全国数学竞赛预赛试题分类：数列

2014数学预赛试题分类：数列
天津3．等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，并且对任意正整数
n
成立< br>S
n?2
?4S
n
?3
，则
a
2
的 值是（）
(A)．2(B)．6(C)．2或6(D)．2或-6
天津9．数列｛
a
n
｝满足
a
n?1
?a
n
?a
n?1< br>,n?2
．若
a
7
?8
，则
a
1
? a
2
??a
10
等于．
河北11、设{
a
n}是等差数列，且满足：①
a
n
∈N
*
，②项数≥3，③d>0 ，记{
a
n
}所有项的和为S.
（1）写出满足S=30的所有{
a
n
}；
（2）求证：对大于8的合数m，总存在{
a
n
}使得S=m.
河 北14、数列{
a
n
}满足：
a
1
?1,a
n?
1
a
n?1
?
1
。
2
（1）求证：
a
n
（2）求证：
?
2
；
3
10
.
27
a
2n
?a
n
?
山西1、将正整数数列1，2，3，…按如下方式自左至右分段，使得第一段有1×2个数，第二段有2
×3个数，…，第n段有n×(n+1)个数，…，则2014位于第段。
山西10、数列{
a
n
}，{
b
n
}满足条件：
a
1
?b
1
?1,a
n?1
?a
n
?2b
n
,b
n?1
?a
n
?b
n
；证明：对每个
正整数n ，下式成立：（1）
a
2n?1
a
?2,
2n
?2
；
b
2n?1
b
2n
（2）
a
n?1
a
?2?
n
?2

b
n?1
b
n
1 11
???1(n?N
*
)
，
a
1
?a
3
?6
，
a
1
，
a
2
，
a
3
单辽宁5．正项数列
?
a
n
?
满足
a
n
a
n?1
a
n
a
n?2
a
n?1
a
n?2
调递增且成等比数列，
S
n
为
?
a
n
?
的前
n
项和，则
?
S
2014
?< br>的值是（其中表示不超过实数的最
大整数）（）
A．5368B．5367C．5363D．5362
辽宁15．（本小题满分25分） < br>已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2< br>，对于任意的
p,q?N
*
，有
a
p?q
?a
p
?a
q
．
?
a
n
?
的通项公式；
b
b
1
bb
?
2
2
?
3
3
?
4
4
?
2?12?12?12?1
?(?1)
n?1
b
n
*
(n?N)
，求数
n
2?1
（1）求数列
（2）数列
?
b
n
?
满足
a
n
?

列
?
b
n
?
的通项公式； < br>?3
n
?
?
b
n
(n?N
*
)，是否存在实数
?
，当
n?N
*
时，
C
n?1
?C
n
恒成立，若存在，（3）设
C
n
求实数
?< br>的取值范围；若不存在，请说明理由．
吉林5、若五项的数列{
a
n
}：
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
, a
5
满足
0?a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
，且对任意的i，j
（1≤i≤j≤5），均有
a
j
?a
i
在该数列中。 ①
a
1
=0；②
a
5
?4a
2
；③{
a
n
}为等差数列；④集合A={
a
i
则上述论断正确的有 （）个。A、1B、2C、3D、4
山东6、已知数列{
a
n
}满足：a
n
整数部分为。
山东14、数列{
a
n
}中，a
1
?a
2
?1,a
3
?m,a
n?1
?
?a
j
1≤i≤j≤5}含9个元素。
?1?
11
? (n?1)
，且其前n项和为
S
n
，则
S
n
的最大
n
2
(n?1)
2
k?a
n
a
n?1(n?3)
，其中k、m均为正整数且
a
n?2
（k，m）=1.问k 为何值时，对任意的n∈N，a
n
均为整数？
福建11．已知
?
a
n
?
为递增的等比数列，且
a
1
?a
2
? 6
，
a
3
?a
4
?24
。
b
n< br>?
a
n
，数列
?
b
n
2
(a
n
?1)
?
的前
n
项和为
T
n
，求证： 对一切正整数
n
均有，
T
n
?3
。
江西1．如果
2014
是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是．
江西6．等差数列
?
a
n
?
，
?
b
n
?
的前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，若对任意的正整数
n
都有
T
n
n
S
?
5n?3
，
2n?1
则
a
20
?
． < br>b
7
22
河南4、等差数列{
a
n
}满足
a
1
?a
10
?10
，则
S?a
10
?a< br>11
?...?a
19
的取值范围是。
河南12、递增数列1，3， 4，9，10，12，13，…由一些正整数组成，它们或者是3的幂或者是若干
个不同的3的幂的和， 求第2014项的值。
湖北1.已知正整数数列
{a
n
}
满足a
n?2
?a
n?1
?a
n
，
n?
N
．若
a
11
?157
，则
a
1
=. 湖北6.去掉集合
A?{n|n?10000,n?
N
*
*
}< br>中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按
从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的 第2014项为.
湖北13.在单调递增数列
{a
n
}
中，
a
1
?2
，
a
2
?4
，且
a
2 n?1
,a
2n
,a
2n?1
成等差数列，
a
2n
,a
2n?1
,a
2n?2
成等比数列，
n?1,2,3, ?
．

