如何提高自己的情商-七百
“糖水浓度与数学发现”的系列活动课
文/惠州人
教师:同学们,今天我们来上一 节甜甜的活动课.请看,这里摆着一缸清水、一瓶红糖,还有大大
小小的一批玻璃杯.当我将红糖放入水 中时,就得出糖水.糖水有浓度,计算公式为
浓度=溶质/溶液.
下面,我们以糖水浓度的 生活常识为背景,设计了5个活动,组成一个由浅入深、由表及里、由现
象到本质、由猜想到论证的系列 .希望大家在理解每个设计的思维情境的基础上,进行大胆的数学探索,
并从整体上去领悟和积累数学活 动的经验.
.活动1—等比定理的发现
(教师把糖放进一个大玻璃杯内,添上水得出一大杯 糖水,然后随意分倒在3个小杯中,记每一杯
糖水的浓度为a
1
/b
1
、a
2
/b
2
、a
1
b
3
,这里ai
、b
i
(i=1,2,3)为正数.)
(点评:为方便学生思考,先 做了些数据a
i
/b
i
的准备,以降低难度.)
教师:我这3小杯糖水的浓度有什么关系?
学生(众):相等.
教师:对,应有
a
1
/b
1
=a
2
/b
2
=a< br>3
/b
3
. ①
现在,我把这3小杯糖水全都倒进一个空的 大玻璃杯中,那么,混合后的糖水浓度与原先3小杯糖
水的浓度有什么关系?
学生(众):相等.
教师:对,是相等.我们把大杯倒成小杯又合成大杯,好像是重复或循环 ,其实这里有数学道理.大
家能根据这一显而易见的生活常识,提炼出一个数学命题吗?
(点评:思维情境的创设已经完成,学生思维的闸门也已打开.)
学生1:混合后的糖水浓度为
(a
1
+a
2
+a
3
)/(b
1
+b
2
+b
3
). ②
它与原先的3小杯糖水浓度相等,故有等式
a
1
/b
1
= a
2
/b
2
=a
3
/b
3
=(a
1
+a
2
+a
3
)/(b
1
+b
2
+b
3
). ③
这就是等比定理:若①则③.
教师:很好,从 “糖水情境”到“等比定理”,这中间有一个从具体事实到形式化抽象的数学过程,
前者是“具体的模型 ”,后者是“抽象的模式”,之间有质的区别.把糖放进水里,把糖水倒来倒去,
这是数学吗?不是!但 舍去了糖、水、浓度等的具体性质,抽象出本质属性的数量关系——等比定理,这
就成为数学了.现在我 问,作为“糖水情境”中的a
i
、b
i
与作为“等比定理”的a
i< br>、b
i
有区别吗?
(点评:完成从模型到模式的过渡后,立即对模式作深化认识.)
学生2:“糖水情境”中的 a
i
、b
i
只能为正数,并且b
i
>a
i
>0.而作为“等比定理”的a
i
、
b
i
不需要这么多的限制,有
①
就够了.
教师:是的,“等比定理”中的a
i
、b< br>i
既允许a
i
≥b
i
,又允许取负数.而在范围扩大的同时也
增加了一个新风险:分母为零.这是我们在使用等比定理时要特别注意的问题(参见练习1第2题).
对于学生1的回答,我还有一个问题要弄清,你为什么说③式是混合后糖水的浓度.
(点评:对粗糙的模型提炼作更精细的思考.)
学生1:因为a
1
+a2
+a
3
是3杯糖水中糖的总和,b
1
+b
2
+b
3
是3杯糖水的总和,据浓度公
式可得出③式.
教师:理由说完了?还有补充吗?其他同学还有补充吗?
学生3:a
1
+a
2
+a
3
不一定是糖的总和.
教师:为什么?
学生3:在计算小杯糖水的浓度时,分子分母可能有约分,比如21克糖水中 有6克糖,其浓度可约
分为2/7.
教师:如此说来,当浓度a
i
/bi
没有约分时,式③表示了混合糖水的浓度,那么,a
i
/b
i
有约
分时,式③还是浓度值吗?
学生4:还是!
教师:为什么?此时a
1
+a
2
+a
3
已经不是糖的总和,b
1
+b
2
+b
3
也不是糖水的总和了.
学生4:虽然此时式③不是浓度定义的直 接列式,但在数值上与定义式相等.原因是,我们有等比
定理作理论依据.
教师:非常好.这 样我们就经历了两个相辅相成的阶段:首先由直观情境提炼出数学结论,然后,
又用数学结论去解释客观 事实.
现在我还要问,根据上面的讨论,你能对式③作出一些补充,从而导致新的数学发现吗?
(点评:继续对粗糙的模型提炼作发散性的思考.)
