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二次函数的最值和相关实际应用精讲(全国真题).doc

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-31 20:44
tags:qef

sensitive什么意思-梦乡的意思

2020年10月31日发(作者:曹国惠)














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二次函数的最值及相关实际应用精讲(
例 1

入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克

2015
年真题)
20 元,市场调查发现,该产







( 2015?营口)为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收
品每天的销售量 y(千克)与销售价 x(元 千克)有如下关系: y=-2x+80 .设这种产品每天的销售利润为元.
( 1)求 w与 x 之间的函数关系式.
( 2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克
销售价应定为每千克多少元?

w


28
元,该农户想要每天获得






150 元的销售利润,
思路分析: ( 1)根据销售额 =销售量×销售价单 x,列出函数关系式;
(2)用配方法将( 2)的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值;
(3)把 y=150 代入( 2)的函数关系式中,解一元二次方程求
解: ( 1)由题意得出:
w=( x-20 ) ?y
=( x-20 )( -2x+80 )
=-2x
2
+120x-1600 ,
故 w 与 x 的函数关系式为:
∵-2 < 0,





2
x,根据 x 的取值范围求 x 的值.




















w=-2x +120x-1600 ;
















(2) w=-2x
2
+120x-1600=-2 ( x-30 )
2
+200,
∴当 x=30 时, w 有最大值. w 最大值为 200.















答:该产品销售价定为每千克
30 元时,每天销售利润最大,最大销售利润
( 3)当 w=150时,可得方程 -2 ( x-30 )
2
+200=150.
解得

x
^
=25, x
2
=35.
∵ 35> 28,
∴x
2
=35 不符合题意,应舍去.
答:该农户想要每天获得

对应训练
150 元的销售利润,销售价应定为每千克

25 元.
200 元.

点评: 本题考查了二次函数的运用.关键是根据题意列出函数关系式,运用二次函数的性质解决问题.
3.( 2015?武汉)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不
同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表):

温度
x ℃

-4

-2

0 2 4
4.5
19.75
植物每天高度增长量
ymm 41

49 49

41

25

由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量

和二次函数中的一种.
y 是温度 x 的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数




( 1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;
( 2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
(3)如果实验室温度保持不变,在

10 天内要使该植物高度增长量的总和超过

250mm,那么实验室的温度

x
应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.

3.解:( 1)选择二次函数,设
y=ax
2
+bx+c(a≠0),
∵x=-2 时, y=49 ,
x=0 时, y=49,
x=2 时, y=41,




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4a 2b c

c
49


a
解得
b
1
2

49
49

4a 2b c 41

c
所以, y 关于 x 的函数关系式为





y=-x
2
-2x+49 ;

不选另外两个函数的理由:
∴y 不是 x 的反比例函数,

∵点( 0, 49)不可能在反比例函数图象上,
∵点( -4 ,41)( -2 , 49)( 2, 41)不在同一直线上,
∴y 不是 x 的一次函数;
( 2)由( 1)得, y=-x
2
-2x+49=- ( x+1)
2
+50,
∵a=-1 < 0,
∴当 x=-1 时, y 有最大值为 50,
即当温度为 -1 ℃时,这种作物每天高度增长量最大;
(3)∵ 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过

∴平均每天该植物高度增长量超过

当 y=25 时, -x
2
-2x+49=25 ,
整理得, x +2x-24=0 ,
解得 x
1
=-6 ,x
2
=4,
∴在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过





2












250mm,
25mm,






























250mm,实验室的温度应保持在
-6 < x< 4℃.
考点四:二次函数综合性题目
例 2

( 2015?自贡)如图,已知抛物线
y=ax
2
+bx-2 (a≠0)与
x 轴交于
A、B 两点,与
y 轴交于
C 点,直线
BD交抛物线于点

D,并且 D(2, 3), tan ∠ DBA= .

