乳酸菌是真核还是原核-应用化学专业描述
2018 年成人高考专升本全书知识点大全
(高等数学 )经典
导数公式：
(tgx)
sec
2
x
(arcsin x)
1
(ctgx)
1
x
2
csc
2
x
1
(secx)
secx
(arccos x)
tgx
1 x
2
(csc x)
cscx ctgx
1
(a
x
)
a
x
ln a
(arctgx )
1 x
2
(log
a
x)
1
(arcctgx)
1
xln a
1
x
2
基本积分表：
tgxdx
ln cos x
C
dx
sec
2
xdx
tgx
C
ctgxdxC
cos
2
ln sin x
dx
x
2
secxdx
ln secx
tgx
C
sin
2
x
csc
xdx
ctgx
C
csc xdx
ln cscx
ctgx
secx tgxdx
secx
C
C
dx
1
cscx ctgxdx
cscx C
x
a
2
x
2
a
arctg
a
C
x
a
x
dx
1
x
a
C
a
dx
ln
ln a
C
x
2
a
2
dx
2a
1
x
a
shxdxchx
C
a
a
2
x
2
2a
ln
x
a
C
x
shx
C
dx
x
chxdx
arcsin
C
dx
ln( x
x
2
a
2
)
C
a
2
x
2
a
x
2
a
2
2
2
I
n
sin
n
xdx
cos
n
xdx
n
1
I
n
2
0
0
n
x
2
a
2
dx
x
x
2
a
2
a
2
ln( x
x
2
a
2
)
C
2
2
x
2
a
2
dx
x
x
2
a
2
a
2
ln x
x
2
a
2
C
2
2
a
2
x
2
dx
x
a
2
x
2
a
2
x
arcsin
C
2
2
a
三角函数的有理式积分：
sin x
2u
1 u
2
， cosx
1
u
2
1
u
2
，
x
u tg
， dx
2
2du
1 u
2
一些初等函数：
两个重要极限：
双曲正弦 : shx
双曲余弦 : chx
e
x
e
x
e
x
2
2
shx
chx
e
x
lim
x 0
sin x
x
x
1
e
x
lim (1
1
)
x
x
x
e 2.7182818284 59045...
x
双曲正切 : thx
e
x
e
e
arshx
archx
arthx
ln( x
ln( x
x
2
1）
x
2
1)
1
ln
1
x
2 1
x
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角 A
-α
sin
cos
tg
ctg
-ctg
α
-tg α
-sin
α cos α -tg α
90°-α
90°+α
cos α sin α ctg α tg α
cos α -sin
α -ctg
α
α
α
180
°-α
sin α -cos
-tg α
-ctg
α
tg α
180
°+α
-sin
α -cos
ctg α
270
°-α
-cos
α
α
-sin
α ctg α tg α
270
°+α
-cos
sin α -ctg
α
-tg α
-ctg
α
ctg α
360
°-α
-sin
α cos α -tg α
360
°+α
sin α cos α tg α
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin(
cos(
tg(
)
sin
)
cos
tg
)
1 tg
cos
cos
tg
tg
cos
sinsin
sin
sin
sin
sin
sin
2sin
2
cos
sin
2
2
2cos
2
ctg (
)
ctg
ctg
1
ctgctg
cos
cos
2 cos
cos
2
2
cos
cos
2sin
sin
2
2
·倍角公式：
sin 2
cos2
ctg 2
2 sin cos
2 cos
2
ctg
2
1
1 2 sin
2
1
cos
2
sin
2
sin 3
cos3
3sin
4cos
3
3tg
4 sin
3
tg
3cos
3
2ctg
2tg
1
tg
2
tg3
tg 2
1
3tg
2
·半角公式：
sin
2
tg
2
1
cos
cos
2
ctg
2
1
cos
1
2
cos
1
cos
sin
1
cos
c
sin C
2R
2
1
cos
1
cos
sin
sin
1
cos
sin
b
sin B
arcsin x
1
cos
1
cos
·正弦定理：
a
sin A
·余弦定理：
c
2
a
2
b
2
2ab cosC
·反三角函数性质：
arccos x
2
arctgx
arcctgx
2
高阶导数公式——莱布尼兹（
n
Leibniz
）公式：
k )
(uv)
( n)
C
n
k
u
(n
k 0
v
(k )
u
( n)
v
nu
( n 1)
v
n( n
1)
u
( n 2 )
v
2!
n(n
1) (n k
k!
