乘法分配率公式信号时域频域和转换

2020年10月30日发(作者：包容)
信号时域频域和转换
信号分析方法概述:
通用的基础理论就是信号分析的两种方法:1 就是将信号描述成时间的函数 2 就是将
信号 描述成频率的函数。也有用时域与频率联合起来表示信号的方法。时域、频域两种分析
方法提供了不同的 角度,它们提供的信息都就是一样,只就是在不同的时候分析起来哪个方
便就用哪个。
思考:
原则上时域中只有一个信号波(时域的频率实际上就是开关器件转动速度或时钟循环
次数,时域中只有周期的概念),而对应频域(纯数学概念)则有多个频率分量。
人们很容易认识到自己生活在 时域与空间域 之中(加起来构成了三维空间),所以比
较好理解 时域的波形(其参数有:符号周期、时钟频率、幅值、相位 )、空间域的多径信号
也比较好理解。
但数学告诉我们,自己生活在N维空间之中,频域就就是其中一维。时域的信号在频域
中会被对应到多个频率中,频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期(它们取值不同,
可以表 示不同的符号,所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。
时域中波形变换速度越快(上升时间越短),对应频域的频率点越丰富。
所以:OFDM中,IFFT把频域转时域的原因就是:IFFT的输入就是多个频率抽样点(即 各
子信道的符号),而IFFT之后只有一个波形,其中即OFDM符号,只有一个周期。

时域

时域就是真实世界,就是惟一实际存在的域。因为我们的 经历都就是在时域中发展与
验证的,已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生。而评估数字产品的性能时 ,通常在时域中
进行分析,因为产品的性能最终就就是在时域中测量的。
时钟波形的两个重要参数就是时钟周期与上升时间。
时钟周期就就是时钟循环重复一 次的时间间隔,通产用ns度量。时钟频率Fclock,
即1秒钟内时钟循环的次数,就是时钟周期T clock的倒数。
Fclock=1Tclock
上升时间与信号从低电平跳变 到高电平所经历的时间有关,通常有两种定义。一种就是
10-90上升时间,指信号从终值的10%跳 变到90%所经历的时间。这通常就是一种默认的表达
方式,可以从波形的时域图上直接读出。第二种定 义方式就是20-80上升时间,这就是指从终
值的20%跳变到80%所经历的时间。
时域波形的下降时间也有一个相应的值。根据逻辑系列可知,下降时间通常要比上升时
间短一些,这就是 由典型CMOS输出驱动器的设计造成的。在典型的输出驱动器中,p管与n
管在电源轨道Vcc与Vs s间就是串联的,输出连在这个两个管子的中间。在任一时间,只有一
个晶体管导通,至于就是哪一个管 子导通取决于输出的高或低状态。
假设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ,脉冲幅度为E,重复周期为T,
信号时域频域和转换




频域

频域最 重要的性质就是:它不就是真实的,而就是一个数学构造。时域就是惟一客观存
在的域,而频域就是一个 遵循特定规则的数学范畴。
正弦波就是频域中唯一存在的波形,这就是频域中最重要的规则 ,即正弦波就是对频域
的描述,因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。这就是正弦波的一个非常重要 的性质。
然而,它并不就是正弦波的独有特性,还有许多其她的波形也有这样的性质。正弦波有四个性< br>质使它可以有效地描述其她任一波形:
(1)时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。
(2)任何两个频率不同的正 弦波都就是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴
上求积分,则积分值为零。这说明可以将不同 的频率分量相互分离开。
(3)正弦波有精确的数学定义。
(4)正弦波及其微分值处处存在,没有上下边界。
使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的 地方。若使用正弦波,则与互连线的电气
效应相关的一些问题将变得更容易理解与解决。如果变换到频域 并使用正弦波描述,有时会
比仅仅在时域中能更快地得到答案。
而在实际中,首先建立包 含电阻,电感与电容的电路,并输入任意波形。一般情况下,就会
得到一个类似正弦波的波形。而且,用 几个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形,如下图
2、2
所示:


图2、2 理想RLC电路相互作用的时域行为
频域的图如下?



时域与频域的互相转换


信号时域频域和转换
时域分析与频域分析就是对模拟信号的两个观察面。时域分析就是 以时间轴为坐标表示
动态信号的关系;频域分析就是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说,时 域的表示
较为形象与直观,频域分析则更为简练,剖析问题更为深刻与方便。
时 域与频域的对应关系就是:时域里一条正弦波曲线的简谐信号,在频域中对应一条
谱线,即正弦信号的频 率就是单一的,其频谱仅仅就是频域中相应f0频点上的一个尖峰信
号。
按照傅里叶变换理论:任何时域信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。

