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第八次强化训练

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-31 20:43
tags:qef

正火温度-allergy

2020年10月31日发(作者:游好扬)


高三第八次强化训练
理科数学试题
一、 选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知集合
A?
?
x?N|1 ?x?log
2
k
?
,集合
A
中至少有
3
个元素,则( )
A.
k?16
B.
k?16
C.
k?8
D.
k?8

2. 复数
i
?
?6?i
?
3?4i
的实部与虚部之差为( )
A.-1 B.1 C.
?
7
7
5
D.
5

3. 已知
cos
?
?
?
?2
?
?
?
?
?
?2cos
?
???
?
,则
tan
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
?
( )
A.
?4
B.
4
C.
?
1
3
D.
1
3

4.已知
a?1

b?2
,且
a?
?
a?b
?
,则向量
a

b
方向上的投影为( )
A.
1
B.
2
C.
1
2
D.
2
2

5.某医院拟派2名内科医 生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义
务巡诊,其中每个 分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( )
A.72种 B.36种 C.24种 D.18种
6. 当输入
a
的值为
16

b
的值为
12
时,执行如图所示的程序框图,则输出的
a
的结果是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
6

7. 已知函数
f
?
x
?
?2
x?lnx?1
,则
y?f
?
x
?
的图象大 致为( )
A. B.
C. D. < br>8.如图,在棱长为
a
的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
P

A
1
D
1
的中点,
Q

A
1
B
1
上任 意一点,
E

F

CD
上两点,且
EF
的 长为定值,则下面四个值中不是定
值的是( )
A.点
P
到平面
QEF
的距离
B.直线
PQ
与平面
PEF
所成的角
C.三棱锥
P?QEF
的体积
D.△
QEF
的面积 < br>9.已知函数
f(x)?cos(x?
?
4
)sinx
,则函 数
f(x)
满足( )
A.最小正周期为
T?2
?
B.图象关于点
(
?
8
,?
2
4
)
对称
C.在区间
(0,
?
8
)
上为减函数 D.图象关于直线
x?
?
8
对称
10. 设锐角
△ABC
的三个内角
A

B

C
的对边分别为
a< br>,
b

c
,且
c?1

A?2C
, 则
△ABC
周长的取
值范围为( )
A.
?
0,2?2
?
B.
?
0,3?3
?

C.
?
2?2,3?3
?
D.
?
2?2,3?3
?
?

11. 设双曲线
C :
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1
?
a?0,b?0
?
的左、右焦点分别为
F
1

F
2
,过
F
1
的直线分别交双曲线左右两支于点
M

uuuuruuuur
N
,连结
MF
NF
uu uuruuuur
2

NF
2
,若
MF
2
?
2
?0

MF
2
?NF
2
,则双曲线< br>C
的离心率为( )
A.
2
B.
3
C.
5
D.
6

?
12.已知函数
f(x)?< br>?
?
e
?x
?mx?
m
2
,x?0,

e
为自然对数的底),若方程
f(?x)?f(x)?0
有且仅有四个不 同的
?
?
e
x
(x?1),x?0
解,则实数
m< br>的取值范围是( )
A.
(0,e)
B.
(e,+?)
C.
(0,2e)
D.
(2e,??)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
?
x?2?0,
13. 已知点
P(x,y)
在不等式组
?
?
y?1?0,
表示的平面区域上运动,则
z?x?y
的取值范围是
?
?
x?2y?2?0
x
2
14.已知点
Q(22 ,0)
及抛物线
y?
4
上一动点
P(x,y),

y?|PQ|
的最小值是
15. 已知数列
?
a
n
?
为正项的递增等比数列,
a
1
?a
5
?82
,< br>a
2
?a
4
?81
,记数列
?
?
2
?
?
a
?
的前
n
项和为
T
n,则使不等式
n
?
2019
1
3
T
n
?1?1
成立的正整数
n
的最大值为_______.
16. 已知在四面 体
A?BCD
中,
AD?DB?AC?CB?1
,则该四面体的体积的最大值 为___________.