1)
u
(n k )
v
(k )
uv
( n)
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理： f (b)
柯西中值定理：
f (a)
f ( )
F (b)
F (a)
F ( )
当 F( x)
x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。
f (b)
f (a)
f ( )(b
a)
曲率：
弧微分公式： ds
平均曲率：K
1
y
2
dx, 其中 y
.
s
lim
s 0
tg
: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变
化量；
s： M M 弧长。
M 点的曲率： K
d
sds
y
2
3
.
(1 y
)
直线： K
0;
1
半径为 a的圆： K
.
a
定积分的近似计算：
b
矩形法： f ( x)
b
a
b
a
n
( y
0
y
1
y
n 1
)
梯形法： f ( x)
b
a
b
[ ( y
0
y
n
)
y
1
n
2
a1
a
y
n 1
]
抛物线法： f ( x)
b
[( y
0
y
n
)
2( y
2
y
4
3n
a
定积分应用相关公式：
y
n 2
) 4( y
1
y
3
y
n 1
)]
功： W
F s
水压力： F
引力：
p A
m
1
m
2
2
r
F
k
,k
为引力系数
函数的平均值：
1
b
f ( x)dx
b
a
a
均方根：
1
b
f
2
(t )dt
b a
a
空间解析几何和向量代数：
空间 点的距离：
2 2 2
( y
2
y
1
)
( z
2
z
1
)
2
d M
1
M
2
( x
2
x
1
)
向量在轴上的投影：
与 轴的夹角。
是
AB cos ,
AB
u
Pr j
u
AB
Pr j
u
(a
1
a
2
) Pr j a
1
Pr j a
2
a b a
b cos
a
x
b
x
a
y
b
y
a
z
b
z
,是一个数量 ,
两向量之间的夹角：cos
a
x
b
x
a
y
b
y
a
z
b
z
2
a
x
k
a
y
2
a
z
2
b
x
b
y
22
b
z
2
i
j
c a b
a
x
a
y
a
z
, c
b
x
b
y
b
z
a
b sin .
例：线速度：
v
w
r .
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
向量的混合积：
[ abc] (a
b ) c
a
b
c cos ,
为锐角时，
代表平行六面体的体积 。
平面的方程：
1、点法式： A( x x
0
)
B( y
y
0
)
C (z
z
0
)
0，其中 n
{ A, B,C}, M
0
( x
0
, y
0
, z
0
)
0
2、一般方程： Ax
By
Cz
D
3、截距世方程：
x
a
y
b
z
1
c
平面外任意一点到该平
面的距离： d
Ax
0
By
0
Cz
0
D
2
A
2
B
2
C
空间直线的方程：
x
x
0
m
y
y
0
n
z z
0
p
t ,其中 s
x
x
0
mt
{ m, n, p}; 参数方程： y
y
0
nt
z
z
0
pt
二次曲面：
1、椭球面：
x
2
a
2
2、抛物面：
3、双曲面：
x
2
y
b
2
2
2
z
2
1
c
2
2 p
单叶双曲面：
y
z（, p,q同号）
2q
x
2
a
a
2
双叶双曲面：
x
2
2
y
2
b
2
y
2
b
2
z
2
1
2
c
z
2
（马鞍面）
c
2
1
多元函数微分法及应用
u
全微分： dz
z
dx
z
dy
u
du
dx
u
dy
dz
x
y
x
y
z
全微分的近似计算： z dz f
x
(x, y) x f
y
( x, y) y 多元复合
函数的求导法 ：
z
dz
z
u
z
v
f [ u(t), v(t )]
u
dt
t
v
t
z
z
z
u
z
f [ u( x, y), v( x, y)]
v
x
u
x
v
x
当 u
u( x, y)
u
， v
v(x, y)时，
du
dx
u
dy
dv
v
dx
v
dy
x
y
x
y
隐函数的求导公式：
隐函数 F ( x, y)
dy
F
x
，
d
2
y
F
x
0，
(
)＋
(
F
x
)
dy
dx
F
y
dx
2
x
F
y
y
F
y
dx
隐函数 F ( x, y, z)
z
0，
F
x