1
2
( 1)求抛物线的解析式;
( 2)已知点 M为抛物线上一动点, 且在第三象限, 顺次连接点 B、
M、 C、 A,求四边形

BMCA面积的最大值;






(3)在( 2)中四边形 BMCA面积最大的条件下,过点

M作直线平
行于 y 轴,在这条直线上是否存在一个以

且与直线 AC相切的圆?若存在,求出圆心

请说明理由.
Q点为圆心, OQ为半径
Q的坐标;若不存在,



思路分析: ( 1)如答图 1 所示,利用已知条件求出点









B 的坐标,
然后用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)如答图 1 所示,首先求出四边形

利用二次函数的性质求出其最大值;
(3)本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解.如答图

所示,首先求出直线

关系列出方程,求出点

AC与直线 x=2 的交点 F 的坐标,从而确定了
Q的坐标.
△AGF的各个边长;然后证明

2
BMCA面积的表达式,然后
Rt
Rt△ AGF∽Rt △ QEF,利用相似线段比例
解: ( 1)如答图 1 所示,过点

D 作 DE⊥ x 轴于点 E,则 DE=3, OE=2.



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∵ tan ∠ DBA=






DE1
= ,
BE 2
∴ BE=6,
∴OB=BE-OE=4,
∴B( -4 , 0).
∵点 B( -4 , 0)、 D( 2, 3)在抛物线

y=ax
2
+bx-2 (a≠0)上,









16a 4b 2 0

4a 2b 2 3



a

1
2

解得





∴抛物线的解析式为:
y= x+ x-2 .

1

2
3
3
b
2

2

2

(2)抛物线的解析式为: x-2 ,
y=
1
x
2
+
3
2 2

令 x=0,得 y=-2 ,∴ C( 0, -2 ),
令 y=0,得 x=-4 或 1,∴ A(1, 0).



设点 M坐标为( m, n)( m<0, n< 0),
如答图 1 所示,过点

M作 MF⊥ x 轴于点 F,则 MF=-n, OF=-m, BF=4+m.
S
四边形

BMCA
=S
△BMF
+S
梯形

MFOC
+S


AOC
= BF?MF+ (MF+OC)?OF+ OA?OC
1
2

11
= ( 4+m)×( -n ) + ( -n+2 )×( -m)+ ×1×2

1
2

2

1
2
1
2

2
=-2n-m+1
∵点 M( m, n)在抛物线

y= x+ x-2 上,
1
2
3









∴ n= m+ m-2,代入上式得:
1
2

2
3
2 2
2
S
四边形

BMCA
=-m
2
-4m+5=- ( m+2)
2
+9,
∴当 m=-2 时,四边形 BMCA面积有最大值,最大值为

9.
(3)假设存在这样的⊙

Q.
如答图 2 所示,设直线 x=-2 与 x 轴交于点 G,与直线 AC交于点 F.
设直线 AC的解析式为

y=kx+b ,将 A( 1,0)、C( 0,-2 )代入得:
k b

0
b






2
解得: k=2, b=-2 ,
∴直线 AC解析式为: y=2x-2 ,
令 x=-2 ,得 y=-6 ,∴ F( -2 ,-6 ), GF=6.
在 Rt △ AGF中,由勾股定理得: AF=

AG
2
GF
2

=
3
2
6
2
3 5



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设 Q( -2 ,n),则在 Rt △ AGF中,由勾股定理得: OQ=
OG
2
设⊙ Q与直线 AC相切于点 E,则 QE=OQ=
n
2




QF
2
=
n
2

4

4

在 Rt △ AGF与 Rt △ QEF中,
∵∠ AGF=∠QEF=90°,∠ AFG=∠ QFE,
∴Rt △ AGF∽ Rt △ QEF,

AF AG
,即
QE QF
3
5
=
3

n
2
4 6 n






化简得: n
2
-3n-4=0 ,解得 n=4 或 n=-1 .
∴存在一个以 Q点为圆心, OQ为半径且与直线 AC相切的圆,点 Q的坐标为( -2 , 4)或( -2 , -1 ).
点评: 本题是中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相
似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点,涉及考点众多,有一
定的难度.第( 2)问面积最大值的问题,利用二次函数的最值解决;第(
存在,然后利用已知条件,求出符合条件的点
对应训练

2
3)问为存在型问题,首先假设



Q坐标.



