矩估计值公式初中八年级(初二)物理 动能和势能·知识点精解

2020年10月30日发(作者：何德庆)

动能和势能
·知识点精解
1．动能的概念
物体由于运动而具有的能叫做动能，用Ek表示。
2．动能的量度公式
(1)物体的动能等于它的质量跟它的速度平方的乘积。

(3)从上式可知动能为 标量，单位由m、v决定为焦耳。因为1[千克·米2秒2]=1[千克·米秒
2][米]=1牛·米= 1焦。
(4)物体的动能具有相对性，相对不同参考系物体动能不同，因而在同一问题中应选择同一参 考
系。一般物体速度都是对地球的。
(5)动能的变化量又叫动能增量，指的是未动能与初动能之差。ΔEk=

少。
(6)物体的动能与动量均与物体的质量和速度有关系，但表示的意义不同。动量表示运动效果，
动能表示运动能量。且动量为矢量，动能为标量。它们之间的数值关系为P2=2mEk。
3．动能定理
(1)动能定理内容
外力对物体做功的代数和(或合外力对物体做的功)，等于物体动能的增量。这就是动能定理。
动能定理也可以说成：外力对物体做功，等于物体动能的增量；物体克服外力做功，等于物体
动能的减 少。
(2)动能定理的表达式

第1页 共11页

(3)关于动能定理的理解
①动能定理的计算为标量式，不能分方向，v为相对同一参考系的速度。
②动能定理的研究对 象是单一物体，或者可以看成单一物体的物体系。若相互作用的物体系统
由几个物体组成，则应按隔离法 逐一对物体列动能定理方程。
③以上两式(1)式用的较少。(1)式中要求求出F合，则应用矢量合 成较复杂，力F都应为恒力
方可求合力，且物体在整个过程中物体受力保持不变。(2)式所要求的是物 体所受各力做功的代数和，
其中对力没做任何要求，力可以是各种性质的力(包括重力和弹力)，既可以 是变力也可以是恒力；既
可以同时作用，也可以分段作用。只要求出在作用过程中各力做功的多少正负即 可。这也正是动能定
理的优越性所在。
④功和动能均为标量，但功有正负之分，在求未知功时 ，一般认为是正值。若求得为正值，说
明该力做正功，负值则为物体克服该力做功。
⑤应用动 能定理时应注意动能定理的形式。即等式一边为W合，另一边为ΔEk。若将功与动能
写在一边就可能成 为其他规律的形式。如功能原理，能量守恒等。
⑥若物体运动过程中包含几个不同过程，应用动能定理 时；可以分段考虑，这样对初学者较易
掌握，也可以看全过程为一整体来处理。
4．势能的概念
由于物体之间相对位置所决定的能叫势能。由物体与地球相对位置所决定的能 叫重力势能。势
能都是物体系统所共同具有。物体的重力势能为物体和地球共同具有，习惯上说成某物体 的势能。
5．重力势能的量度公式
(1)用EP表示势能，物体质量为m，高度为h，则重力势能为：
EP=mgh
(2)重力势能为标量，单位为焦耳。
(3)重力势能具有相对性。重力势能的大小与零势点 的选取有关，选择不同零势点，物体势能不
同。原则上设零势点的选取是任意的，一般题中选题中最低点 为零势能点。但人们往往关心的是势能
的变化而不是势能本身。
(4)由于零势点的选取，势 能有正负之分。若物体在零势面以上h米处，其重力势能为EP=mgh；
若物体在零势能以下h米处时 ，其重力势能为EP=-mgh。势能的正负表明势能的大小。
(5)重力做功，物体重力势能减少， 物体重力做多少功，重力势能就减少多少。物体克服重力做
功，物体重力势能就增加，克服重力做多少功 ，物体重力势能就增加多少。
6．弹性势能的初步概念
第2页 共11页

(1)由于物体发生弹性形变而具有的能叫弹性势能。
(2)弹性势能是物体和弹簧所组成的系统的势能，而不是某个物体的。

弹簧的形变量。
【例1】 有两个物体a和b，其质量分别为ma和mb，且ma＞mb， 它们的初动能相同，若a
和b分别受到不变的阻力Fa和Fb的作用，经过相同时间停下来，它们的位移 分别是Sa和Sb，则：
A．Fa＞Fb，Sa＜Sb；
B．Fa＞Fb，Sa＞Sb；
C．Fa＜Fb，Sa＜Sb；
D．Fa＜Fb，Sa＞Sb。
【分析思路】 物体a和b的初动能相同，而质量不同，所以它们的初速度不同(m
a
＞mb，va
＜ vb)，最终两物体同时停下来。在相同时间