，
z
F
y
x
F
z
y
F
z
隐函数方程组：
F ( x, y,u,v)
0
(F , G)
F
u
F
v
F
u
F
v
J
G( x, y,u,v)
0
(u, v)
G
G
G
u
G
v
u
v
u
1
(F ,G )
v
1
( F ,G)
x
J
( x, v)
x
J
(u, x)
u
1
(F ,G )
v
1
( F ,G)
y
J
( y, v)
y
J
(u, y)
微分法在几何上的应用：
x
(t )
空间曲线 y
(t)在点 M (x
0
, y
0
, z
0
)处的切线方程：
(t)
x
z
x
0
y
y
0
(t
0
)
(t
0
)
z
z
0
(t
0
)
在点 M处的法平面方程：
(t
0
)( x
x
0
)
若空间曲线方程为：
曲面
F ( x, y, z) 0
(t
0
)( y
y
0
)
F
y
(t
0
)( z z
0
)
0
,
F ( x, y, z) 0
,则切向量 T {
，则：
F
z
F
z
F
x
F
x
,
F
y
M (x
0
, y
0
, z
0
)
、过此点的法向量：
1
n { F
x
( x
0
, y
0
, z
0
), F
y
( x
0
, y
0
, z
0
), F
z
( x
0
, y
0
, z
0
)}
G( x, y, z) 0
上一点
G
y
G
}
z
G
z
G
x
G
x
G
y
2、过此点的切平面方程 ：F
x
(x
0
, y
0
, z
0
)( x
x
0
)
F
y
(x
0
, y
0
, z
0
)( y y
0
)
F
z
( x
0
, y
0
, z
0
)( z z
0
) 0
x x
0
、过此点的法线方程：
z
z
0
y y
0
3
F
x
(x
0
, y
0
, z
0
) F
y
( x
0
, y
0
, z
0
)
F
z
( x
0
, y
0
, z
0
)
方向导数与梯度：
函数
z f (x, y)
在一点
沿任一方向
p( x, y
的方向导数为：
f
l
f
f
x
cos
f
y
sin
其中 为x轴到方向 l的转角。
函数
z f (x, y)
在一点
的梯度：
gradf ( x, y)
p( x, y
它与方向导数的关系是 ：
f
f
x
y
l
grad f ( x, y)
，其中
e
cos
e
i
sin
j
，为
l
方向上的
单位向量。
f
是gradf ( x, y)在l 上的投影。
l
多元函数的极值及其求法：
设
，令：
f
xx
( x
0
, y
0
) A, f
xy
( x
0
, y
0
) B, f
yy
( x
0
, y
0
) C
f
x
(x
0
, y
0
)
f
y
( x
0
, y
0
) 0
AC
B
2
则：
2
2
AC
B
AC
B
0
时，
0, (x
0
, y
0
)为极大值
A 0, (x
0
, y
0
)为极小值
时，
无极 值
A
时
0 ,
不确定
重积分及其应用：
D
f (x, y)dxdy
D
f ( r cos
, r sin
)rdrd
D
2
曲面 z
f (x, y)的面积 A
1
z
x
2
z
y
dxdy
平面薄片的重心：
x
M
x
x
( x, y) d
D
M
( x, y)d
D
,
y
M
y
M
y
( x, y) d
D
D
(x, y)d
平面薄片的转动惯量：
对于 x轴 I
x
D
y
2
( x, y)d
,
对于 y轴 I
y
D
x
2
(x, y)d
平面薄片（位于
xoy平面）对 z轴上质点 M
(0,0, a), (a
0)的引力： F
{ F
x
, F
y
, F
z
}，其中：
( x, y)xd
，
(x, y) yd
( x, y) xd
3
F
x
f
F
y
F
z
f
fa
3
，
3
D
( x
2
y
2
a
2
)
2
柱面坐标和球面坐标：
D
( x
2
y
2
2
)
2
a
D
( x
2
y
2
a
2
)
2
x
r cos
z
z
2
柱面坐标： y
r sin ,
f (x, y, z)dxdydz
F ( r ,
, z)rdrd
dz,
其中： F (r ,
, z)
f (r cos
, r sin
, z)
x
r sin
cos
z
r cos
球面坐标： y
r sin
sin
，
dv
rd
r sin
d
dr
r
2
sin
drd
d
r ( , )
f ( x, y, z)dxdydz
F (r , , )r
2
sin drd