4.( 2015?张家界)如图,抛物线
x 轴正半轴上,且 OD=OC.

( 1)求直线 CD的解析式;
( 2)求抛物线的解析式;
y=ax +bx+c(a≠0)的图象过点 C( 0, 1),顶点为 Q( 2,3),点 D在




(3)将直线 CD绕点 C 逆时针方向旋转 45°所得直线与抛物线相交于另一点

E,求证:△ CEQ∽△ CDO;
(4)在( 3)的条件下,若点 P 是线段 QE上的动点,点 F 是线段 OD上的动点,问:在 P 点和 F 点移动过程中,
△ PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.























4.解:( 1)∵ C( 0,1),OD=OC,∴ D点坐标为 ( 1,
设直线 CD的解析式为 y=kx+b (k≠0),

0).

将 C( 0, 1), D( 1, 0)代入得:






b

1

k b

0
解得: b=1, k=-1 ,
∴直线 CD的解析式为: y=-x+1 .
(2)设抛物线的解析式为

y=a( x-2 )
2
+3,
2
将 C( 0, 1)代入得: 1=a×( -2 ) +3,解得 a=- .
1
2



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∴ y=- ( x-2 ) +3=- x
2
+2x+1.
2










1
2
1
2
(3)证明:由题意可知,∠

ECD=45°,
∵OC=OD,且 OC⊥ OD,∴△ OCD为等腰直角三角形,∠ ODC=45°,
∴∠ ECD=∠ODC,∴ CE∥ x 轴,则点
∴点 E 的坐标为( 4, 1).
如答图①所示,设对称轴(直线

x=2)与 CE交于点 F,则 F( 2, 1),
∴∠ QEC=∠QCE=45°.
C、E 关于对称轴(直线 x=2)对称,
∴ME=CM=QM=2,∴△ QME与△ QMC均为等腰直角三角形,

又∵△ OCD为等腰直角三角形,∴∠

ODC=∠OCD=45°,
∴∠ QEC=∠QCE=∠ ODC=∠OCD=45°,
∴△ CEQ∽△ CDO.
(4)存在.
如答图②所示,作点 C 关于直线 QE的对称点 C′,作点 C关于 x 轴的对称点





C″,连接 C′C″,交 OD于点 F,交 QE于点 P,则△ PCF即为符合题意的周
长最小的三角形,由轴对称的性质可知,△ PCF的周长等于线段 C′C″的长度.
(证明如下: 不妨在线段 OD上取异于点 F 的任一点

F′, 在线段 QE上取异于
点 P 的任一点 P′,连接 F′C″, F′P′, P′C′.
由轴对称的性质可知,△ P′CF′的周长 =F′C″+F′P′+P′C′;
而 F′C″+F′P′+P′C′是点 C′, C″之间的折线段,

由两点之间线段最短可知: F′C″+F′P′+P′C′>




C′C″,即△ P′CF′的周长大于△ PCE的周长.)
如答图③所示,连接 C′E,
QE对称,△ QCE为等腰直角三角
∵C,C′关于直线 形,
∴△ QC′E 为等腰直角三角形,

∴△ CEC′为等腰直角三角形,

∴点 C′的坐标为( 4, 5);


























∵C,C″关于 x 轴对称,∴点 C″的坐标为( -1 ,0).
过点 C′作 C′N⊥ y 轴于点 N,则 NC′=4,NC″=4+1+1=6,
在 Rt △C′NC″中,由勾股定理得: C′C″=
NC
2
NC
2
4
2
6
2
2 13

2
13


综上所述,在 P 点和 F 点移动过程中,△ PCF的周长存在最小值,最小值为
【聚焦中考】

1.( 2015 年中考真题)如图, Rt△ OAB的顶点 A( -2 , 4)在抛物线 y=ax
2
上,将 Rt△ OAB绕点 O 顺时针旋转 90°,得到△ OCD,边 CD与该抛物线交

于点 P,则点 P 的坐标为(
A.(
2

2





C.(
2
,2)

B.( 2, 2)
D.(2,
2


2.( 2015 年中考真题)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部
分是长方体形. 其中,抽屉底面周长为 180cm,高为 20cm.请通过计算说明,
当底面的宽 x 为何值时, 抽屉的体积 y 最大?最大为多少? (材质及其厚度等暂
忽略不计).