学生5:若设3小杯糖水的浓度分别约去 了m
1
、m
2
、m
3
,则可得混合后的浓度为
( m
1
a
1
+m
2
a
2
+m
3a
3
)/(m
1
b
1
+m
2
b
2
+m
3
b
3
). ④
从而有命题:若b1
b
2
b
3
≠0,m
1
b
1
+m
2
b
2
+m
3
b
3
≠0,且a
1
/b
1
=a
2
/b
2
=a
3
/b
3
,则
a
1
/b
1
=a
2
/b
2
=a
3
/b
3
=(m
1
a
1
+m
2
a
2
+m
3
a
3
)/( m
1
b
1
+m
2
b
2
+m
3b
3
). ⑤
学生6:若设3小杯糖水的质量分别为n
1、n
2
、n
3
,则可得混合后的浓度为
((a
1/b
1
)n
1
+(a
2
/b
2
)n< br>2
+(a
3
/b
3
)n
3
)/(n
1
+n
2
+n
3
). ⑥
从而有命题:若b1
b
2
b
3
≠0,n
1
+n
2
+n
3
≠0,且a
1
/b
1
=a
2
/b
2
=a
3
/b
3
,则
a
1
/b
1
=a
2
/b
2
=a
3
/b
3< br>
=(1/(n
1
+n
2
+n
3
))((a
1
n
1
/b
1
)+(a
2
n
2< br>/b
2
)+(a
3
n
3
/b
3
)) . ⑦
教师:这样,我们通过3杯浓度相等的糖水,认识了等比定理的各种形式.下来还有两 个问题需要
明白,其一,杯数可以任意增加;其二,如何给出严格的证明(回去再做,留作练习).
(点评:巩固性的练习不太难,留做课后作业.)
练习1.
.已知b
1
b
2
…b
n
≠0,且
a1
/b
1
=a
2
/b
2
=…=a
n< br>/b
n
,
那么
(1)当≠0时,有
a
1
/b
1
=a
2
/b
2
=…=a
n
/b< br>n
=;
(2)当≠0时,有
a
1
/b
1
=a
2
/b
2
=…=a
n
/b
n
=;
(3)当≠0时,有
a
1
/b
1
=a
2
/b
2
=…=a
n
/b
n
=
.已知a、b、c为互 不相等的实数,且
x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a).
求x+y+z.(参见文[1]例1,文[2]例1)
.活动2——真分数不等式的发现
.
教师:在幼儿园的时候我们就知道,给糖水加糖能使糖水变甜,给菜汤添盐能使菜汤变咸. 请大家
把这一生活常识用数学式表达出来.
(点评:此处,没有像活动1那样先做数据准备,意在提高要求.)
(教师环顾大家,首先挑选面露难色的同学,问主要困难是什么.)
学生7:我的困难是不知从什么地方下手.既没有数字又没有字母,我拿什么去列式呢?
教师 :哦,“无米之炊”,那我们就找米下锅.比如说,解应用题列方程式时,未知数肯定没有具
体数据,那 时你是怎么办的?
学生7:用字母表示数,设为x.
教师:那“糖水加糖更甜了”,你能不能也用字母来表示?
学生7:设原来的糖水浓度为p
1
,加糖后的浓度为p
2
,则有
p
1
<p
2
. ⑧
教师:对!问题的本质是一个不 等式,这一点,你抓住了.不足的是,式⑧没有直接反映“浓度”与
“加糖”.你能不能更具体地表示出 “原浓度”、“加糖后的浓度”以及两个浓度间的关系,使人一看
这个“没有任何汉字”的“符号”不等 式,就能领会“糖水加糖更甜了”?
学生7:我设b克糖水里有a克糖,则p
1
=a /b;加糖后的糖水更甜了,就存在c>0,使
a/b<(a/b)+c. ⑨
教师:这里的c表示什么?
学生7:表示加糖了.
教师:是表示糖的质量吗?浓度与质量能够相加吗!
学生7:c不是增添的糖的质量,它是加糖后所引起的浓度增加量.
教师:那⑨式只表示了浓 度增加则糖水就更甜,还没有把浓度增加的原因——添糖反映出来.换句
话说,当p
1
=a/b时,p
2
如何表示?
学生7:我明白了,p
2
=(a+m )/(b+m),其中m>0为所添糖的质量.由此得不等式:
对b>a>0,m>0,有
a/b<(a+m)/(b+m). (10)
(点评:这是师生互动,进行数学再发 现的一个模拟.下面是进一步的开放性思考,这些思考受到
了活动1的启发.)
