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关于年龄问题的公式辛卜生公式的证明

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-31 01:22
tags:辛卜生公式

海南大学海甸校区-26个字母音标

2020年10月31日发(作者:甄荣典)
辛卜生公式的证明
辛卜生公式 夹在两平行平面之间的几何体,如果被平行于这两平面的任 何
平面所截,截得的截面面积是截面高的(不超过三次的)多项式函数,那么这个几
何体的体积 ,就等于上底面积、下底面积与四倍中截面积的和乘以高的六分之一.

如图2-21,一个 几何体夹在两平行平面之间,用平行于底,且与下底的距
离为x的平面来截这一几何体,截面面积为A, 而A是x的(不超过三次的)多项
式函数,即
A=a
0
x+a
1< br>x+a
2
x+a
3
(式中a
0
、a
1
、a
2
、a
3
可以是任何实数.换句话说,A可以
是常数,也可以 是x的一次、二次或三次多项式函数),现在我们来证明这个几
何体的体积
32
< br>这里h是几何体的高,S′和S分别是上底和下底的面积,S
0
为中截面的面
积 .
任取一个正整数n,将几何体的高h分为n等分,通过这些分点且平行于上、
下底的平面, 将几何体分成n个薄片,每一薄片可以近似地看作直柱体,这n
个直柱体体积之和,就近似地等于这个几 何体的体积,如果分割得越细,也就是
n越大,那么这n个直柱体之和,也就越逼近于这个几何体.
因为第k(k=1、2、…、n)个薄片的底面积为

的体积近似地等于

整个几何体的体积近似地等于





当n→∞时,V′的极限是几何体的体积V,即

又因为上底面面积S′,可以看成 截面高为x=h时的截面面积,下底面面积
S,可以看成截面高为x=0时的截面面积,而中截面面积S
0





柱、锥、台、球、球缺等夹在两平 行平面之间,它们被平行于这两个平面的
任何平面所截得的截面面积是截面高的二次多项式函数,所以它 们都能应用辛卜
生公式求体积.以球为例,将球夹在两平行平面之间,那么把球看成上底面S
1
和下底面S
2
都为零的几何体.如果用底面相距为x的平面来截球,那么所得的
截面为圆(图2-22),它的面积由图2-22容易看出,为
A=πr
2

=π[R
2
-(x-R)
2
]
=π[2Rx-x
2
].
因此截面面积A是截面高x的二次的多项式函数,所以球也可以应用辛卜生
公式求积.

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