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2.解:已知抽屉底面宽为

x cm,则底面长为

180÷2-x= ( 90-x ) cm.
由题意得: y=x ( 90-x )× 20
=-20 ( x
2
-90x )
=-20 ( x-45 )
2
+40500
当 x=45 时, y 有最大值,最大值为
答:当抽屉底面宽为

40500.
40500cm
3

45cm 时,抽屉的体积最大,最大体积为

3.( 2015 年中考真题)一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车

(元)与每月租出的车辆数(

x

y

3O00

100

y)有如下关系:
3500

90

4000
100 辆.公司在经营中发现每辆车的月租金

x
3200

96

80
y(辆) (1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数

与每辆车的月租金

的代数式填表:
x(元)之间的关系式.
150 元,未租出的车每辆每月需要维护费

(2)已知租出的车每辆每月需要维护费

50 元.用含 x(x≥3000)

租出的车辆数


未租出的车辆数
所有未租出的车辆每月的维护费 租出每辆车的月收益





( 3)若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收 益?请求出公司
的最大月收益是多少元.
3.解:( 1)由表格数据可知
设其解析式为

y=kx+b .


y 与 x 是一次函数关系,

3000k b 100

由题:


3200k b 96


,解之得:
1

50
b 160
k





∴y 与 x 间的函数关系是








y=- x+160.

1



50



(2)如下表:
租出的车辆数


-
1
x+160

未租出的车辆数
1
x-60
50
x-150
50
所有未租出的车辆每月的维护费



租出的车每辆的月收益

x-3000
(3)设租赁公司获得的月收益为
W=( -
W元,依题意可得:




1
x+160)( x-150 ) - ( x-3000 )



=(-
1
50



x
2
+163x-24000 ) - ( x-3000 )

=- x
2
+162x-21000
1
1
50

50
=- ( x-4050 )
2
+30705
50



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当 x=4050 时, Wmax=307050,
每辆车的月租金为

即:当
故答案


为: - x+160, x-60 .
11
4050 元时,公司获得最大月收益 307050 元.


50







50
4 .( 2015 年中考真题)如图,在平面直角坐标系中,二次函数
y=x
2
+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点, A 点在原点的左侧, B 点的坐标为( 3,0),与 y 轴交于 C(0,-3 )
点,点 P 是直线 BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接 PO、 PC,并把△ POC沿 CO翻折,得到四边形 POP′C,那么是否存在点 P,使四边形

POP′C为菱
形?若存在,请求出此时点

P 的坐标;若不存在,请说明理由.
ABPC的最大面积.
(3)当点 P 运动到什么位置时,

四边形 ABPC的面积最大?求出此时

P 点的坐标和四边形

4.解:( 1)将 B、 C两点的坐标代入得

9 3b c 0
c -3
,解得:
b
c
-2
-3

所以二次函数的表达式为:





y=x
2
-2x-3 。
(2)存在点 P,使四边形

POP′C为菱形;
2
如图,设

P 点坐标为( x, x -2x-3 ),PP′交 CO于 E


连接 PP′,则 PE⊥ CO于 E,
∴OE=EC= , ∴ y=
-


33
2

∴ x-2x-3=
-

2
3
2 2

解得 x =
2 10

, x =
2

10

(不合题意,舍去)
1 2

2

2

2 10

-
3
)。
2 2
∴P 点的坐标为(



( 3)过点 P 作 y 轴的平行线与 BC交于点 Q,与 OB交于点 F,设 P( x, x
2
-2x-3 ),易
得,直线 BC的解析式为 y=x-3
则 Q点的坐标为(

x, x-3 );
S
四边形

ABPC
=S
△ABC
+S


BPQ
+S


CPQ
= AB?OC+ QP?BF+ QP?OF

1
1
11








2
2

=
×4×3+

1
2
(-x

2
2

+3x) ×3



=
-

(x-

)