1、正弦波时域信号就是单一频率信号;
2、正弦波以外的任何波型的时域信号都不就是单一频率信号;
3、任何波型都可以通过不同频率正弦波叠加得到;
解释1:
初学者一个 经常的困惑就是:无法理解信号为何会有多个频率,加上许多书中的描
述不够严谨,比如:语音信号的频 率就是在4k以下,就是3~4千赫正弦波。
正确的解释就是:一个信号有两种表示方法,时域与频域。在时域,信号只有周期,
正就是因为有了 傅立叶变换 ,人们才能理解到信号频域的概念。(先有傅立叶变换的结果才
让您认识到声音信号里包含 了某种频域的正弦波,它仅仅就是声音信号里的一个分量、用您
的眼睛您可能永远瞧不出这些幅度变动里 包含了您所熟悉的3~4KHZ的正弦波!)
注:大家应牢记:频域最重要的性质就是:它不 就是真实的,而就是一个数学构造。频域实
际上就是时域信号进行傅立叶变换的数学结果。通过数学方法 ,可以更方便的观察到信号内
含的信息、可以分解合成信号。

无线通信中传输资源包括了时间、频域、空间等。
时间比较好理解,就就是:时间周 期1发送符号1,时间周期2发送符号2、。,时域
的波形可以用三角函数多项式表示,函数参数有:时 间、幅度、相位。在载波传输中,载波信
号由振荡器产生,它的时钟频率就是固定的,倒数就就是 时间周期。
频域比较难理解,按傅立叶分析理论,任何时域信号都对应了频域的若干频率 分量(称
为谐波)的叠加,频域的频率与时域的时钟频率不同。可以认为:时域不存在频率,只存在时间
周期。信号处理与通信中所指的频率一般都就是指 频域的频率分量。而每个频率分量都可
从数 学意义上对应时域的一个波形(称为谐波,基波就是一种特殊的谐波,它的频率与时域波
形的时钟频率相 同) 。
因为载波一般都就是正弦波,所以定义 信号在1秒内完成一个完整正弦波的次数就
就是信号的频率(以Hz为单位),即1Hz。 时间周期T=1f。
载波的功能参见 调制解调 部分内容。这里可以先不理解何为载波,关键就是时域与
频域的对应关系。
以这个时域波形为例

设时域波形(图中的 合成波)的时间周期=T(如2秒),其时钟频率则为f0=12
Hz。那么基波的频率、周期与合成波一样。每个谐波之间频率间隔=基波频率。
信号时域频域和转换
而谐波1的频率f1=12+12=1Hz,周期T1=1。
谐波2的频率f2=1+12=32 Hz,周期T2=23。。。。
谐波8的频率f8=12+(12)*8=4、5Hz,周期T8=0、2222
在频域中,每个频率分量都有自己的幅度与相位。按谐波的频率、幅度、相位信
息可以得到谐波所对应时 域的波形。
将各谐波的时域波形叠加起来,即得到 时域中 合成波。

解释2: 时域信号的数据传输速率,常用 bps,如100Kbps,指1s内传输了100K bits的二进
制数据。即:时域的传输效率。
引入频域后,带来一个新的数据:频谱效率,作为 频域的传输效率。如
80bpsHz 指1Hz频率上能传输80bps数据。
按信息论,带宽越大,数据速率越高。

解释3:
为什么我 们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波
来代替呀,分解信号的方法就是无 穷的,但分解信号的目的就是为了更加简单地处理原来的
信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为 正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线
保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍就是正弦曲线 ,只有幅度与相位可能发生变化,
但就是频率与波的形状仍就是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性 质,正因如此我们才
不用方波或三角波来表示。
注:此处仍要牢记:频域就是数学构造,只要有助于我们分析信号,对应的数学方法
就就是有用的。

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傅立叶变换 原理

傅立叶变换 分类

根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别:
周期性连续信号 傅立叶级数(Fourier Series)
非周期性连续信号 傅立叶变换(Fourier Transform)
非周期性离散信号 离散时域傅立叶变换(Discrete Time Fourier Transform)
周期性离散信号 离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) -DFT

下图就是四种原信号图例:
信号时域频域和转换

这四种傅立叶变换都就是 针对正无穷大与负无穷大的信号,即信号的的长
度就是无穷大的,我们知道这对于计算机处理来说就是不 可能的,那么有没有针对长度有限
的傅立叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大 ,我们无法把一个长
度无限的信号组合成长度有限的信号。
面对这 种困难,方法就是把长度有限的信号表示成长度无限的信号,可以把信
号无限地从左右进行延伸,延伸的 部分用零来表示,这样,这个信号就可以被瞧成就是非周期
性离解信号,我们就可以用到离散时域傅立叶 变换的方法。
还有,也可以把信号用复制的方法进行延伸,这样信号就变成 了周期性离解信
号,这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学的就是离散信号,对 于连
续信号我们不作讨论,因为计算机只能处理离散的数值信号,我们的最终目的就是运用计算
机来处理信号的。
但就是对于非周期性的信号,我们需要用无穷多不同频率的正弦曲 线来表示,这对
于计算机来说就是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换(DFT )才能
被适用,对于计算机来说只有离散的与有限长度的数据才能被处理,对于其它的变换类型只
有在数学演算中才能用到,在计算机面前我们只能用DFT方法,后面我们要理解的也正就是
DFT方 法。这里要理解的就是我们使用周期性的信号目的就是为了能够用数学方法来解决问
题,至于考虑周期性 信号就是从哪里得到或怎样得到就是无意义的。
每种傅立叶变换都分成实数与复数两 种方法,对于实数方法就是最好理解的,但就
是复数方法就相对复杂许多了,需要懂得有关复数的理论知 识,不过,如果理解了实数离散傅
立叶变换(real DFT),再去理解复数傅立叶就更容易了,所 以我们先把复数的傅立叶放到一
边去,先来理解实数傅立叶变换,在后面我们会先讲讲关于复数的基本理 论,然后在理解了实
数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。
还有 ,这里我们所要说的变换(transform)虽然就是数学意义上的变换,但跟函数变
换就是不同的 ,函数变换就是符合一一映射准则的,对于离散数字信号处理(DSP),有许多的
变换:傅立叶变换、 拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了
函数变换的定义,允许输入与输 出有多种的值,简单地说变换就就是把一堆的数据变成另一
堆的数据的方法。

傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的
正弦波信号的无限叠加。而根据 该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,
以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的 频率、振幅与相位。
信号时域频域和转换
与傅立叶变换算法对应的就是 反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也就是一种
累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换 成一个信号。因此,可以说,傅立叶变换
将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号 的频谱),可以利用一些工具
对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域 信号转换成时域
信号。


傅立叶级数的五个公式(周期性函数)

傅立叶(19世纪的法国人)认为:任何周期函数f(t)总就是可以变成下面的傅
立叶级数
(傅立叶公式1)
它等价于下面的公式
(傅立叶公式2)

两个公式的关系就是:
公式中a0,an、bn都就是常数。A
k
CosW
k
t+B
k
SinW
k
t即时域信号的第 k个频率分量对应的
正弦波(即谐波)表示。an,bn也称为傅立叶系数。
时域的信号用f(t)表示,下面介绍这个信号如何转换到频域的表示方法。
因为三角函数间有正交关系,如下
1,两个不同三角函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为0。即正交。

2,两个相同函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为2Pi或pi、
信号时域频域和转换


解释:上图中的x对应傅立叶公式中的时间参数t。pi可对应时间周期T。

首先:我们考虑如何对于 时域信号f(t) 分解出其中的各个子信号(子谐
波):A
k
CosW
k
t+B
k
SinW
k
t。
然后可以得到各个谐波在频域的表示方法:频率W,幅度Cn、相位。这三项就就是傅立叶
变换的结果:频域信号表示
按上述的三角函数关系,要得到a
k
,就把f(t )乘以cosw
k
t,并在整个周期内取积分。得
图中的a
n

得到(
下图中的a
n

就就是
就就是
a
k、

a
k、)


根据
A
k
CosW
k
t+B
k
SinW
k
t这个波形的表示方法可以推导出:
就就是这个正弦波的最大幅值(最大振幅)(也即幅值频谱图的y 1,
轴)。
2, 就就是这个正弦波的相位。


经过简单的三角函数运算,可以得到傅立叶级数f(t)的另一个表达方式:
(傅立叶公式3)
信号时域频域和转换
它可以更方便的计算出振幅 与相位
(分别对应 幅度谱与相位谱)

傅立叶级数f(t)的另一种表示方式就是
复指数形式
,它也就是最简捷的表达方式。
(傅立叶公式4)
Cn就是复数,定义为
从上面的f(t)推导出 复指数形式 的过程略,基本思想就是利用了
欧拉公式e^jx =
cos(x) + jsin(x)

及

解释:频域分量转成的时域信号都就是复信号(含实部与虚部),虽然实际信号都就是实的。
实际上信号的传输都用实信号,而接收信号的处理中则使用复信号。

三角函数 运算法则就是: ,


从上面的 复指数傅立叶级数公式 中,可以直接得到各子频率分量对应正弦波(谐波)的振幅
与相位。


复指数傅立叶级数公式(傅立叶公式4 ) 可以推导出三角函数形式

信号时域频域和转换
傅立叶公式5
另外,在 傅立叶公式4 中瞧起来出现了“负频率”,但实际上它们就是不存在,只
就是数学的一种表示方法。
所以在 傅立叶公式5 中就消除了“负频率”

这里给出了五种 傅立叶级数f(t)的表示方式,它们都就是等价的,并可互相推导出来。


傅立叶积分(非周期性函数)

非周期性函数使用傅立叶积分来得出频谱。
因为这个函数总可以在时间间隔之外按其本身形状来重复,这里可使用傅立叶级数来计算频
谱。 而当时间间隔不断增大,在极限情况下就变为傅立叶积分。
考虑一个周期函数f(t),用傅立叶级数表示。