d
d
0 0
d
0
F (r , ,
)r
2
sin
dr
1
M
转动惯量：
I
x
重心：
x
x dv,
2
( y
1
M
，
2
z
) dv
y dv,
z
2
1
M
，
其中
M
x
dv
z dv
2
2
I
y
( x
，
z
) dv
2
I
z
( x
y
) dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧 长的曲线积分）：
设
f ( x, y)
在 上连续，
L
的参数方程为：
y
x
(t)
(
(t)
t
)
),
则：
f ( x, y) ds
L
f [
(t ),
(t)]
2
(t )
2
(t )dt
(
特殊情况：
x
t
y
(t)
第二类曲线积分（对坐
标的曲线积分）：
设 L 的参数方程为
x
y
(t )
，则：
(t )
P( x, y)dx
Q( x, y)dy
L
{ P[
(t ),
(t )]
(t)
Q[
(t),
(t )]
(t )} dt
两类曲线积分之间的关 系：
Pdx
Qdy
( P cos
L
Q cos
)ds
，其中 和 分别为
L
L
上积分起止点处切向量 的方向角。
格林公式：
D
(
Q
x
P
) dxdy
y
L
Pdx Qdy
格林公式：
(
D
的面积：
A
P
时，得到
y
x
平面上曲线积分与路径 无关的条件：
当
P
·
y, Q
x
，即：
Q
D
Q
x
P
)dxdy
y
dxdy
Pdx
Qdy
L
D
1
xdy ydx
2
L
1
、 是一个单连通区域；
G
、
，
在
2
P( x, y)
Q( x, y)
G
内具有一阶连续偏导数 ，且
Q
x
＝
P
。注意奇点，如
y
，应
(0,0)
减去对此奇点的积分，
注意方向相反！
·二元函数的全微分求积 ：
在
Q
＝ 时， Pdx Qdy才是二元函数 u( x, y)的全微分，其中：
x y
( x, y)
P
u( x, y)P(x, y) dx Q(x, y) dy
( x
0
, y
0
)
，通常设
x
0
。
y
0
0
曲面积分：
对面积的曲面积分：
f ( x, y, z)ds
D
xy
f [ x, y, z( x, y)] 1 z
x
2
( x, y) z
y
2
(x, y)dxdy
对坐标的曲面积分：
R( x, y, z) dxdy
D
xy
R[ x, y, z(x, y)] dxdy
，其中：
P(x, y, z)dydz
Q(x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
，取曲面的上侧时取正 号；
P( x, y, z) dydz
P[ x( y, z), y, z]dydz，取曲面的前侧时取正 号；
D
yz
Q(x, y, z)dzdx
zx
Q[ x, y( z, x), z]dzdx，取曲面的右侧时取正 号。
D
两类曲面积分之间的关
系： Pdydz
Qdzdx Rdxdy
高斯公式：
( P cos
Q cos
Rcos )ds
(
P
Q
R
) dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
( P cosQ cos
x
y
z
高斯公式的物理意义
— —通量与散度：
散度： div
PQ
R
,即：单位体积内所产生
的流体质量，若
x
y
z
通量： A
n ds
A
n
ds
(P cos
Q cos
R cos
)ds，
因此，高斯公式又可写
成：
div Adv
A
n
ds
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
R
(
Q
)dydz (
P
R
)dzdx
Q
(
P
)dxdy
Pdx
Qdy
Rdz
y
z
z
x
x
y
dydz
dzdx
dxdy
cos
cos
cos
上式左端又可写成：
x
y
z
x
y
z
P
Q
R
R
P
Q
R
空间曲线积分与路径无 关的条件：
Q
，
P
R
，
Q
P
y
z
z
x
x
y
i
j
k
旋度： rotA
xz
y
P
Q
R
向量场 沿有向闭曲线
的环流量：
A
Pdx
Qdy
Rdz A t ds
常数项级数：
等比数列：1
q
q
2
q
n
1
1 q
n
1
q
等差数列：1
2
3
n
(n
1)n
2
调和级数：1
1
1
1
是发散的
2
3
n
级数审敛法：
R cos ) ds
div0,则为消失 ...