+


3

3
2
2
75


2

x=

3
2

8


时,四边形 ABPC的面积最大
2

此时 P 点的坐标为
(

,-

3

15
4
)
,四边形

ABPC的面积的最大值为
75

2 8



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5.( 2015 年中考真题)为了改善市民的生活环境,我市在某河滨空
地处修建一个如图所示的休闲文化广场,在 Rt △ ABC内修建矩形水池
DEFG,使定点 D, E 在斜边 AB上, F, G分别在直角边
BC, AC上;又分别以

AB, BC, AC为直径作半圆,它们交出两弯新月
(图中阴影部分),两弯新月部分栽植花草;其余空地铺设瓷砖,其



中 AB=24

3
米,∠

BAC=60°,设

EF=x 米, DE=y米.




( 1)求 y 与 x 之间的函数解析式;
( 2)当 x 为何值时,矩形 DEFG的面积最大?最大面积是多少?
(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当

x 为何值时,矩形

DEFG的面积及等于两弯新月面积的
1


3


5.解:( 1)在 Rt△ ABC中,∵∠ ACB=90°, AB=24

3
米,∠

BAC=60°,
∴ AC= AB=12
3
米, BC=
3
AC=36 米,∠ ABC=30°,
1

2
∴AD=

DG

=

3
3

x,BE=

=

3

x,
tan 30
EF


tan 60

∵ AD+DE+BE=AB,

3
3
x+y+
3
x=24

3









∴y=24
3
-

3
x-
3
x=24
3
-
4 3
x,
3

3

y=24
3
-




即 y 与 x 之间的函数解析式为

4 3

x(

0<

x<

18);

3
(2)∵ y=24
3
-

4 3
3

x,∴矩形 DEFG的面积 =xy=x(24
3
-


4 3

x)
3


=-

4 3
3
x+24
3
x=-

2
4 3
3
( x-9 )
2
+108
3


∴当 x=9 米时,矩形 DEFG的面积最大,最大面积是 108





3
平方米;
(3)记 AC、 BC、 AB为直径的半圆面积分别为

S
1
、 S
2
、 S
3
,两弯新月面积为

S,
则 S =
1
1
8


22
2
π AC
, S =

2


1
πBC
2
, S =

3

1
π AB
2

2
∵AC+BC=AB,




8

8

∴S
1
+S
2
-S=S
3
-S
△ABC



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∴S=S


ABC

∴两弯新月的面积 S= AC?BC= ×12
3
×36=216
3
(平方米).
1

1



2

2

如果矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的

1

3






那么 -
4 3
3
( x-9 ) +108
3
= ×216
3

2
1
3






化简整理,得( x-9 )
2
=27,

解得 x=9±3
3
,符合题意.

所以当 x 为( 9±3
3
)米时,矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的

1

3
D.
6.( 2015 年中考真题) 如图,在平面直角坐标系中, 四边形 OABC是边长为 2 的正方形, 二次函数 y=ax
2
+bx+c
的图象经过点

A,B,与 x 轴分别交于点 E,F,且点 E 的坐标为( - ,0),以 0C 为直径作半圆,圆心为


2
3
( 1)求二次函数的解析式;
( 2)求证:直线 BE是⊙ D 的切线;
(3)若直线 BE 与抛物线的对称轴交点为

P, M是线段 CB上的一个动点(点 M与点 B, C 不重合),过点 M



作 MN∥ BE 交 x 轴与点 N,连结 PM, PN,设 CM的长为 t ,△ PMN的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写
出自变量 t 的取值范围. S 是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
