三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)已 知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,且
2S
n
?na
n
?2a
n
?1

(1)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(2)若数列
?
?
1
?
?
a
2
?
的前
n项和为
T
n
,证明:
T
n
?4

n
?


18.(本小题满分12分)如图(1),等腰梯形
ABCD

AB?2

CD?6

AD?22

E

F
分别是
CD
的两个三
等分点.若把等腰梯形 沿虚线
AF

BE
折起,使得点
C
和点
D
重合,记为点
P
,如图(2).
(1)求证:平面
PEF?
平面
ABEF

(2)求平面
PAE
与平面
PAB
所成锐二面角的余弦值.


19.(本小题满分12分)
某企业对设备进行升级改造,现从设备改 造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量
指标值,若该项质量指标值落在
[20,40)
内的产品视为合格品,否则为不合格品.图1是设备改造前样本的频率
分布直方图,表1是设备改造后样本的频数分布表.


图1:设备改造前样本的频率分布直方图










表1:设备改造后样本的频数分布表
质量指标值
[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

[40,45)

频数 2 18 48 14 16 2
(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;
(2)企业将不合格品全部销毁 后,并对合格品进行等级细分,质量指标值落在
[25,30)
内的定为一等品,每件售
价240元;质量指标值落在
[20,25)

[30,35)
内的定为二 等品,每件售价180元;其它的合格品定为三等品,每
件售价120元.根据表1的数据,用该组样本 中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品
中抽到一件相应等级产品的概率.现有 一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为
X
(单位:元),求
X
分布列和数学期望.


x
2
y
2
20.设 椭圆
C:
2
a
2
?
b
2
?1
?< br>a?b?0
?
的离心率为
2
,圆
O:x
2
? y
2
?2

x
轴正半轴交于点
A
,圆
O< br>在点
A
处的切
线被椭圆
C
截得的弦长为
22

(1)求椭圆
C
的方程;
(2)设圆
O
上任意一点< br>P
处的切线交椭圆
C
于点
M

N
,试判断< br>PM?PN
是否为定值?若为定值,求出该定
值;若不是定值,请说明理由.

21. 已知函数,其中为实数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数有两个极值点,求证:.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中,以坐标原点为极 点,
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C
1
的极坐标方程为?
?4cos
?
(
?
?0)

M
为曲 线
C
1
上的动点,点
P
在射线
OM
上,且满足|OM|?|OP|?20

(Ⅰ)求点
P
的轨迹
C
2
的直角坐标方程;
(Ⅱ )设
C
5
?
2

x
轴交于点
D
, 过点
D
且倾斜角为
6
的直线
l

C
1相交于
A,B
两点,求
|DA|?|DB|
的值.

23.选修4-5:不等式选讲
已知函数
f
?
x
?
?
1
3
x?a
?
a?R
?

(1)当
a?2
时,解不等式
x?
1
3
?f
?
x< br>?
?1

(2)设不等式
x?
1
3
?f< br>?
x
?
?x
的解集为
M
,若
?
?< br>11
?
?
3
,
2
?
?
?M
,求实数
a
的取值范围.



高三第八次强化训练
8.【解析】将平面
QEF
延展到平面
CDA
1
B
1
如下图所示,由图可知,
P
到平面
CDA< br>1
B
1
的距离为定值.由于四边

CDA
1
B
1
为矩形,故三角形
QEF
的面积为定值,进而三棱锥
P?QEF
的体积为定值.故A,C,D选项为真命题,
理科数学答案
二、 选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.)
1. 【解析】由集合
A
中至少有
3
个元素,则
log
2
k?4
,解得
k?16
,故 选B.
2.B
3. 【解析】因为
cos
?
?
??
2
?
?
?
?
?
?2cos
?
??
?
?
,所以
?sin
?
??2cos
??tan
?
?2

所以
tan
?
?
?
?
4
?
?
?
?
1?tan
?
1
?
?
1?tan
?
??
3
,故选C.
4 .【解析】设
a

b
的夹角为
?

Qa?
?
a?b
?