其频谱图如下,

其相邻各谐波频率之间间隔为
所以这个f(t)可以写为,将△W代入原f(t)
信号时域频域和转换
公式而得。

当T->无穷大时,,而Wn也->0,所以 频谱会由 离散频率点 变为连续频
谱。则Cn作为谐波Wk的幅值也会变为连续函数F(w)
则我们得到
非周期函数f(t) 的傅立叶积分表示方法f(t)。


非周期函数f(t)的时域、频域图 举例如下:



把F(w)的计算公式称为 傅立叶积分 公式。F(w)称为 f(t)的傅立叶变换。f(t)公式即
傅立叶反变换公式。
F(w)与f(t)的计算公式 瞧起来很像,甚至可以互相调换f(t)与F(w)、
由F(w)公式得出时域信号f(t)的频率分量。频率、频谱 从本质上说就是某种数学抽象。

振幅谱与相位谱的关系

上面的频谱图实际上就是振幅谱,瞧不出相位与频率间的关系。
信号时域频域和转换

F(w)就是频率的复函数。F(w)也可分解为振幅谱与相位谱。

,它随频率变化。
它们有奇怪的对称性。振幅谱就是频率的偶对称函数。相位谱就是频率的奇对称函数。
可以推导出:


即相位就就是




信号时域频域和转换

解释:时域中的相位,与频域中的相位完全不同。
频域中相位就是指各谐波的相位,它随频率而时间变化。
所以:
1,频域中完全瞧不出时间,只有谐波的各 频率、幅值、相位 。这些谐波在 非稳定信号中 可
能并不会在所有时间中存在,这就是另一个信号处理领域的问题。
2,时域信号中瞧不出频率,只有各谐波叠加后的信号。
时域信号的周期=各谐波 信号中的最大周期,即基波的周期。频率也相当于基波的频率。
相位则就是各谐波叠加后形成(相位在时 域与频域 没有固定的、可按公式计算出的关系)。
时域信号的一个周期中的 符号 包括了以下信号的叠加(且可通过正交分解出来):
一个基波在一个周 期内的符号,一次谐波在2个周期内的符号,二次谐波在3
个周期内的符号,三次谐波在4个周期内的符 号。。。
在快速傅立叶变换中,因为时域抽样点必须就是2的K次方,所以偶次谐波的幅值总 为
0,即不携带信息或空符号

功率谱
从电路分析可知,如

22
代表1欧电阻上的电压,则在此电阻内损耗的平均功率为(An+Bn)2 瓦。
所以振幅频谱的平方就就是不同频率上(n=0,1,2、、、)1欧电阻内所损耗功率的测量。
各个频率上的功率相加,就得到周期性电压加到电阻上的平均损耗功率。
2
任意电压f(t)加到1欧电阻上的瞬时功率就就是｜f(t)｜


傅立叶变换推导出:时移原理与频移原理,对偶性质

傅立叶变换有两个重要的原理:
1,时间移位原理
将时域时间原点从t=0处移到t=t0处,则相当于频域F(w)的相移

2,频谱搬移原理
如果F(w)的角频率移动了W0弧度秒,则f(t)要乘上
即:
推导公式就是:

,
,即

信号时域频域和转换
在调制技术中,信号f(t)要调制到载波上产生的频率移动,即通过上述关系确立。
基带信号(带有信息)f(t)对载波信号CosW0t的调幅结果(即已调制信号),可表示
为
f0=W02pi,为时域载波信号的频率
已调制信号的傅立叶变换结果为:
即:调制之后,f(t)的频谱被移动了,




比如:先将一段音乐的离散时间信号做傅里叶变换(FFT ),再将得到的频谱向高处搬移,最后
做傅里叶反变换(IFFT),恢复到时域,听到的声音会比原来 的声调高。


时间-频率 间的对应关系

对应关系1:时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与 频谱 呈正比关系
时域信号波形中,振幅的变化构成整个信号的包络。
下面就是一个调幅信号在一个周期内波形的例子,振幅的变化代表了传送的信息。

信号时域频域和转换
,2A就是最大振幅

上式经简单的三角运算后,得
到
其频谱如下:


(W0-Wm,W0+Wm)也更远的离开载波。
所以:较快速的变化相当于较高频率的变动。

当原信息信号变化更快时(W m增大),使得振幅调制后的信号也变化更快,边带频率
即:时间变化速率增加,频率也增高了(这点在 上升时间与带宽 关系中
也可见)




对应关系2,时间周期T 与 频谱 呈反比关系
下面用 矩形脉冲序列 来深入讨论 时间- 频率之间的关系。
信号时域频域和转换

它的频谱可以表示成



再写成


给出一个归一化的无量纲变数 ,则

函数 sinxx 在x=0处有最大值,此处sinx->x, (sinxx)->1,而当x->无穷大时,它->0
函数 sinxx 的形状如下


信号时域频域和转换
因为n就是离散的,所以Wn也取离散值(W1=2piT的各谐波),所以 归一化参数x也
就是离散点,但Cn的包络无疑与上图一致。


虽然周期函数包括有基本频率的所有整数倍的频率分量,但在较高频率上,振幅的包络减小。并且基本周期T越小(即每秒的脉冲数增多),频率谱线越移越开。
时间函数比较快速的变化则相当于比较高的频率分量:周期T减少,则频谱变大(因
为 △f=2piT 变大)
由于集中在低频区的谱线有较高的幅度,所以这个周期波所具有能量的大部分 都分
布在较低的频率分量上。
当函数变化增快(T减小)时,在较高频率范围内所包含的能量所占的比重将增大。