1、正项级数的审敛法
n
— —根植审敛法（柯西判
别法）：
设：
lim
n
u
n
，则
1时，级数收敛
1时，级数发散
1时，不确定
2、比值审敛法：
设：
lim
n
U
n
1
U
n
，则
1时，级数收敛
1时，级数发散
1时，不确定
3、定义法：
s
n
u
1
u
2
u
n
lim s
n
存在，则收敛；否则发
散。
n
交错级数 u
1
u
2
u
3
u
4
如果交错级数满足
lim u
n
n
u
n
u
n 1
0
(或 u
1
u
2
u
3
,u
n
0)的审敛法 — —莱布尼兹定理：
，那么级数收敛且其和 s
u
1
,其余项 r
n
的绝对值 r
n
u
n 1
。
绝对收敛与条件收敛：
(1)u
1
u
2
u
n
，其中 u
n
为任意实数；
(2) u
1
u
2
u
3
u
n
如果
收敛，则
肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；
( 2)
(1)
如果
发散，而
收敛，则称 为条件收敛级数。
( 2)
(1)
(1)
1
( 1)
n
调和级数：
发散，而
收敛；
n
n
级数：
1
收敛；
n
2
1
p级数：
ｐ １时发散
n
p
幂级数：
p
1时收敛
1 x x
2
x
3
x
n
x
1时，收敛于
1
1 x
x
1时，发散
a
1
x a
2
x
2
对于级数 (3)a
0
a
n
x
n
x
，如果它不是仅在原点
R时收
敛
收敛，也不是在全
数轴上都收敛，则必存
在 R，使 x R时发散 ，其中 R称为收敛半径。
x R时不定
1
1
0时， R
，其中 a
n
， a
n 1
是 (3)的系数，则
0时， R
求收敛半径的方法：设
lim
n
a
n
a
n
函数展开成幂级数：
时， R 0
函数展开成泰勒级数：
f ( x) f ( x
0
)( x x
0
)
f ( x)
2!
0
( x x
0
)
2
f
(n )
( x)
0
( x
x
0
)
n
n!
余项： R
n
f
( n
1)
( )
(x
(n
1)!
x
0
)
n 1
, f (x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：lim R
n
0
n
x
0
0
时即为麦克劳林公式：
f ( x)
f (0)
f (0) x
f (0)
x
2
f
(n)
(0)
x
n
一些函数展开成幂级数：
2!
n!
( 1 x
(1 x)
m
1
mx
m(m
1)
x
2
2!
x
3!
3
m(m 1)
(m n
n!
x
2n 1
(2n
1)!
1)
x
n
1)
sin x x
x
5!
