椭球截面面积公式洛必达法则 泰勒公式

2020年10月30日发(作者：陆泰临)
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第三章 微分中值定理与导数的应用
第二讲 洛必达法则 泰勒公式
目的 1．使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；
2．理解泰勒中值定理的内涵；
3． 了解等函数的麦克劳林公式；
4．学会泰勒中值定理的一些简单应用．
重点 1．运用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；
2．使学生理解泰勒中值定理的内涵．
难点 使学生深刻理解泰勒中值定理的精髓．

一、洛必达法则

在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的
极限可能存在， 也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大
与无穷小的关系知，无穷大之 比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限
和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简 记为和．
由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未
定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的
未定式极限 的计算方法，并着重讨论当
有以下定理．
定理 1 设
(1) 当时，函数及
及
时，型未定式极限的计算，关于这种情形
都趋于零；
都存在，且 ； (2)在点的某去心邻域内，
(3)
则
存在(或为无穷大)，
．
。
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也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无
穷大时，也是无穷大．这种 在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来
确定未定式极限的方法称为洛必达(L’Hospi tal)法则．
下面我们给出定理1的严格证明：
分析 由于上述定理的结论是把函数的 问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中
值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应 用柯西中值定理．
证 因为求极限与及
及
的取值无关，所以可以假定
在点 的某一邻域内是连续的．设
和满足柯西中值定理
．于是由条件(1)和(2)知，
是这 邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数
的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式
(在与之间)
成立．
对上式两端求时的极限，注意到时，则
．
又因为极限存在(或为无穷大)，所以
．
故定理1成立．
注 若仍为型 未定式，且此时和能满足定理1中和
所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即
。
2
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．
且这种情况可以继续依此类推．
例1 求 ．
分析 当
达法则．
时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必
解 .
注 最后一个求极限的函数在处是连续的．
例2 求
解
．

.
注 例２中我们连续应用了两次洛必达法则．
例3 求 ．
解 .
例4 求
解
.

.
。
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注 (1) 在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子
要计算导数，则在应用洛必达法则时需
，从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要
注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地
得到简化． 课后请同学们自己学习教材136页上的例10 ．
(2) 例４中的极限已不是未定式，不能对它应 用洛必达法则，否则要导致
错误的结果．以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛 必达法则．
对于时的未定式有以下定理．
定理2 设
(1)当
(2) 当
时，函数
时，与
及都趋于零；
都存在，且；
(3)
则
存在(或为无穷大)，
．
同样地,对于
定理3 设
(1)当(或
(或)时的未定式，也有相应的洛必达法则．
)时，函数及
时)，
都趋于无穷大；
及都存在，且； (2)在点的某去心邻域内(或当
(3)
则
存在(或为无穷大)，
．
例5 求.
。
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解 .
例6 求.
解
事实上，例6中的不是正整数而是任何正数其极限仍为零．
注 由例5和例6可见，当时，函数
最快，其次是
.
都是无
，最穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的，
慢的是．
除了和 型未定式外，还有型的未定式．这些未定式可转化
为或型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明 ．
．
，，所以是型未定式．又
例7 求
分析 因为
因为， ．
而 是型未定式，是型未定式，所以型未定式可以转化为
或型未定式去计算．
解
例8 求．
.
。
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分析 因为
式．又因为
，，所以是型未定
．
而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为型未定式来计算．
解 ．
注 讨论型 未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和
的形式转化为商的形式，然后再去讨论 ．
例9 求.
，所以是一个型未定式．又因为这是一个幂指函数求极限的问题，由于
，
而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．
解 .
例10 求 ．
分析 由于，，所以是一个型未
定式．又因为 ，
而
定式来计算．
是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未
解
由于
.
。
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,
所以
．
例11 求 .
分析 由于，，所以是一个型未定式．又因为
，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为
或型未定式来计算．
解
由于
．
，
所以
.
型未定式向或型未定式的转化可形式地表示为：
或
(或
(或
)；
；
)；
。
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(或) ．
最后我们指出，洛必达法则是求未定式极限的一种方法．当定 理的条件满足时，所求的
极限当然存在(或为)，但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在．也 就是说，
当不存在时(无穷大的情况除外)，仍可能存在,见下面的例题．
例12 求 .
解 这是一个型未定式，我们有
．
由于上式右端极限不存在，所以未定式的极限不 能用洛必达法则
去求，但不能据此断定极限
限．
不存在．这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极
．
由此可见极限是存在的．
二、泰勒公式