6.解:( 1)由题意,得
A(0, 2), B(2, 2),E 的坐标为( - , 0),










2





c

2
2

4a 2



a

-

8


9
3
,解得




4
a - b
2
b


c 0

c

9

4

2


2
9 3


∴该二次函数的解析式为:

y=-

9
8

x + x+2;
9
4



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( 2)如图 1,过点 D 作 DG⊥BE于点
G.由题意,得
25

2

ED= +1= , EC=2+ =
8
, BC=2,
3 3

3 3
∴BE=
64 4
=
10




9

3


∵∠ BEC=∠DEG,∠ EGD=∠ECB=90°,

∴△ EGD∽△ ECB,


DG DE

BC BE

∴ DG=1.

∵⊙ D 的半径是 1,且 DG⊥ BE,
∴BE 是⊙ D的切线;



(3)如图
2
2,由题意,得
E( - , 0),B( 2, 2).

3
设直线 BE为 y=kx+h (k≠0).则

2k h 2

3


k

2
4

h 0
, 解得,
1


3

h

2


∴直线 BE为: y=
3
x+
1



4

2

∵直线 BE与抛物线的对称轴交点为 ,对称轴直线为 x=1,
∴点 P 的纵坐标 y=
5
,即 P( 1,
5
P
).


4

4


∵MN∥ BE,

∴∠ MNC=∠BEC.

∵∠ C=∠C=90°,
∴△ MNC∽△ BEC,



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CN MC

EC BC
CN t
8
3
2
5







,则 CN=





4
3




t ,





























∴DN=


t-1 ,

∴S

4
1
=
△ PND
DN?PD=
1 4



t-1

)?


2

t .
5 5
4 6

= t-
5




S


△ MNC
=
2
1
CN?CM=
2 3

1
×
4
t?t=
2
8



2
S
梯形

PDCM
= ( PD+CM)?CD= ?( +t )?1= + t .
1
2

3

3

2

1

5

51
2


∵ S=S


PND
+S
梯形

PDCM
-S
△MNC
=-
t
+ t (0< t < 2).

2
4

2
4
8

2

∵抛物线 S=-

2
3
3

3
t
2
+
4
t ( 0< t < 2)的开口方向向下,
3

∴S 存在最大值.当


t=1 时, S
最大
=


2
3

7.( 2015 年中考真题) 如图,抛物线 y= x
2
+bx+c 与 y 轴交于点

1
C(0,-4 ),
2
与 x 轴交于点 A, B,且 B 点的坐标为( 2, 0)

(1)求该抛物线的解析式.
( 2)若点 P 是 AB上的一动点,过点 P 作 PE∥AC,交 BC于 E,连接 CP,求
△PCE面积的最大值.
( 3)若点 D为 OA的中点,点 M是线段 AC上一点,且△ OMD为等腰三角形,
求 M点的坐标.
1)把点 C( 0, -4 ), B( 2, 0)分别代入 y= x
2
+bx+c 中,
7.解:(




1

2
b 1

c -4

1
2

2

2b c 0

, 解得

c -4
2

∴该抛物线的解析式为

y= x
2
+x-4 .
1

( 2)令 y=0,即 x
2
+x-4=0 ,解得 x
1
=-4 , x
2
=2,
1
2
2

∴A( -4 , 0), S


ABC
= AB?OC=12.



1
2
设 P 点坐标为( x, 0),则 PB=2-x.
∵PE∥ AC,
∴∠ BPE=∠BAC,∠ BEP=∠
BCA, ∴△ PBE∽△ ABC,



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S
V PBE
(

PB
1


)
2

,即

S
VPBE
(
2 x
)

2


6


S

V ABC
AB
△PBE
=
12
2

化简得: S
( 2-x ) .