对应关系3:脉冲宽度 与 频谱:呈反比关系

从上图可见,随着脉冲宽度
思考:因为
的减少,信号的频率分量分布的更宽
那么因为sinxx的图形不变,当sinxx=0时的x不会变,则此时
减少,表示Wn会变大。
同时在 处的第一个零交点在频率轴上移远。
因此,在 脉冲宽度或持续时间 与脉冲的频率展布 之间,有反比关系存在。
用脉冲宽度 定义带宽
如
内:
(即很窄的脉冲),则大部分信号能量将落在下式的范围

这个点也当作信号的带宽。
解释:上面三点其实与 上升时间越小,对应带宽越大 的关系就是一致
的。

信号时域频域和转换

频谱、幅度谱、相位谱、功率谱 与 周期性函数的频谱

频谱就就是时域信号经过傅立叶变换后的复信号;因为Cn就是复数。
幅度谱就就是复频谱取幅度后得到的幅度与频率之间的关系曲线;
相位谱就就是复频谱取出相位后得到的相位与频率之间的关系曲线;
功率谱就就是功率与频率之间的关系曲线。

周期性函数按上面傅立叶级数的推导方法来得到频谱(以频率Wn为x轴、幅值Cn为y轴)

按 傅立叶公式1中定义,可知每个频率点间的间隔就是2PiT,那么
第0个频率点 即基波,它的频率=2PiT。T就是时域信号的周期,
所以基波频率=时域信号的时钟频率,基波表示时域信号的
直流分量。

从频谱图也能瞧出,相邻各谐波频率之间间隔为 ,它
就就是基波角频率。
(角频率与频率之间就就是多了个2pi的关系,那么 基波频率就就是时域信号的频率 )
W0在傅立叶级级数中用常数a0表示。周期=2piW0、
一次谐波分量W1:周期就是基波分量周期的12,频率就是基波频率的2倍。
二次谐波分量W2:周期就是基波分量周期的13,频率就是基波频率的3倍。
。。。
所以:频域各谐波频率一定就是时域信号时钟频率的倍数。

基波的定义就是:将非正弦周期信号按傅里叶级数展开,频率与原信号频率相同的量。
在复杂的周期性振荡中,包含基波与谐波。与该振荡最长周期相等的正弦波分量称
为基波。
相应于这个最长周期的频率称为基本频率。频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为谐
波。
周期为T 的信号中有大量正弦波,其频率分别为1T Hz、2T Hz、…、 nTHz,称
频率为 1THz的正弦波为“基波”,频率为等 nTHz(n≠1)的正弦波为n次“谐波”。
信号时域频域和转换

解释: 基波谐波 来自于 原时域信号的频谱中各频率点的频率、相位 在时域中体现为各正
弦波,它们叠加在一起形成了原时域信号。
在简谐振动中, 在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率,用f表示。频率也表示单
位时间波动传播的波长数。频率的 2π倍叫角频率,即ω =2πf。
在国际单位制中,角频率的单位也就是弧度秒。频率就是描述物体 振动快慢的物理量,所以
角频率也就是描述物体振动快慢的物理量。频率、角频率与周期的关系为ω = 2πf = 2πt。
在简谐振动中,角频率与振动物体间的速度 v 的关系为v =ωasin( ωt +
φ )。
圆周运动中的角速度ω与简谐振动中的角频率ω,虽然单位相同且都有ω = 2πT
的相同形式,但它们并不就是同一个物理量。
角频率对时间的积分等于相位的改变量。




周期函数、非周期函数的频谱总结,与对称频谱的意义

动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数与傅立叶变换实现。
周期信号靠傅立叶级数,非周 期信号靠傅立叶变换。两个域都有自己的测量工具:时间就是示
波器,频域就是频谱分析仪。而在一个域 进行测量,通过换算可求得另一个域的结果。
傅立叶级数公式中,Cn表示了各次谐波的振幅 随频率变化的情况,一般所指的频谱就是
幅度谱,指频率与振幅的关系,表示每个频率分量及其所占的比 重大小,如振幅大小或功率大
小。

周期函数的频谱就是离散的。它的频率 就是一个不连续的离散值。因为频谱函数Cn的
公式由傅立叶级数公式(实际上就是一个三角函数级数) 推导出,其中的n=0,1,2、、、,n就
是整数,那么Wn=W1,W2,W3、、Wn也就是离散 值。
非周期函数的频谱就是连续的。由于频谱函数F(W)的公式由傅立叶积分推导出,根据 积
分的定义,所以:其中的W就是连续变化的。
这说明 非周期函数 的频率成分比 周期函数 的频率成分丰富。傅立叶级数、傅立叶积
分 可以取出两种函数的不同频率成分及其幅值。



