因
再证充分性．对于
，故(4.5.5)成立．
，用
，其中
除，记商为
．由(4.5.5)可得
，余式为，即
． (4.5.6)
由于所给求积公式(4.5.1)是插值型的，它对于是精确的，即
．
再注意到，知，从而由(4.5.6)有
．
可见求积公式(4.5.1)对一切次数不超过的多项式均精确成立．因此，
为高斯点． 证毕．
定理表明在
了求积节点
数
上带权的次正交多项式的零点就是求积公式 (4.5.1)的高斯点，有
成立，则得到一组关于求积系
．也可以直接由
．
在节点的埃尔米特插值
，再利用(4.5.2)对
的线性方程．解此方程则得
的插值 型多项式求出求积系数
下面讨论高斯求积公式(4.5.1)的余项．利用
，即
．
于是
两端乘，并由到积分，则得
． (4.5.7)
其中右端第一项积分对次多项式精确成立，故
．
由于，故由积分中值定理得(4.5.1)的余项为
． (4.5.8)
下面讨论高斯求积公式的稳定性与收敛性．
定理６ 高斯求积公式(4.5.1)的求积系数
证明 考察
全是正的．
，
它是次多项式，因而
即有
是次多项式，故高斯求积公式(4.5.1)对于它能够准确成立，
．
注意到，上式右端实际上即等于
．
定理得证．
由本定理及定理２，则得
推论 高斯求积公式(4.5.1)是稳定的．
定理７ 设，则高斯求积公式(4.5.1)是收敛的，即
，从而有
．
证明见［１］．
4.5.2 高斯－4.5.3 勒让德求积公式
在高斯求积公式(4.5.1)中，若取权函数，区间为，则得公式
． (4.5.9)
我们知道勒让德多项式(参见式(3.2.5))是区间上的正交多项式，因此，勒让德多项式
的零点就是求积公式(4.5.9)的高斯点．形如(4.5.9)的高斯公式特别地称为高斯－勒让
德 求积公式．
若取的零点
．
令它对
中矩形公式．
准确成立，即可定出．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是
做节点构造求积公式
再取的两个零点构造求积公式
，
令它对都准确成立，有
．
由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式
．
三点高斯－勒让德求积公式的形式是
．
表４－７列出高斯－勒让德求积公式(4.5.9)的节点和系数．
表４－７
0
1
2
3
0.0000000
0.5773503
0.7745967
0.0000000
0.8611363
0.3399810
0.9061798
0.5384693
0.0000000
2.0000000
1.0000000
0.5555556
0.8888889
0.3478548
0.6521452
0.2369269
0.4786287
0.5688889
4
公式(4.5.9)的余项由(4.5.8)得
，
这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及(3.2.7)得
． (4.5.10)
当时，有
．
它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．
时，只要做变换 当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间
可将化为［－１，１］，这时
． (4.5.11)
对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．
例６ 用４点()的高斯－勒让德求积公式计算
．
解 先将区间化为［－１，１］，由(4.5.11)有
．
根据表４－７中的节点及系数值可求得
（准确值
4.5.4 高斯－4.5.5 切4.5.6 比雪夫求积公式
若，且权函数
）．
，
则所建立的高斯求积公式为
． (4.5.12)
特别地称为高斯－切比 雪夫求积公式．由于区间［－１，１］上关于权函数
多项式是切比雪夫多项式（参见3.2节），因此求 积公式(4.5.12)的高斯点是
多项式的零点，即为
的正交
次切比雪夫
．
通过计算可知(4.5.12)的系数
斯－切比雪夫求积公式写成
，使用时将个节点公式改为个节点，于是高
． (4.5.13)
公式余项由(4.5.9)可算得
． (4.5.14)
带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分．
例７ 用５点(n=5)的高斯－切比雪夫求积公式计算积分
．
解 这里，当时由公式(4.5.13)可得
．
由余项(4.5.14)可估计得
．
4.6 数值微分
4.6.1 中点方法与误差分析
数值微分就是用函数值的线性 组合近似函数在某点的导数值．按导数定义可以简单地用差商
近似导数，这样立即得到几种数值微分公式
（６．１）
其中为一增量，称为步长．后一种数值微分方法称为中点方法，它其 实是前两种方法的算
术平均．但它的误差阶却由
是中点公式更为常用．
为要利用中点公式
计算导数
在
的近似值，首先必须选取合适的步 长，为此需要进行误差分析．分别将
处做泰勒展开有
提高到了．上面给出的三个公式是很实用的．尤其
代入上式得
由此可知，从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确．且
其中．
和很接近，直接相再考虑舍入误差．按中点公式计算，当很小时，因
减会造成有效数字的严重损失（参 看第１章第４节）．因此，从舍入误差的角度来看，步长
是不宜太小的．
例如，用中点公式求在处的一阶导数
