微积分求导公式大全角平分线夹角

2020年10月31日发(作者：闻云魁)
本讲我们主要分享“三类角平分线模型”的相关知识，主要包括：①三角
形的两个内角的角平分 线相交；②三角形的两个外角的角平分线相交；
③三角形一个内角及一个外角的角平分线相交；
而这些三角形的角平分线
的经典考察题型，必须让学生掌握这些证明过程，
同时至于其他未涉及 内容
我们将会在后续更新出来，也请大家持续关注~
针对于文章中有什么问题
也希望大 家可以留言、评论指教交流~
类型一



推理方法：


类型二



推理方法：


类型三



推理方法：


那么针对于 以上的三类关于三角形的角平分线的相关模型结论我们又如何快速
记忆呢？这个时候我们可以观察一下： ①类型一：三角形内角的角平分线；②类
型二：三角形外角的角平分线；③类型三：三角形一内一外的角 平分线；紧接着
我们联系三种模型的相关结论可以看出，不管是内外角的角平分线相交所形成的
角（∠P），它的角度结论有一个一半的∠A，所以我们可以
采用（内加外减，
不内不外，不加 不减）口诀
的进行快速记忆.

口诀含义：

内加：
如果 是三角形的
两个内角
的角平分线相交所形成的的角度就是
“90°+”
一半的 ∠A；
外减：
如果是三角形的
两个外角
的角平分线相交所形成的的角度就是
“90° -”
一半的∠A；
不内不外，不加不减：
如果既
不全是 内角
，也
不全是外角
，而是
一个内角
一个外角
的角平分线相 交，则
既不“+”也不“-”90°
，直接等于一半的∠A.

1.内角平分线模型

如图，△ABC中，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点， 猜想∠P与∠A有怎
样的大小关系？


【公式应用】
1.如图 ，在△ABC中，点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，若∠BAC=80°，
则∠BOC=_ ________.若∠BOC=110°，则∠A=_________.

2.如图，在 △ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠D1BC
与∠D1CB的角平 分线交于点D2，……以此类推∠D2BC与∠D2CB的角平分
线交于点D3，则∠BD3C的度数是 _________.

2.外角平分线模型

如图，△ABC中，若点P 是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有怎
样的大小关系？


【公式应用】
1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠AC B外角与
内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC=120°，
则∠D=_________度．


3.内角外角平分线模型

如图，△ABC中，若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎
样的大小关 系？


【公式应用】
1.如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角 平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD
的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A 2BD的角平分线，CA3
是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为_______ __度．

2.△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．CM⊥OC，交B O延长
线于点M．若∠A=70°，则∠M=_________度．

3.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问
题．
（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO
的交点，试分析∠ BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究2：如图
2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平 分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与
∠A有怎样的关系？请说明理由．（3）探究3：如图3中， O是外角∠DBC与
外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直< br>接写出结论）（4）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB
的平分线BO 和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出
结论）．（5）运用：如图5，五边 形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别
是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD 和∠GDC且相交于点P，若∠
A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=____ _____度．


这是角平分线的三个公式，记之前可以自己试着推导一遍，这样更容易记牢。
∠D=90°+12∠A

结论：∠D=90°+12∠A

我们在这里呢给出两种证明方法
证明一

解：∵BD、CD为角平分线
∴∠CBD＝12∠ABC，
∠BCD＝12∠ACB。
在△BCD中：
∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）
＝180°－12（∠ABC＋∠ACB）
＝180°－12（180°－∠A）
＝180°－12×180°＋12∠A
＝90°＋12∠A
证明二


解：连接AD并延长交BC于点E
∵BD、CD为角平分线
∴∠CBD＝12∠ABC，
∠BCD＝12∠ACB。
∵∠BDE是△ABD的外角
∴∠BDE＝∠BAD+∠ABD
=∠BAD+12∠ABC
同理可得∠CDE＝∠CAD+12∠ACB
又∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE
∴∠BDC＝∠BAD+12∠ABC+∠CAD+12∠ACB
＝∠BAC+12（∠ABC+∠ACB）
＝∠BAC+12（180°－∠BAC）
＝90°＋12∠BAC
例题应用


答案：（1）110°；（ 2）120°，140°；（3）∠BOC=90°+12∠A（4）120°