?a?
?
a?b
?
?a2
?a?b?0

?cos
?
?
2
2
,∴向量
a

b
方向上的投影为
a?cos
?
?< br>2
2

故选D.
5.【解析】 2名内科医生,每个村一名,有2种方法,
3名外科医生和3名护士,平均分成两组,要求外科医生和护士都有,
则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,
若甲村有1外科,2名护士,则有C
1
3
C
2
3
?3?3?9
,其余的分到乙村 ,
若甲村有2外科,1名护士,则有
C
2
3
C
1
3
?3?3?9
,其余的分到乙村,
则总共的分配方案为
2?
?< br>9?9
?
?2?18?36
种,故选B.
6.【解析】模拟程序的运行,可得
a?16

b?12

满足条件
a?b
,满足条件
a?b

a?16?12?4

满足条件
a?b
,不满足条件
a?b

b?12?4? 8

满足条件
a?b
,不满足条件
a?b

b? 8?4?4

不满足条件
a?b
,输出
a
的值为4.故选C.
7.【解 析】由于
f
?
?
1
?
2
?
2
?< br>?
?
1
?
2
?0
,排除B选项.
?ln< br>1
?1ln2?
1
222
由于
f
?
e
?
?
2
e?2

f
?
e
2
?< br>?
2
e
2
?3

f
?
e
?
?f
?
e
2
?
,函数单调递减,排除C选项.
由 于
f
?
e
100
?
?
2
e
100
?101
?0
,排除D选项.故选A.
a
2
?a?bcos
?
?0

B为假命题.

9.【解析】
f(x)?
22
?
1
2
?
cosx?sinx
?
sinx?
2
?
?
2
sin2x?
1?cos2x
?
2
?
?
?
2?< br>?
?
?
?

4
?
?
2sin
?
?
2x?
4
?
?
?1
?
,所以函?
数最小正周期为
?
,将
x?
?
?
?
8
代入
sin
?
2x?
?
?
?
?
4
?
,为
sin
2
故直线
x?
?
8
为函数的对称轴,选D.
10.【解析】因为
△ABC
为锐角三角形,所以
0?A?
?
2

0?B?
???
2

0 ?C?
2
,即
0?2C?
2

0???C?2C?
?
2

0?C?
?
2
,所以
?
6
?C?
?
4

23
2
?cosC?
2
;又 因为
A?2C

所以
sinA?2sinCcosC
,又因为c?1
,所以
a?2cosC
;由
b
sinB
?
c
sinC


b?
csinB
sinC
?< br>sin3C
sinC
?4cos
2
C?1
,所以
a? b?c?4cos
2
C?2cosC
,令
t?cosC


t?(
23
?
2
,
2
?
?< br>,又因为函数
y?4t
2
?2t

(
2
,
3
?
上单调递增,所以函数值域为
(2?2 ,3?3
?
22
?
?
,故
?
?
选:C.
11.【解析】结合题意可知,设
MF
2
?x
,则
NF2
?x

MN?2x

则结合双曲线的性质可得,
M F
2
?MF
1
?2a

MF
1
?MN?N F
2
?2a

代入,解得
x?22a
,∴
NF< br>1
?2a?22a

NF
2
?22a

?F
1
NF
2
?45?

对三角形
F
1
NF
2
运用余弦定理,得到
?2a?22a
?
2
?
?
22a
?
2
?
?
2c
?
2
?2
?
2a?22a
??22a
?
?cos45?


解得
e?
c
a
?3
.故选B.
12. 【解析】因为函数
F(x)?f(?x)?f(x)
是偶函数,
F( 0)?0
,所以零点成对出现,依题意,方程有两个不
同的正根,又当
x?0
时,
f(?x)?e
x
?mx?
m
2
,所以方程可以化为:
e
x
?mx?
m
?xe
x
?e
x
?0


2

xe
x
?m(x?
1
2
)
,记
g(x)?xe
x

g
?
(x )?e
x
(x?1)
,设直
y?m(x?
1
2
)< br>与
g(x)
图像相切时的切点为
(t,te
t
)
,< br>则切线方程为
y?te
t
?e
t
(t?1)(x?t)
,过点
(
1
,0)
,所以
?te
t
?e
t
11
2
(t?1)(
2
?t)?t?1