零。
也可以从另一角度理解。力F 在相同时间内使物体动量变为零，即力的冲量使物体动量变为零。
由此可以确定力的关系。这段时间内力 F做功使物体动能变为零。可以确定位移。
解法一：

相同，找出S的大小；根据动能定理列方程求F。

ma＞mb∴va＜vb
第3页 共11页


∴Fa＞Fb
解法二：

关系，由动量定理确定F，再由动能定理求S。

2mEk

∵ma＞mb ∴Fa＞Fb
由动能定理：F·S=Ek
∵Fa＞Fb ∴Sa＞Sb
所以本题应选择A。
【例2】 如图6-14所示，某人站在距水面高为h 的台子上，用绕过定滑轮的绳子将质量为m
的船从静止开始由A处拉至B处。此过程中绳与水平方向的夹 角由α变为β，船受到水的平均阻力为
f，船到达B处时人收绳子的速度为v。求人对船所做的功？(滑 轮和船的大小，绳子质量均不计)。

【分析思路】 人拉绳时，绳上各点速度均相同，绳 为倾斜运动而船的运动都是水平方向的，
两者的速度满足矢量关系。船的速度与收绳速度是合速度与分速 度的关系。当船由静止从A点运动到
B时，外力除要增加物体的动能还要克服水给船的阻力做功。即外力 与阻力做功之和为物体动能增量。
第4页 共11页

【解题方法】 由运 动的分解求绳和船的速度关系。利用几何关系及阻力做功特点求阻力做功
再应用动能定理求外力做功。
【解题】 当船到达B点时，由速度矢量关系知vt=vcosβ。
由几何关系，船从A到B船运动的位移为：
SAB=h(ctgα-ctgβ)
由动能定理：

【例3】 质量M=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发， 经过时间t=5分钟在水平路面上
行驶S=2.25千米。速度达到最大值vm，vm=54千米小时， 则机车的功率为_____瓦，机车运动中受
平均阻力为____牛顿。
【分析思路】 机 车的以恒定功率运动，牵引力、速度都在随时间变化，即使认为阻力不变，
机车的运动也是变加速的。所 以一定不能用牛顿定律结合运动学求解。这点往往是学生易犯的错误。
题目说明功率是不变的，一定时间 内机车的功是一定的，机车运行过程中除牵引力做功之外还有阻力
做功，而阻力恰为速度达最大值时的牵 引力，本题可以用动能定理求解。
【解题方法】 由机车的运动可知，当机车达到最大速度时牵引力 与阻力相等，即此时功率为
阻力和最大速度的乘积，由动能定理对整个过程列方程。
【解题】 设机车的功率为P，平均阻为为f。当机车达最大速度vm时有：

由动能定理得：


∴ f=Pvm=3.75×10
5
15=2.5×104(牛)
第5页 共11页

【例4】 质量2.0千克的物体在竖直平面内、半径为1.0米的
米。然后滑上同样的圆弧轨道CD。已知圆弧轨道无摩擦，物体与水平轨道BC间动摩擦因数为
0. 20。如图6-15所示。求：
(1)物体在CD轨道上能上升的最大高度；
(2)物体最后停在什么位置？

【分析思路】 物体由A点静止下滑，由于弧面 光滑，所以下滑过程中只有重力做功，重力做
的功只与始末位置有关，做功的多少等于重力势能的减少量 ，物体在BC段，由摩擦力做功的特点(与
路经有关)，物体要克服摩擦力做功。且不论摩擦力的方向如 何，物体总要克服摩擦力做功。物体最
后冲上CD部分，克服重力做功。物体冲上CD后运动并未能停止 ，从CD部分下滑后再次经过BC部分，
若能量足够，物体可能再次上到AB部分。若动能不够就停在B C的某一位置。但不论能否冲上AB部
分，最后一定要停下来，运动次数的多少，最后停下来的原因都是 BC段有摩擦的结果。虽然物体的
运动是分段的，但可以把各过程当成一个整体来对待，即整体应用动能 定理。
【解题方法】 由重力做功及摩擦力做功的特点(重力做功只讨论高度差，而摩擦力做功的S
为路程)，求各力做的功，再由动能定理求在BC段的路经，从而确定停止的位置。
【解题】 (1)设物体在CD段上升的最大高度为h，对物体由A到CD段的最高点整体列动能定
理：
mgR-μmg·SBC-mgh=0
∴ h=R-μSBC=1-0.2×2.0=0.6(米)
(2)当物体停在水平面上时，设BC段的总路程为S，则有：
mgR-μmg·S=0
∴S=Rμ=10.2=5(米)
当S为2.0米的整数倍时，物体应停在B或C点，若S不 是2.0米的整数倍，则物体停在任意
位置。
∵ S=2×2.0+1(米)
∴ 物体停在距B点1米处。
第6页 共11页