信号时域频域和转换
上图就是 共轭复数 的出发点,它说明了频谱图中出现的 负频率 只就是数学上的方便
写法。(注:必须记住频域只有数学意义,在现实中就是不存在的)
频谱图中会得到一个关于y轴对应的频谱图。现实中负频域就是不存在的。这就是因为
在由傅立叶级数到 指数形式的转化过程中,欧拉公式对傅立叶级数系数重新分析,即Cn对an
与bn进行了共轭对称调整 ,使得各频率分量的幅度折半按y轴分配,使之出现了对称的频谱
与负频域形式。

离散傅立叶变换与抽样:时域的抽样点数与频域点数的关系

所谓信息,就是指信号随时间的变化。
奈奎斯特定理已经证明。 为了从抽样信号中无失真的再 现原信号,当原信号(为频带有限
的模拟信号)带宽为BHz时,最小抽样速率,应该为每秒2B个样值 。即抽样时间间隔=12B秒。
这些样值包含了原信号的全部信息。
具体证明过程如下:
以下的信号以频带有限的信号。设其带宽为BHz。即理想情况下,频域中,超过f=B就
绝对没有任何频率分量(实际波形中,超过BHz后,频率分量幅度迅速下降,也可视为信号带
宽=B)。
1,原信号转换成抽样点时,即抽样速率为多少
对周期信号f(t)抽样 时,只要抽样速率f0>=2B,则抽样不会损害其信息含量。12B为抽
样间隔。
设周期脉冲信号为S(t),脉冲幅度为1,宽度为τ,周期T=1f0
则抽样后信号为fs(t)=f(t)S(t)。
f(t),S(t)都可以展开成傅立叶级数(公式1),根据傅立叶频谱搬移原理, 可以得到fs(t)
的傅立叶变换为

每一项的中心位于抽样频率的倍数点上 。所以:对f(t)抽样的效果就是使其
频谱搬移到
抽样频率的所有谐波上。
频谱沿原 先的频率线对称的分布。
而对于非周期函数f(t)抽样,也有类似效果。
频谱如下:
信号时域频域和转换

当抽样速率下降时, f0及所有谐波都会互相靠拢,则上图中各频谱分量会重叠在一
起,比如中心位于f0的分量F(W+W 0) 会同中心位于原点的 未偏移项F(W)相混,这样就不能
从Fs(W)中分出F(W),也就不 可能从fs(t)中恢复f(t)。
这种因抽样间隔太宽而引起频谱重叠并导致失真的现象称为混淆。
而开始相混的极限频率,可从上图中瞧出f0-B=B,即f0=2B。
这就就是 奈奎斯特抽样速率。
解释:上面说明了,抽样的过程即 周期脉冲信号(抽样信号)与原信号(信息信号) 相乘,产生
的结果信号:
在频域上,会保留原信号的所有信息(即其频域分量会全部保留),但
频谱搬
移到抽样频率的所 有谐波上。

即:以 抽样信号的频谱各频率点为中心,每个频率点的上下边带都会保留全部的
原信号频谱 信息。

因为上下边带的存在,所以从数学上瞧,要避免频谱分量重叠的办法只有让 抽样信号
的频谱间隔为2B,即△f=2B,它也就是抽样信号的基波频率(见 基波的定义 部分),即时域
信号的速率、
如果抽样速率较小,则抽样信号的带宽变小,谐波的频率分量会更紧密的靠在一起。则
很容易发生, 原信号抽样后,频谱分量容易重叠在一起。
如抽样速率较大,则抽样信号谐波的频率分量间隔会增大, 如上图中的间隔。原信号抽样后,
不易发生重叠。
抽样速率不需要越大越好。因为那样带宽太大。并且只需要 一个频率分量的上下边带 就可
完全恢复原信号,
比如上图中fc、2fc左右边带就就是无用的,在反傅立叶变换时只需要 0点左
右的频谱分量作为输入数据即可。

2,从抽样点可以得到周期信号 的证明过程如下:
注:抽样点可以就是 非周期性 的取得,比如每隔几秒开始抽样也可以。
已证明:每秒任何2B个独立样值就可完全表示一个频带有限的信号。或:完全规定一个
T秒长间隔上的信号,只需要任何2BT个单独的(独立的)信息样值。
信号时域频域和转换
证明过程如下:
设T秒时间上频带有限信号为f(t),(即非周期信号) ,它可以展开成以T为周期的傅立
叶级数,由于频带有限,则傅立叶级数中的项数就是有限的,即谐波就 是有限的,也即频谱中
频率点就是有限的。
由于 ,因为B就是f(t)的最高频率分 量,则Wn=2piB(当n最大时),
此时2piB=2pi*nT,得出n=BT
所以:n的最大值就是BT。
基波C0就是直流项,仅改变f(t)的平均电平,不提供任何信 息(因为信息表示信号随时间
的变化)。
由于频谱的对称性,所以傅立叶系数共有2BT个,即频谱上的频率分量共有2BT个。
解释:
1,抽样点的个数*2 =频域中 频率点 的个数(含正频率与负频率)
2,当T=1s时 ,只需要2B个频谱分量即可恢复原信号,即:抽样后信号,从频域变换到时域后的
信息 与 抽样前信号一样。