?2
(舍),所以切线
的斜率为
2e
,由图像可以得
m?2e
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.【答案】
[?1,2]

试题分析:由题意得,画出不等式组所表示的 平面区域,如图所示,平移直线
0?x?y
过点
A(0,1)
时,
z
有最
小值为
?1
;平移直线
0?x?y
过点
B(2 ,0)
时,
z
有最大值为
2
,所以
z?x?y
的取 值范围是
[?1,2]


14.【答案】2
15.【解析】数列
?
a
n
?
为正项的递增等比数列,
a
1
? a
5
?82

a
2
?a
4
?81?a1
a
5


?
?
a
1
?a
5
?82
,解得
?
a
1
?1
?
a
?
,则公比
q?3
,∴
a
n?1
n
?3< br>,
1
?a
5
?81
?
a?81

5
1?
1

T
2222
n
?
1
?< br>3
?
3
n
3
2
?
L
?
3< br>n?1
?2??3
?
1?
1
?
,∴
2019
1
T?1?1

1?
1
?
?
3
n
?
?
3
n
3

2019?
1
3
n
?1
,得
3
n
?2019
,此时正整数
n
的最大值为6.故答案为6.
16.解析:取
AB
中点
O
,连接
CO,DO
,要使得四面体的体积最大,
D
则必有平面
A BD?
平面
ABC
,设
OB?t


AB?2t,OD?OC?1?t
2


V?
1
?
?
?
1
?2t?1?t
2
?
?
?1?t
2
?
1
(?
A
O
B
3
?
2
?
3
t
3
?t)

C
则< br>V
?
?
1
3
(?3t
2
?1)
,令
V
?
?0
,得
t?
3
3
,当
t?
3
3
时,
V
取得最大值
23
27

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.解析:(1)当
n?1
时,
2S
1
?a
1
?2a
1
?1< br>,即
a
1
?1
,…………1分

n≥2
时 ,
2S
n
?na
n
?2a
n
?1
①,
2S
n?1
?(n?1)a
n?1
?2a
n?1
?1
②…………2分
①?②
,得
2a
n
?na
n
?(n?1)a
n?1
?2a
n
?2a
n ?1


na
n
?(n?1)a
n?1
,……… ………………………3分
所以
a
n
n?1
?
a
n?1
n


a
1
1
2
?
2
,………………………… ……………………………………………………4分
所以数列
?
?
a
n
?
?
n?1
?
?
为常数列,…………………………5分
a
n
n?1
?
1
2
,即
a
n?1
n
?
2
(?n?N
?
)
.…………………………… ……………6分
(2)由(1)得
a
n?1
144
?
11
?
n
?
2
,所以
a
2
?
2
??4
?
?
?
?
,………8分
n
(n?1)n (n?1)
?
nn?1
所以
T
4
2
2
?< br>4
n
?
3
2
?
4
4
2
?< br>L
?
4
(n?1)
2
,……………………9分
?< br>4
1?2
?
4
2?3
?
4
3?4
?
L
?
4
n(n?1)
,………………10分
?4
?
?
?
?
?
?
1?
1
?
2
?
?
?
?
?
1
?
2
?
1
?
3
?
?
?
?
?
1
?
3
?
1
?
4
?
?
?
L
?
?
?
1
?
n
?
1
?
?
n?1
?< br>?
?
?
…………………11分
?4
?
?
1
?
?
1?
n?1
?
?
?4
.……………… ……………………12分
18.【答案】(1)见解析;(2)
7
7
. < br>【解析】(1)
E

F

CD
的两个三等分点,易知 ,
ABEF
是正方形,故
BE?EF


BE?PE,且
PEIEF?E
,∴
BF?

PEF

又面
ABEF
,∴平面
PEF?
平面
ABEF

(2)过
P

PO?EF

O
,过
O
BE
的平行线交
AB

G
,则
PO?