△ PCE △PCB
S=S-S

3

1

△ PBE

=


PB?OC-S
△PBE

1
=

×( 2-x )×4-

1


2

( 2-x )

=
-
x- x+
1
2
2

8
3
2

2 3

=
-
( x+1)
2
+3




1
3

3
3

∴当 x=-1 时, S


PCE
的最大值为 3.
( 3)△ OMD为等腰三角形,可能有三种情形:
( I )当 DM=DO时,如答图①所示.
DO=DM=DA=2,
∴∠ OAC=∠AMD=45°,
∴∠ ADM=90°,
∴M点的坐标为(

-2 , -2 );
(II )当 MD=MO时,如答图②所示.
过点 M作 MN⊥ OD于点 N,则点 N 为 OD的中点,
∴DN=ON=1, AN=AD+DN=3,
又△ AMN为等腰直角三角形,∴

MN=AN=3,
∴M点的坐标为(

-1 , -3 );
( III )当 OD=OM时, ∵△
OAC为等腰直角三角形,

























∴点
OAC的距离
到 为





2
2






×4=
2
2
,即
AC上的点与













O之间的最小距离

2

2





2
2
> 2,∴ OD=OM的情况不存在.


综上所述,点
M的坐标为



-2 ,-2 )或( -1 , -3 ).


8.( 2015 年中考真题)如图,在平面直角坐标系中,直线
y=
1
x+
3
与直线
2



y=x
交于点
A,点
B 在直线
y=



3

1

2
x+ 上,∠ BOA=90°.抛物线 y=ax +bx+c 过点 A, O, B,顶点为点 E.

2


2
2
( 1)求点 A, B 的坐标;
( 2)求抛物线的函数表达式及顶点
E 的坐标;

( 3)设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C,直线 BC交抛物线于点 D,过点 E 作 FE∥ x 轴,交直线 AB于点 F,
连接 OD, CF,CF交 x 轴于点 M.试判断 OD与 CF 是否平行,并说明理由.



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8.解:( 1)由直线 y=
1
x+
与直线 y=x 交于点 A,得



3
2

2


y x


x 3

y

1
2
x
3
,解得,

y 3







2

∴点 A 的坐标是( 3, 3).

∵∠ BOA=90°,
∴OB⊥ OA,




∴直线 OB的解析式为 y=-x .
又∵点 B 在直线 y=




1
x+
上,

2

2



3
y
y







x
1
2
x
3

x
y

1
1
解得,



2

∴点 B 的坐标是( -1 , 1).
综上所述,点

A、 B 的坐标分别为(

3,3),( -1 , 1).
( 2)由( 1)知,点 A、 B 的坐标分别为( 3, 3),( -1 ,
1).∵抛物线 y=ax
2
+bx+c 过点 A, O,B,


1
a
2
1

2
0

9a 3b c 3

, 解得
b

c
0

a - b c



1

c
∴该抛物线的解析式为
y= x-

1
2
1
x,或 y=
1


( x-
1
2


)-
2
1
8




∴顶点 E 的坐标是(


1
, -
1
8
2 2
);

2


2
(3) OD与 CF 平行.理由如下:



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由( 2)知,抛物线的对称轴是 x=
1


2
∵直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C,
∴C(
1

1
).

2 2

设直线 BC的表达式为

y=kx+b (k≠0),把 B( -1 , 1), C(
1

1
)代入,得
2 2
- k b 12
1


k
-

1
k b
1
解得

3


2

2 2

b

3


∴直线 BC的解析式为

y=-
1
x+
2

3 3
∵直线 BC与抛物线交于点

B、 D,
∴ -
1
x+
2
=
1
x
2
-
1
x,
3 3
4
2

2
解得, x
1
= , x
2
=-1 .
把 x
1
=
4
3
代入 y=-
1
x+
2
,得 y
2
1
= ,
3 3 3

9

∴点 D 的坐标是(
4

2
).


3 9

如图,作 DN⊥ x 轴于点 N.

则 tan ∠ DON=
DN

1




ON

6

∵FE∥ x 轴,点 E 的坐标为(
1

-
1
).