【例5】 如图6-16所示 ，质量为m的物体放在倾角为θ，长为l的斜面底端，物体和斜面间
的动摩擦因数μ=tgθ。
(1)要将物体沿斜面拉到顶端，至少要用多大的力？力的方向如何？
(2)要将物体沿斜面底端拉到顶端，这时拉力至少要做多少功？拉力的大小和方向如何？
( 3)若改用图6-17所示装置来拉此物体，要使作用于绳子A端的拉力做功最少，拉力的大小和方
向应 如何(不计滑轮和绳的质量，不计滑轮轴的摩擦)？
【分析思路】 物体能沿斜面上滑的力至少要克 服重力的分力及摩擦力，即物体沿斜面匀速上
升时，作用在物体上的力最小。要使物体沿斜面上升到最高 点做功最小，则应使物体到达最高点时速
度为零，而此时的力F不一定是上述中的最小力。若改用图6- 17来拉物体，这时作用于物体上的力
相当于沿斜面和与斜面成α夹角的两个力共同作用。这样的力做功 要最小，一是使物体运动过程中动
能不增加，同时又尽可能少的克服摩擦力做功。即只克服重力做功。这 种情形兼顾了上述(1)(2)两种
情形下的力的特点。

【解题方法】 使物体 运动的最小力的条件是合外力为零，物体做匀速直线运动。外力做功最
小时的条件是物体动能增量为零。
【解题】 (1)设拉力为F，其最小值必定出现在物体作匀速运动时，设力F与斜面成α角，物体受力情况如图6-18所示，由平衡条件：

由(1)(2)(3)联立得：

当α=θ时，力F有最小值Fmin=mgsin2θ。
第7页 共11页

(2)设将物体从底端沿斜面拉到顶端的过程中，拉力做功为WF，克服摩擦力做的功为Wf 由动能定
理得：

WF≥mglsinθ+Wf
当Wf=0时，WF有最小值Wmin=mglsinθ
此时N=0，f=0，由(1)(2)两式得：
Fcosα=mgsinθ
Fsinα=mgcosθ

∴ F=mg 可见拉力竖直向上，大小为mg。
(3)在图6-17中，设拉力F与斜面的夹角为α，要使拉力做功最少，应实现以下两点：
①滑动摩擦力为零，这就要求N=0，故有 Fsinα=mgcosθ
②物体做匀速运动，所以F+Fcosα=mgsinθ
由以上二式得：

所以，α=π-2θ，F=mg2sinθ。
【例6】 如图6-19所示，装有光滑 圆弧形轨道的小车静止在光滑水平面上，它的总质量
为M。有一质量为m的球以水平速度v沿轨道的水平 部分滑上轨道。求：
(1)球沿弧形轨道上升的最大高度。
(2)在上述过程中轨道的弹力对球所做的功。
【分析思路】 球m从水平面进入光滑弧形 轨道后，由于轨道与球之间的相互作用，球对地的
速度越来越小，而车的速度越来越大，当球在水平方向 速度大于车的速度(只有水平方向的分速度)
之前，球车之间存在着相对运动，即球沿曲面上升，当达到 最高点时两者在水平方向的速度相同，且
第8页 共11页

球在竖直方向速度 变为零，整个作用过程中，只有相互作用的内力，系统所受的水平方向合外力为零，
水平方向系统满足动 量守恒。
【解题思路】 (1)球和车组成的系统在在水平方向满足动量守恒，达到最大高度的小球 与车
具有共同的速度。在球上升过程中合外力做的功满足动能定理。
【解题】 (1)以向 左方向作为正方向。球和小车组成的系统水平方向动量守恒。设球上升到
最高点时球和车的共同速度为v 1。