ABEF



PO

EF

OG
所在直线两两垂直,以它们为轴建立空间直角坐标系,


A
?
2,?1,0
?

B
?
2,1,0
?< br>,
F
?
0,?1,0
?

P
?
0, 0,3
?


u
AF
uur
?
?
?2,0,0
?

u
FP
uur
?
?
0 ,1,3
?

u
AB
uur
?
?
0,2, 0
?

u
PA
uur
?
?
2,?1,?3
?

设平面
PAF
的法向量为
n
1
?< br>?
x
1
,y
1
,z
1
?


?
?
?
n
1
?
u
AF
uur
?
uuur
?0
,∴
?
?
?2x
?
1
?0
?
n
1
?FP?0
?
?
y
1
?3z
1
?0

n
1
?
?
0 ,?3,1
?

设平面
PAB
的法向量为
n
2< br>?
?
x
2
,y
2
,z
2
?


?
?
n?
u
AB
uur
?0
?
?
2y
2
?
?
uur
,∴
0
?
2
u
?

?
n
?
3,0,2
?

2
?PA?0
?
3x
n
?
2x
2
?
2
?y
2
?
2
?0
cos
?
?
n
1
?n
2
2
n?n
??
7

12
2?7
7
∴平面
PAE
与平面
P AB
所成锐二面角的余弦值
7
7

18.解:(1)根据图1可知,设备改造前样本的频数分布表如下
质量指标值
[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

[40,45)

频数 4 16 40 12 18 10
4?17.5?16?22.5?40?27.5 ?12?32.5?18?37.5?10?42.5

?100?2.5?4?15?16? 20?40?25?12?30?18?35?10?40

?3020
.……………………………………………………………………………1分
样本的质量指标平均值为
3020
100
?30.2
.………………………… …………………2分
根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为
30.2
.…………………3分
(2)根据样本频率分布估计总体分布,样本中一、二、三等品的频率分别为
11
2< br>,
3

1
6

故从所有产品中随机抽一件,是一、二 、三等品的概率分别为
1
2

1
3

1
6
.………4分
随机变量
X
的取值为:240,300,360,420,4 80.…………………………………5分
P(X?240)?
1
6
?
1
6
?
1
36

P(X?300)?C
1
111
2
?
3
?
6
?
9

P (X?360)?C
1
11115
1
111
2
?
2
?
6
?
3
?
3
?
18

P(X?420)?C
2
?
2
?
3
?
3

P(X?480)?
111
2
?
2
?
4
, …………………………………………………………10分
所以随机变量
X
的分布列为:
X

240 300 360 420 480
P

1
15
36

9

1
18

1
34

……………………………………………………………11分
所以
E(X)?240?
1
36
?300?
1
9
?360?
5
18
?420?
1
3
?480?
1
4
?400
.…………12分
20.【解析】 (1)设椭圆的半焦距为
c
,由椭圆的离心率为
2
2
知,
b?c

a?2b

C
的方程可设为
x
2
y
2
∴椭圆
2b
2
?
b
2
?1
.易求得
A
?
2,0
?
,∴点
?
2,2
?
在椭圆上,

2
2b
?
2
?
?
a
2
?6
x
2
y
2
2
b
2
?1
,解得
?
?
?
b
2
,∴椭圆
C
的方程为
?3
6
?
3
?1

(2)当过点
P
且与圆
O
相切的切线斜率不存在 时,不妨设切线方程为
x?2

由(1)知,
M
?
2,2
?

N
?
2,?2
?

u
OM< br>uuur
?
?
2,2
?

u
ON
u ur
?
?
2,?2
?

u
OM
uuur< br>?
u
ON
uur
?0
,∴
OM?ON
当过点
P
且与圆
O
相切的切线斜率存在时,
可设切线的方程为
y?kx?m

M
?
x
1
,y
1
?

N
?
x
2
,y
2
?

m
?2
,即
k
2
?1
m
2
?2
?
k
2
?1
?

