关于年龄问题的公式辛卜生公式的证明

2020年10月31日发(作者：甄荣典)
辛卜生公式的证明
辛卜生公式 夹在两平行平面之间的几何体，如果被平行于这两平面的任 何
平面所截，截得的截面面积是截面高的(不超过三次的)多项式函数，那么这个几
何体的体积 ，就等于上底面积、下底面积与四倍中截面积的和乘以高的六分之一．

如图2-21，一个 几何体夹在两平行平面之间，用平行于底，且与下底的距
离为x的平面来截这一几何体，截面面积为A， 而A是x的(不超过三次的)多项
式函数，即
A=a
0
x+a
1< br>x+a
2
x+a
3
(式中a
0
、a
1
、a
2
、a
3
可以是任何实数．换句话说，A可以
是常数，也可以 是x的一次、二次或三次多项式函数)，现在我们来证明这个几
何体的体积
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< br>这里h是几何体的高，S′和S分别是上底和下底的面积，S
0
为中截面的面
积 ．
任取一个正整数n，将几何体的高h分为n等分，通过这些分点且平行于上、
下底的平面， 将几何体分成n个薄片，每一薄片可以近似地看作直柱体，这n
个直柱体体积之和，就近似地等于这个几 何体的体积，如果分割得越细，也就是
n越大，那么这n个直柱体之和，也就越逼近于这个几何体．
因为第k(k=1、2、…、n)个薄片的底面积为

的体积近似地等于

整个几何体的体积近似地等于





当n→∞时，V′的极限是几何体的体积V，即

又因为上底面面积S′，可以看成 截面高为x=h时的截面面积，下底面面积
S，可以看成截面高为x=0时的截面面积，而中截面面积S
0
是




柱、锥、台、球、球缺等夹在两平 行平面之间，它们被平行于这两个平面的
任何平面所截得的截面面积是截面高的二次多项式函数，所以它 们都能应用辛卜
生公式求体积．以球为例，将球夹在两平行平面之间，那么把球看成上底面S
1
和下底面S
2
都为零的几何体．如果用底面相距为x的平面来截球，那么所得的
截面为圆(图2-22)，它的面积由图2-22容易看出，为
A=πr
2

=π[R
2
-(x-R)
2
]
=π[2Rx-x
2
]．
因此截面面积A是截面高x的二次的多项式函数，所以球也可以应用辛卜生
公式求积．