对球和小车系统列动能定理方程：

由(1)(2)得 h=Mv22g(M+m)
(2)对球用动能定理，记弹力的功为W

将v1，h代入上式得：
W=-Mm2v22(M+m)2
【说明】 相互作用 的物体系统，当系统的势能(包括重力势能、弹性势能)最大时，往往组成
系统的物体具有共同速度。
【例7】 如图6-20所示A、B两物体用长为L且不可伸长的线连结在一起放在水平面上。在水平力F作用下以速度v作匀速直线运动，A的质量是B的两倍，某一瞬间线突然断裂，保持
F不变仍拉A继续运动距离s0后再撤去，则当A、B都停止运动时，A和B相距多远？

【分析思路】 物体A、B在外力F作用下匀速运动，则A、B系统处于平衡状态，A、B所受合外力为零。竖直方向重力和支持力平衡，水平方向 F与摩擦力平衡。当A、B一起运动时，不论多长
时间相距均为L，A、B间距变化的原因是线断的结果。线断后B以原有速度为初速度在摩擦力作用下
作减速运动直到停止。而A则以原速度为初速作加速运动直到位移s0，此时速度达到v＇，以后将以
第 9页 共11页

v＇为初速作减速运动直到停止。在A、B运动过程中即可以由牛顿定 律结合运动学，又可以用动能定
理求解。
【解题方法】 因A、B运动过程中只涉及到位移，而没有时间及速度方向，所以应用动能定
理求解更简便。
【解题】 物体A、B运动情况如图6-21所示，设动摩擦因数为μ，共同运动的速度为v，B从断线到停止前进为S1，A从断线到停止位移为S2，位移差为ΔS。

对B列动能定理得：

对A的整个过程列动能定理得：

又F与A、B摩擦力平衡


将(3)代入(2)式，联立(1)(2)得：

由几何关系知ΔS=S2+L-S
1


【例8】 如图6-22 所示，在光滑的水平面上有一辆平板车A，A的左端放一铁块B，已知mA=1kg，
mB=2kg，A 、B之间的动摩擦因数为μ=0.5，开始A、B以v0=6米秒的速度向右运动，当车A与墙发
生正碰 ，设碰撞时间极短且碰后车以原速率反向弹回(车身足够长，取g=10米秒2)。求：
(1)铁块在小车上的最大位移是多少？
(2)当铁块在车上获得最大位移的过程中求墙壁对小车的总冲量是多少？

第10页 共11页

【分析思路】 A、B一起向右运动时，它们之间没有 相互作用。当A车与墙相碰后，A以原速
率v0反向运动，B由于A与墙作用时间短还没来的及在A上滑 动，A已与墙作用完毕(实际上是不可
能的，这是处理一类问题的方法，即研究主要因素)。以后A、B 发生相互作用。由于mB＞mA，总动
量向左，相互作用过程中动量是守恒的，因而在作用过程中A的速 度首先为零，B此时还有向右的速
度，即A、B之间仍存在着相对运动。这样A又在B的作用下向右反向 运动，直到两者具有共同速度
为止。以后，A、B再以共同速度去与墙碰撞。重复以上过程，只要系统还 存在着动能，(由于摩擦作
用每次动能都在减小)，A、B与墙的作用就不停止，最后应是A、B动能均 变为零，且车就停在墙边。
整个系统的能量(动能)全部克服摩擦力做功。同时系统的动量也在墙的冲量 作用下变为零。
【解题方法】 墙与A的碰撞没有能量损失。系统动能的减少，是系统内力做功的结 果，对系
统应用动能定理即作用于系统的各力做功的和为系统内的各物体动能增量之和。在A、B相互作 用时
动量守恒，但在墙与A相碰时，系统动量不再守恒。应用全过程动量定理可求得墙给系统的总冲量。
【解题】 由于A、B作用的最终结果是A、B均停在墙根处，对系统列动能定理得：

∴S1=5.4(米)
(2)对整个过程应用动量定理得：
F·t=0-(MA+m
B
)v0
=-3×6=-18(千克·米秒)
“-”号说明墙给物体的总冲量与物体的初动量方向相反。


第11页 共11页