5
(
1)
n 1
(
x
)
欧拉公式：
e
ix
cosx i sin x
或
cosx
sin x
e
ix
e
ix
e
ix
2
e
ix
2
三角级数：
f (t) A
0
n 1
A
n
sin(n t
n
)
a
0
n 1
(a
n
cosnx
b
n
sin nx)
其中， a
0
A
n
cos
n
， t
x。
正交性：
任意两个不同项的乘积 在
1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x
sin nx, cosnx
[ , ]
上的积分＝ 0。
2
aA
0
，a
n
A
n
sin
n
，b
n
傅立叶级数：
f ( x)
a
0
2
1
( a
n
cosnx b
n
sin nx)，周期
n 1
2
a
n
其中
f ( x) cosnxdx
1
f ( x)sinnxdx
2
(n 0,1,2
(n
1
1
1,2,3 )
)
b
n
1
3
2
1
2
2
1
4
2
1
5
2
2
1
1
8
1
2
1
1
1
4
2
1
4
2
2
2
3
2
2
2
3
2
（相加）
6
2
1
24
2
0， b
n
0
6
2
（相减）
12
1,2,3
f (x)
正弦级数： a
n
f (x)sin nxdx
n
b
n
sin nx是奇函数
a
0
2
a
n
cosnx是偶函
数
2
余弦级数： b
n
0， a
n
f ( x) cosnxdx
0
n
0,1,2
f ( x)
周期为
2l
的周期函数的傅立叶级数：
f ( x)
a
0
( a
n
cos
n
x
n x
b
n
sin
，周期
)
2l
2
n 1
a
n
1
f (x)cos
dx
l
l
l
其中
l
nx
b
n
1
f ( x) sin
dx
l
nx
l
l
(n
0,1,2
)
(n
1,2,3
)
l
l
l
微分方程的相关概念：
一阶微分方程： y
f (x, y)
或
P( x, y)dx
Q(x, y)dy
0
可分离变量的微分方程 ：一阶微分方程可以化 为
的形式，解法：
g( y)dy
f (x)dx
得：
称为隐式通解。
g ( y)dy
f (x)dx
G( y)
F (x)
C
齐次方程：一阶微分方 程可以写成
dy
dx
(u)
f (x, y)
，即写成 的函数，解法：
y
( x, y)
x
设
u
y
，则
dy
du
，
x
dx
dx
即得齐次方程通解。
du
dx
，
dx
x
P( x )dx
，
du
分离变量，积分后将
代替
(u)
u
x
y
P ( x) dx
一阶线性微分方程：
1、一阶线性微分方程：
dy
dx
P(x) y
Q ( x)
当 Q( x)
0时 ,为齐次方程， y
P( x)dx
Ce
当 Q( x)
0时，为非齐次方程，
y
( Q (x)e
、贝努力方程：
2
dx
dy
dx
C )e
P(x) y
，
Q (x) y
(n
n
0,1)
全微分方程：
如果
P(x, y) dx Q( x, y) dy 0
中左端是某函数的全微 分方程，即：
du(x, y)
P( x, y) dx
Q( x, y) dy
，其中：
u
，
P( x, y
u
Q( x, y)
x
y
u( x, y)
C应该是该全微分方程的 通解。
二阶微分方程：
2
d y
P(x)
Q( x) y
f (x)，
0时为齐次
dx
2
dx
f ( x)
0时为非齐次
dy
f ( x)
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*) y py qy 0，其中 p, q为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程： ( )r
2
pr q 0，其中 r
2
， r的系数及常数项恰好是
(*) 式中 y , y , y的系
数；
2、求出 (
)式的两个根 r
1
,r
2
3、根据 r
1
,r
2
的不同情况，按下表写 出(*) 式的通解：
r
1
，r
2
的形式
两个不相等实根
(*) 式的通解
(
p
2
4
q
0)
y
c
1
e
rx
c
2
e
rx
1 2
两个相等实根
( p
2
4q
0)
( p
2
4q
0)
i
4q p
2
2
f ( x)， p,q为常数
y
(c
1
c
2
x)e
r
x
1
一对共轭复根
x
e (c
1
cos x c
2
sin x)
y
r
1
i ，r
2
p
，
2
y
py qy
二阶常系数非齐次线性微分方程
f ( x)
e
x
P
m
( x)型，
为常数；
f ( x)
e
x
[ P
l
( x) cos
x P
n
( x) sin x]型
四川省招生考试信息网-合肥168中学2017年分数线
圆台侧面积公式-serious比较级
就业热门专业排名-河北政法职业学院官网
海南医学院地址-励志的句子简短
画蛇添足寓意-放风筝是什么季节
高三二轮复习-毛泽东思想活的灵魂
武汉生物工程学院怎么样-营养健康早餐
怎么把句子改成陈述句-重男轻女的父母的特点
本文更新与2020-10-31 13:44，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/435115.html
-
上一篇：高考物理知识点归纳：电场公式总结
下一篇：四线粘合通达信指标公式源码