把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时 经常采用的方
法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达． 说
到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单．那么是否任意一个函数
都 可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似计算中讨论过．设函数
在点的某个邻域内 可导，且，则在该邻域内
．
用上述的一次多项式去近似表达函数存在两点不足：
高阶的无穷小； (1) 精确度不高，它所产生的误差仅是比
(2) 用它做近似计算时，不能具体估算出误差大小．
。
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因此，在一些精度要求较高且要求估计误差的问题中，上述近似表达是满足不了要求 的．这
时我们就想，是否可以找到一个关于的更高次多项式去近似地表达函数，从
而使误差变得 更小呢？这就是下面我们要解决的问题．
设函数
达函数
在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，并设用于近似表
的多项式为
. (1)
既然我们要用
的导数在
去近似地表达
，
，
个等式
，，,…,
，自然要求在处的函数值及它的直到阶
处的值依次与相等，即
，… ，．
这样我们就得到了如下

，
即

将所求得的多项式的系数
，
，,…,
，
代入(1)式，得
，…,．
.
(2)
下面的泰勒(Ｔaylor )中值定理告诉我们，多项式(2)就是我们要找的多项式，并且用它
去近似表达函数f(x),其误差 的确变小了．
泰勒中值定理 若函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导
数，则对任意x,有
。
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f(x)=
.
(3)
其中
，
(4)
这里是在与之间的某个值．
，现在只要证明 由(2)式和(3)式知，
(介于
即可．
证 由假设知，在
与之间)
内具有直到阶的导数，且
.
函数与在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，故有

间).
同样，函数
的条件，故有
与在以及
(介于与之
为 端点的区间上也满足柯西中值定理
(
继续对函数
理，如此做下去，经过
与在以 及
介于与之间).
为端点的区间上应用柯西中值定
次应用柯西中值定理后，得
(介于
定理证毕．
与之间，因而也在与之间).
。
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泰勒中值定理告诉我们，以多项式
果对某个固定的，当时，
近似表达函数时，其误差为．如
，则有误差估计式
，
及
．
由此可见，当

上述结果表明，多项式
的误差就越小，是比
时，误差

是比高阶的无穷小，即
(5)
越小，用去近似表达的次数越大，
高阶的无穷小，并且误差是可估计的．
泰勒公式不 仅在近似计算中有着广泛的应用，而且它在级数理论和数值计算中也起着重
要的作用，同学们一定要深刻 地理解它．
到此我们所提出的问题就解决了．多项式(2)称为函数
泰勒多项式，公式(3) 称为
而
当
按
按的幂展开的次
的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒 公式，
的表达式(4)称为拉格朗日型余项．
时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式
(介于与之间)．
因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成

. (６)
的 表达式(5)称为佩亚诺(Peano)型余项，公式(6)称为
有佩亚诺型余项的阶泰勒公式．
在泰勒公式(3)中，如果取，则在0与之间．因此可令 ，
按的幂展开的带
从而泰勒 公式变成简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式
。
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. (7)
在泰勒公式(6)中，若取，则带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
.

由(7)和(8)可得近似公式
.

误差估计式相应地变成

.
例1 写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．
解 因为
，
所以
．
把这些值代入公式(7)，并注意到，便得
.
由这个公式可知，若把用它的次泰勒多项式近似地表达为
，
则所产生的误差为
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。


(8)

(9)




(10)
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如果取，则无理数的近似式为
.
，
其误差
．
当时，可算出
例2 求
解 因为
，其误差不超过．
的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．
,
所以
，
,,…,，
，
，于是令
，,…,
，按公式(7)得 它们顺序循环地取四个数，，，
，
其中

如果取，则得近似公式

这时误差为
，
．

如果分别取和，则可得的次和次近似
。
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.
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和，
其误差的绝对值依次不超过和．以
上三个近似多项式及正弦函数的图形见图4．
由图 4可见，当时，近似多项式的次数越高，其向函数逼近的速度就越
快，这就是泰勒公式的精髓．
类似地，我们还可以求出函数
劳林公式：
和的带有拉格朗日型余项的麦克

其中

,
其中
；

其中
，
．
由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，可很容易的 得到相应地带有佩亚诺型余项
的麦克劳林公式，请同学们课后自己写出来．
以上这些常见函数的麦克劳林公式要求同学们一定要熟记，以便在今后使用时方便．
例3 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限．
分析 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限 ，就是把极限中所涉及到的不是关
于的多项式的函数，都用麦克劳林公式来表示，然后求其极限．在利用 麦克劳林公式计算
极限时，自变量的变化过程一定得是趋于零，否则保证不了麦克劳林公式对原始函数的 良
好近似．
。
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在本 问题中，由于分式的分母
和
，因此我们只需要将分子中的
分别用带有佩亚诺型余项的三 阶麦克劳林公式表示即可，其中
，
．
为什么和要展成三阶麦克劳林公式，而不展 成其它阶的麦克劳林公式呢？
这是因为用麦克劳林公式将分子展成关于的多项式后,分子分母中的最高次 幂一定要相
等，以便运算．这一点同学们今后一定要注意．
解
其中仍是比高阶的无穷小，因为

．
总结 由于两个多项式之比的极限比 较容易计算，所以人们经常利用泰勒公式把两个复
杂函数之比的极限问题转化为多项式之比的极限问题．

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