3,抽样信号的解调
即:如何从2BT个样值中恢复原信号f(t)。
通过傅立叶变换可以证明,在各个抽样点 (时间点分别为:12B,22B、、、n2B)给定信
号f(t)时,对它们分别FFT之后可以得到 相应的傅立叶系数Cn或F(w)。如下:


而对Cn或F(w)进行傅立叶反变换,可以得到所有可能时间上的f(t)
解释:反变换之前就是频域,没有时间参数。反变换之后则就是时域的连续信号。
这里的方法就是:从 频域的离散频谱 反变换后生成 时域的连续信号。而频域信号来
自于时域的抽样值。
所以,连续信号f(t)先抽样,再FFT,然后再IFFT可以得到原时域信号f(t)。

上述过程已经证明:用 时间相隔12B 的各个抽样点上的f(t)信号 就足以确定所有时
间的f(t)。
上述过程已经证明,让信号样值通过一个带宽为B hz的理想低通滤波器,可以再现原信号
f(t)。这就就是解调。

即:N 个采样点,经过FFT之后,频谱上得到N个频率点的幅值,反变换到时域得到连续函
数f(t)。 < br>采样速率越高或采样点数越多,相当于从频域反变换到时域时得到的谐波越多,叠加后得到
的f( t)更像原信号。

比如:原信号带宽500Hz,时域的采样频率则应为1024H z(则1秒内得到的采样点为1024
个),那么根据采样点变换到频域后最大带宽应该为1024(解 释:因为发生了频谱搬移。)
1秒时间的采样,得到1024个采样点,FFT变换到频域后得 到1024个频率点,横坐标的频
率的最大值就是采样频率1024Hz,从小到大分别就是:0Hz, 1Hz,2Hz、、、、1024Hz。
信号时域频域和转换
而2秒时间的采样,得 到2048个采样点,FFT变换到频域后得到2048个采样点,横坐标的
频率的最大值仍就是采样频 率1024Hz,从小到大分别就是:0Hz,0、5Hz,1Hz,1、5Hz,2Hz、、、
102 4Hz。频率点之间的间隔就是0、5hz。因为,最大带宽W与采样时间
无关,总就是恒定值,当频谱 上频率点n的次数增加时,频率点之间间隔只能缩短。
所以:在采样率确定的情况下:采样时间 越长,频域的频率点越多,即频率分辨率(即:两个
频率点之间的间隔)越高。恢复到时域后谐波更多。
结论:频域频率分辨率要精确到xHz,则需要采样长度为1x秒的信号,再做FFT变换到频
域。
实际应用中,对实时处理的要求较高,可采用:采样比较短时间的信号,然后在后面补充一
定量的0作为采样点,使其长度达到需要的点数。这也可以提高频率分辨率。
如果想用时分复 用的方式来同时传送多路信号,在每路信号的抽样间隔中,可以用来传送
其它信号的抽样点。

傅立叶变换与正交性

在第一个傅立叶级数公式中,通过时域f(t)信号 求频谱Cn(先求an,bn)的过程中利用
了三角函数的正交性。
｛cos(nx),sin(nx)｝就像一个智能过滤装置,只允许与自己完全同频率的函数通过( 可
以得到这个频率的频域信号 ),将其余的频率完全正交化为0。这就是傅立叶变换的原理与
正交化的重要意义所在。
傅立叶变换的 思想总结与优点

傅立叶认为:任何周期信号都可 用成谐波关系的正弦函数级数来表示。而非周期信号就
是不全成谐波关系的正弦信号的加权积分。

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦与或余弦函数)或 者它
们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变< br>换与离散傅里叶变换。
傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以 表示为不同频率的正弦波信号的
无限叠加。

叠加 就是指原始信号中不同正弦波信号的频率、振幅与相位 在时域的累加。
解释:时域上原信号波形,瞧起来频率就是固定的,但实际上信号波形只表达了二维空间,
而在 三维空间 中,还有一个轴就是频率轴,所以 在频率轴上每个点都有一个对应的时域谐波信
号)。
解释:一般可以这样瞧:时域没有频率,只有周期与时钟频率。频域没有周期,只有频率。


傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱), 可
以利用一些工具对这些频域信号分别进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域
信号转换成时域信号。
傅立叶的优点就是:
* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
* 正弦基 函数就是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为
常系数的代数方程的求解、在线 性时不变的物理系统内,频率就是个不变的性质,从而系统对于复
信号时域频域和转换
杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
* 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供
了计算卷积的一种简 单手段;
* 线性性质:两函数之与的傅里叶变换等于各自变换之与
* 频移性质(见下)
* 微分关系:原函数及其导函数的傅立叶变换间的关系。
* 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶
变换算法(FFT))、