联立直线和椭圆的方程得< br>x
2
?2
?
kx?m
?
2
?6



?
?
?
?
?
?
4km
?
2
?4
?
1?2k
2
??
2m
2
?6
?
?0

?
1?2k
2
?
x
2
?4kmx?2m
2
?6?0
,得
?
?
x??
4km
?
1
?x
2
2k
2
?1

?
2m
2
?
?
xx
?6
12
?
2k
2
?1

u
OM
uuur< br>?
?
x
uuur
1
,y
1
?
ON?
?
x
2
,y
2
?


u
OM
uuur
?
u
ON
uur
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
2
?
?
kx
1
?m
??
kx
2
?m
?

?
?
1?k
2
?
x
1< br>x
2
?km
?
x
1
?x
2
?
?m
2
?
?
1?k
2
?
?
2m
2
?6?4km
2k
2
?1
?km?
2k
2
?1
?m
2

1?k
2
??
2m
2?
2
?m
2
?
2k
2
?1
?
m
2
?
?
?6?4k
2
m
?6k
2
?6
??
2k
2
?1
?
3
2k
2
?1
?
32k
2
?2?6k
2
?6
2k
2
?1
?0


OM?ON

综上所述,圆< br>O
上任意一点
P
处的切线交椭圆
C
于点
M

N
,都有
OM?ON


Rt△OMN
中,由< br>△OMP

△NOP
相似得,
OP
2
?PM?PN? 2
为定值.
21.【解析】(1),函数的定义域为,
若,即,则,此时的单调减区间为;
若,即,则的两根为,
此时的单调减区间为,,单调减区间为.
3.
a?0,
此时的单调增区间为
?
0,2?4?a
?
, 单调减区间为
?
2?4?a,??
?

(3)由(2)知,当时,函数有两个极值点,且.
因为

要证,只需证.
构造函数,则,
在上单调递增,又,且在定义域上不间断,
由零点存在定理,可知在上唯一实根, 且.
则在上递减, 上递增,所以的最小值为.
因为,
当时, ,则,所以恒成立.
所以,所以,得证.
22.解答: (Ⅰ)设
P
的极坐标为
(
?
,
?
)(
?< br>?0)

M
的极坐标为
(
?
1
,
?
)(
?
1
?0)

由题设知
OP?
?< br>,OM?
?
1
?4cos
?
.所以
4
?cos
?
?20
, ………………2分

C
2
的极坐标方程
?
cos
?
?5(
?
?0)
,所以
C
2
的直角坐标方程为
x?5
. ………………5分
?
(Ⅱ)交点
D(5,0)
,所以直线
l
的参数方程为
?
?
x?5?
3
?
2
t,

t
为参数),
?
?
?
y?
1
2
t
曲线
C
的直角坐标方程
x
2
?y
2
1
?4x?0(x?0)

代入得:
t
2
?33t?5?0

??7?0
, …………8分
设方程两根为
t
1
,t
2
,则
t< br>1
,t
2
分别是
A,B
对应的参数,
所以
|DA|?|DB|?|t
1
t
2
|?5
. ………10分
23.【解析】(1)当
a?2
时,原不等式可化为
3x?1 ?x?2?3

①当
x?
1
3
时,原不等式可化为
?3x?1?2?x?3
,解得
x?0
,所以
x?0

②当
1
3
?x?2
时,原不等式可化为
3x?1?2?x?3
,解得
x?1
,所以
1?x?2

③当
x?2
时,原不等式可化为
3x?1?2?x?3
,解得
x?
3
2
,所以
x?2

综上所述,当
a?2
时,不等式的解集为
?
x|x?0或x?1
?
.·····5分
(2)不等式
x?1
3
?f
?
x
?
?x
可化为
3x?1 ?x?a?3x

依题意不等式
3x?1?x?a?3x

??
11
?
?
3
,
2
?
?
恒成 立,
所以
3x?1?x?a?3x
,即
x?a?1
,即
a ?1?x?a?1

?
1
所以
?
?
a?1?
?
3

.解得
?
1
?a?
4

?
a?1?
1
23
?
?
2


故所求实数
a
的取值范围是
?
?



?
14
?
,
?
.·····10分
23
??

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