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）设数列
{
1
4n
*
}
的前
n
项和为
S
n
，证明：
S
n
?
，
n?N< br>．
a
n
3(n?3)
知公差为d的等差数列四川3、已
{a
n
}
满足：d>0，

正整数n，都有，则公差d的取值范围是（）
四川15、已知k为给定正整数，数列
{a
n
}
满足，其
中 是
{a
n
}
的前n项和，令
，求k的所有可能值。
。{b
n
}
的前n项和分别为
S
n
、
T
n
，陕西2、已知等差数列
{a
n
}
、且对于一切正整数n，都有< br>a
n
2n?1
?
，
b
n
3n?1
则
S
6
?
。
T< br>5
陕西加2、已知数列
{a
n
}
的各项均为正数，其前n项和 为
S
n
，且对任意n∈N
+
，都有
2
S
n
?(n
2
?n?1)S
n
?(n
2
?n)?0。
甘肃1、在数列{
a
n
}中，
a
1
?1, a
2
?3
，且
a
n?2
?a
n?1
?a< br>n
(n?N
*
)
，则
a
2014
=。 *
甘肃11、在数列{
a
n
}中，
a
1
?1< br>，
a
n?1
?2a
n
?n?2,n?N
.求数列{< br>a
n
}的前n项和
S
n
.
黑11、已知数列{a
n
}满足
a
n
=
n?p(n?N,0?p?1)，下面说法正确的是（）
A、①②B、③④C、②④D、②③
①当p=
n*< br>11
时，数列{
a
n
}为递减数列；②当 a
n
}为不一定有最大项；
22
p
1
时，数列{
a
n
}为递减数列；④当为正整数是，数列{
a
n
}必有两项相等的 最大
1?p
2
③当0项；
江苏4、已知等比数列{
a
n
}的公比为q，前n项和
S
n
>0（n=1，2，3，…），则 q的取值范围是。

江苏9、设数列{
a
n
}的前n项和为< br>S
n
，
a
1
?0,2S
n?1
?3S
n
?2a
1
,n?N
。
（1）证明数列{
a
n
}为等比数列
（2）若
a
1
、
a
p
(p?3)
两项均为正整数，且存在正整数m，使
a
1
?m
贵州9．（本小题满分16分）
p?1
*
，
a
p

?(m?1)
p?1< br>，求
a
n
。
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，且
a
n?1
?2a
n
?1．
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
已 知数列
2n(n?1)(4
n
?1)
n(a
n
?1)
的前
n
项和为
S
n
，求证：
S≤
（2）设数列．
3
2
a
n
?3
安徽10.设数列
{a
n< br>}
满足
a
1
?1,a
n?1
?,n?1
．求 证：
2a
n
??
2
n
（1）当
n?2
时 ，
a
n
严格单调递减．（2）当
n?1
时，
|a
n ?1
?3|?23
2014
r
2
n
1?r
2
n
，这里
r?2?3
．
浙江4．已知等比数列{a
n
} ：a
1
=5,a
4
=625，则
1
=（）
?logaloga
k?1
5k5k?1
C．A．
2014

2015
B．
2013

2014

2012

4028
D．
2013

4030
浙江20．设数列{a
n
}定义为a
1
=a,a
n+1=1+
湖南3．若
1
，n≥1，求所有实数a，使得01
< 1，n≥2．
a
1
?a
2
?????a
n
?1< br>?
a
n
?
是等差数列，首项
a
1
?0
，
a
2013
?a
2014
?0
，
a
2 013
?a
2014
?0
，则使前
n
项和
S
n
?0
成立的最大自然数
n
是（）A．
4025
B．4026
C．
4027
D．
4028

湖南10．已知 一无穷等差数列中有3项（顺次排列但不一定相连）：13，25，41，则可以判断得出
2013
（填“是”、“不是”、“不能确定”）数列中的一项．
湖南16．（本小题满分20分）
已知数列
?
x
n
?
满足：
x
n?2
?2x
n?1
?x
n
，
x
1
?2
，x
2
?6
；数列
?
y
n
?
满足：y
n?2
?y
n?1
?2y
n
，
y
1
?3
，
y
2
?9
．
求证：存在正整数
n
0
，使得对任意
n?n
0
都有
x
n
?y< br>n
．
新疆1、已知一个等比数列前2014项之和为200，前4028项之和为38 0，则前6042项之和为。
全国4、
全国10、