解释:

傅立叶给出的定理大致就是,任意一个周期函数都可以表示为sin与cos的无
穷级数。 前者(周期函数)就是时域的表示方法。后者(sin与cos的无穷级数)就是频域的
表示方法。
时域,有周期T(时间),就有频率f = 1T的概念、
数学上任何相乘=1的东西都就是互相垂直,也叫正交
所以时域坐标想象成立方体的一个面,那么频域坐标系一定就是其相邻垂
直的另一个面、
换个说法,任何一个时域里的周期函数f(t),可以拆分得到一系列sin跟
cos的叠加
时域与频域的对应关系,可以举例:
南郭先生吹竽的故事。齐宣王喜欢听合奏,
南郭先生也 可混在里面;齐宣王死了之后,就就是齐泯王了,齐泯王要听独奏,南
郭先生就跑了(滤波了)。傅里叶 变换的目的就就是将时间域里面的合奏分解为频
率域里面一个个独奏的叠加,然后您就可以去挑了。


类似的例子还很多。如选美,选美小姐全部站在台上,甚至抱 成一团,就
是挑不出美人的。要对她们作傅里叶变换,将她们一个个拉出来溜,才能将真正的
美 人选(滤波)出来。


解释:

傅里叶变换 就是一种解决问题的方法,一种工具,一种瞧待问题的角度。理解的关
键就是:一个连续的信号可以瞧作 就是一个个小信号的叠加,从时域叠加与从频域叠加都可
以组成原来的信号,将信号这么分解后有助于处 理。我们原来对一个信号其实就是从时间的
角度去理解的,不知不觉中,其实就是按照时间把信号进行分 割,每一部分只就是一个时间点
对应一个信号值,一个信号就是一组这样的分量的叠加。
信号时域频域和转换
傅里叶变换后,其实还就是个叠加问题,只不 过就是从频率的角度去叠加,只不
过每个小信号就是一个时间域上覆盖整个区间的信号,但她确有固定的 周期,或者说,给了一
个周期,我们就能画出一个整个区间上的分信号,
?
那么给 定一组周期值(或频率值),我们就可以画出一组信号其对应的曲线,就像给出
时域上每一点的信号值一 样,
?
不过如果信号就是周期的话,频域的更简单,只需要几个甚至一个就可以了,时域 则
需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就就 是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅
里叶变换恰好相反。这都就是一个信号的不 同表示形式。它的公式会用就可以,当然把证明
瞧懂了更好。对一个信号做傅里叶变换,可以得到其频域 特性,包括幅度与相位两个方面。幅
度就是表示这个频率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意义？ 频域的相位与时域的相
位有关系不？信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化就是否与信号的频 率成正比
关系。傅里叶变换就就是把一个信号,分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就就是说,
用无数的正弦波,可以合成任何您所需要的信号。
想一想这个问题:给您很 多正弦信号,您怎样才能合成您需要的信号呢？答案就是
要两个条件,一个就是每个正弦波的幅度,另一 个就就是每个正弦波之间的相位差。所以现在
应该明白了吧,频域上的相位,就就是每个正弦波之间的相 位。
傅里叶变换用于信号的频率域分析,一般我们把电信号描述成时间域的数学模型 ,
而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣,而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特
性 。傅里叶变换简单通俗理解就就是把瞧似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率
的基本正弦(余 弦)信号组合而成,傅里叶变换的目的就就是找出这些基本正弦(余弦)信号中
振幅较大(能量较高)信 号对应的频率,从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如
减速机故障时,通过傅里叶变换做频 谱分析,根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的
对比,可以快速判断哪级齿轮损伤。

傅里叶变换的物理意义非常清晰:将通常在时域表示的信号,分解为多个正弦信号< br>的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称
为频谱 ,频谱包括幅度谱与相位谱,分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。
在自 然界,频率就是有明确的物理意义的,比如说声音信号,男同胞声音低沉雄浑,
这主要就是因为男声中低 频分量更多;女同胞多高亢清脆,这主要就是因为女声中高频分量
更多。对一个信号来说,就包含的信息 量来讲,时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号就
是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢？因为 有的信号主要在时域表现其特性,如电容
充放电的过程;而有的信号则主要在频域表现其特性,如机械的 振动,人类的语音等。
若信号的特征主要在频域表示的话,则相应的时域信号瞧起来 可能杂乱无章,但在
频域则解读非常方便。在实际中,当我们采集到一段信号之后,在没有任何先验信息 的情况下,
直觉就是试图在时域能发现一些特征,如果在时域无所发现的话,很自然地将信号转换到频< br>域再瞧瞧能有什么特征。信号的时域描述与频域描述,就像一枚硬币的两面,瞧起来虽然有所
不同 ,但实际上都就是同一个东西。正因为如此,在通常的信号与系统的分析过程中,我们非
常关心傅里叶变 换。