∴点 F的纵坐标是 -
1

2 8


把 y=-
1
代入 y=
1
8
x+
3
,得 x=-
13

8 2 2 4
∴点 F 的坐标是( -
13

-
1
),

113

4 8
∴ EF= + =
15

∵ CE=
1
2
+
1
4

=
5
8

2 8

8
∴tan ∠ CFE=
CE
1

EF 6

∴∠ CFE=∠DON.
又∵ FE∥ x 轴,
∴∠ CMN=∠CFE,











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∴∠ CMN=∠DON,
∴OD∥ CF,即 OD与 CF 平行.
9.( 2015 年中考真题)如图,抛物线
y=ax
2
+bx+c 关于直线
x=1
对称,与
坐标轴交与 A, B,C 三点,且 AB=4,点 D(2,

是一次函数 y=kx-2 (k≠0)的图象,点
( 1)求抛物线的解析式;
3
2
)在抛物线上,直线

l

O是坐标原点.


( 2)若直线 l 平分四边形 OBDC的面积,求 k 的值;
(3)把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线与直线 l
交于 M,N 两点,问在 y 轴正半轴上是否存在一定点 P,使得不论取何值,直
线 PM与 PN总是关于 y 轴对称?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明
理由.



k





9.解:( 1)因为抛物线关于直线 x=1 对称, AB=4,所以 A( -1 , 0), B( 3,0),
设抛物线的解析式为 y=a( x+1)( x-3 ),
∵点 D( 2, )在抛物线上,

3














∴ =a×3×( -1 ),解得 a=
-



∴抛物线解析式为: y=
-



3
2

1
2
1
2

1
2
(x+1
)( x-3 ) =
-
x +x+
1

2
3
2




2

3


(2)抛物线解析式为:


2
y=- x +x+ ,令 x=0,得 y= ,∴ C( 0, ),
3


3

∵D( 2, ),∴ CD∥ OB,直线 CD解析式为
y=

3
2 2 2 2
2


直线 l 解析式为 y=kx-2
,令 y=0,得 x= ;令 y= ,得 x=

2
3


2



3
k 2






7

2k
如答图
1 所示,设直线 l 分别与 OB、 CD交于点 E、 F,则
E( ,0),F( , ),
2
2
73






k
k

OE= , BE=3- , CF=
2
2k 2
7

,DF=2- .
7



k 2k

2k
∵直线 l 平分四边形

OBDC的面积,
∴S
梯形

OEFC
=S
梯形

FDBE

∴ ( OE+CF)?OC= (FD+BE)?OC,
11
2

2
∴OE+CF=FD+BE,即: +
27
k 2k
=(3- )+(2-
27
),
解方程得: k=
11
5

,经检验 k=
11
k 2k
是原方程的解且符合题意,
5



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∴ k=
11
5

P,其坐标为( 0,t ).
3
(3)假设存在符合题意的点
抛物线解析式为:
y=
-

1
2










x +x+ =-
1
2
( x-1 ) +2,
2 2 2

-
1
2
把抛物线向左平移

1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线解析式为:
y=
2
x .


依题意画出图形,如答图
2 所示,过点 M作 MD⊥y 轴于点 D, NE⊥y 轴于点 E,

设 M( x
m
, y
m
),N( x
n
, y
en
),则 MD=-x
m
, PD=t-y
m
; NE=x
n
, PE=t-y
en

∵直线 PM与 PN关于 y 轴对称,∴∠ MPD=∠ NPE,
又∠ MDP=∠NEP=90°,
∴Rt △ PMD∽ Rt △ PNE,

MD PD
,即
x
m
t y
m



NE PE
x
n
t y
n

∵点 M、 N在直线 y=kx-2 上,∴ y
m
=kx
m
-2 , y
en
=kx
n
-2 ,
代入①式化简得: ( t+2 )( x +x )=2kx x


把 y=kx-2 代入 y=
-

1

mn m n

x
2
.,整理得: x
2
+2kx-4=0 ,
2
∴x
m
+x
n
=-2k , x
m
x
n
=-4 ,代入②式解得: t=2 ,符合条
件.所以在 y 轴正半轴上存在一个定点 P( 0, 2),使得不



k 取何值,直线



PM



PN总是关



y 轴对称.




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