设取４位数字计算．结果见表４－８（导数的准确值
表４－８
h
1.0
0.5
0.1
从表４－８中看到是因为当和
的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差．这
分别有舍入误 差和．若令，则计算
G(h)
0.3660
0.3564
0.3535
h
0.05
0.01
0.005
G(h)
0.3530
0.3500
0.3500
h
0.001
0.0005
0.0001
G(h)
0.3500
0.3000
0.3000
）．
的舍入误差上界为
它表明越小，舍入误差
差上界为
越大，故它是病态的．用中点公式(4.6.1)计算的误
要使误差最小，步长不宜太大，也不宜太小．其最优步长为．
4.6.2 插值型的求导公式
对于列表函数
：
运用插值原理，可以建立插值多项式
易，我们取的值作为
(4.6.3)
统称为插值型的求导公式．
必须指出，即使与
作这［经的的似．由于多项式的求导比 较容
的近似值，这样建立的数值公式
值相差不多，导数的近似值与导数的真值仍然
可 能差别很大，因而在使用求导公式(4.6.3)时应该特别注意误差的分析．
依据插值余项定理，求导公式(4.6.3)的余项为
，
式中
． 在这一余项公式中，由于是的未知函数，我们无法对它的第二项
出进一步的说明．因此，对于随意给 出的点，误差
如果我们限定求某个节点
余项公式
上的导数值，那么上面的第二项因式
做
是无法预估的．但是，
变为零，这时有
． (4.6.4)
下面我们仅仅考察节点处的导数值．为简化讨论，假定所给的节点是等距的．
１．两点公式
设已给出两个节点上的函数值，做线性插值得公式
．
对上式两端求导，记，有
于是有下列求导公式：
而利用余项公式(4.6.4)知，带余项的两个点公式是
２．三点公式
设已给出三个节点
做二次插值
上的函数值，
．
令，上式可表示为
．
两端对求导，有
． (4.6.5)
这里撇号表示对变量求导数．上式分别取，得到三种三点公式：
而带余项的三点求导公式如下：
(4.6.6)
其中的公式(4.6.6 )是我们所熟悉的中点公式．在三点公式中，它由于少用了一个函数值
而引人注目．
用插值多项式作为
，k=1,2,?
例如，将式(4.6.5)再对求导一次，有
的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式：
，
于是有
．
而带余项的二阶三点公式如下：
． (4.6.7)
4.6.3 利用数值积分求导
微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分．设是一个充分光
滑的函数，设，则有
， (4.6.8)
对上式右边积分采用不同的求积公式 就可得到不同的数值微分公式．例如，对
中矩形公式(4.1.2)，则得
用
．
从而得到中点微分公式．
若对(4.6.8)右端积分用辛普森求积公式，则有
上式略去余项，并记的近似值为，则得到辛普森数值微分公式
．
这是关于这
已知，则可得
＋１个未知量的－１个方程组，若，
(4.6.9)
这是关于
第５章５.４节）．
如果端点导数数值不知道，那么对( 4.6.3)中第１个和第n-1个方程可分利用
的中点微分公式近似，即取
及
的三对角方程组，且系数矩阵为严格对角占优的，可用追赶法求解（见
．
然后求
例８ 给定
即为的近似值．
及的值（见的一张数据表（表４－９左部 ），并给定
在表４－９）．利用辛普森数值微分公式求
解 根据(4.6.9)有
上的一阶导数．
,
解之得
表４－９
０
１
２
３
４
５
100
101
102
103
104
105
10.00000000
10.04987562
10.09950494
10.14889157
10.19803903
10.24695077
0.05000000
0.049751859
0.049507377
0.049266433
0.049029033
0.048795003
0.04975186
0.049507376
0.049266463
0.049029033
，结果见表４－９．
4..6.4 三次样条求导
三次样条函数作为的近似，不但函数值很接近，导数值也很接近，并有
． (4.6.10)
（见第２章定理４），因此利用三次样条函数S(x)直接得到
．
根据第２章（2.7.8），(2.7.9)可求得
，
．
这里为一阶均差．其误差由(4.6.10)可得
4.6.5 数值微分的外推算法
利用中点公式计算导数值时
．
对在点做泰勒级数展开有
，
其中与
，则有
无关，利用理查森外推（见本章第４节）对逐次分半，若记
． (4.6.11)
公式(4.6.11)的计算过程见表４－１０，表中为外推步数．
根据理查森外推方法，(4.6.11)的误差为
．
由此看出当较大时，计算是很精确的．考虑到舍入误差，一般
在的导数．
不能取太大．
例９ 用外推法计算
解 令
推法表４－１０可算得
，当时，由外
的精确值为0.454897994，可见当时用中点微分公式只有３ 位有效数字，
外推一次达到５位有效数字，外推两次达到９位有效数字．
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本文更新与2020-10-29 14:15，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/430895.html
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