学生8:我更 一般地考虑糖水的浓度经过了约分,因而加糖m克后的浓度为p
2
=(ak+m)/(b
②
k+m),由此得不等式:对b>a>0,m>0,bk+m>0,有
a/b<(ak+m)/(bk+m). (11)
当k=1时,回到(10)式.
学生9:我也考虑到浓度值可能会有约分,因而设糖水的质量为k,添加质量为m的糖后浓度为p
2
=((a/b)k+m)/(k+m),由此得不等式:对b>a>0,m>0,k+m>0,有
a/b<(ak+bm)/(b(k+m)). (12)
当k=b时,回到(10)式.
教师:我们一口气得出了3个不等式,这是一个从具体模型到 抽象模式的提炼过程,同时,也是一
个根据自身知识经验主动建构的过程.在我们的对话中,事实上已经 经历了一个“三层次解决”的思维
过程.
第一层次,将实际问题转化为一个不等式问题:p
1
<p
2
.
明确了这一点,就明确了问题解决的方向.这是策略水平的解决.
第二层次,根据浓度的定义,具体表示出p
1
、p
2
来.
明确了这一点,就明确了问题解决的方法.这是方法水平的解决.
第三层次,用字母表示数,得出具体的不等式,又可以细致地分为3步(以(10)式为例):
(1)用字母a、b、m表示相应的量;
(2)根据浓度的定义,写出加糖前后的浓度
p
1
=a/b,p
2
=(a+m)/(b+m).
(3)将“更甜了”表示为不等式
a/b<(a+m)/(b+m);
在构建不等式(10)或(11)、(12)的过程中,明显借助于如下的知识:
(1)浓度的定义;
(2)用字母表示数的知识;
(3)不等式的知识;
(4)从“活动1”中获得的数学活动经验.
也可以说,不等式(10)、(11)、(12 )是在上述知识经验基础上的主动建构.由于各人知识经
验上的差异,因而建构出来的结果也略有不同; 到具体证明时,思路就更加发散了(有分析法、作差法、
放缩法、定比分点法、斜率法等不下10余种) .
(点评:对数学学习的思维过程进行了一种理论性的小结.至于不等式(10)的证明,则留给活动
3去作更多的体现.事实上,(10)也就是a/b<(a+m)/(b+m)<m/m.)
练习2.
.设{a
n
}是由正数组成的等比数列,S
n
是其前n项的和,证明
(log
0.5
S
n
+log
0.5
S
n +2
)2>log
0.5
S
n+1
.(1995年数学高考文科题) (参见文[3]
P.206例4-33)
.已知数列{b
n
}是等差数列, b
1
=1,b
1
+b
2
+…+b
10
=1 45.
(1)求数列{b
n
}的通项b
n
;
(2)设数 列{a
n
}的通项a
n
=log
a
(1+(1/b
n
))(其中a>0,且a≠1),记S
n
是数
列{a
n
} 的前n项的和,试比较S
n
与(1/3)log
a
b
n+1
的大小,并证明你的结论.(1998年数学
高考理科题)(参见文[4])
.活动3——中间不等式的发散思考
教师:我这里有两杯浓度不同的糖水,一杯较淡、一杯较 浓.将这两杯糖水混合到第三只杯里后,
所得的糖水浓度,一定比淡的浓,而又比浓的淡.请根据这一生 活常识写出相应的数学命题,越多越好.
为了叙述上的方便,我们记较淡的糖水浓度为a
1< br>/b
1
,较浓的糖水浓度为a
2
/b
2
,其中ai
、b
i
均为正数.
(点评:学生在活动2中已经历了数据准备的锻炼 ,此处提前给出a
i
/b
i
主要是为了讨论用语的
统一.)
学生10:由刚才的假设我可以认为,在b
1
克糖水中有a
1
克糖,在b< br>2
克的糖水中有a
2
克糖,混合
之后,得b
1
+b< br>2
克糖水中有a
1
+a
2
克糖,故得不等式
a1
/b
1
<(a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)<a
2
/b
2
. (13) 学生11:我觉得所假设的糖水浓度值完全有约分的可能,更一般地应是在m
1
b
1
克糖水中有m
1
a
1
克糖,在m
2
b
2
克糖水中有m
2
a
2
克糖,混合之后,得m
1
b< br>1
+m
2
b
2
克糖水中有m
1
a
1
+m
2
a
2
克糖,
故得不等式
a
1/b
1
<(m
1
a
1
+m
2
a
2
m
1
)/(b
1
+m
2
b
2
)<a
2
/b
2
. (14)
当m
1
=m
2
时,便是(13)式.
学生12:不管所假 设的糖水浓度值是否经过了约分,我设糖水的质量分别为m
1
、m
2
时,混合 后糖
水中的糖均为(a
1
/b
1
)m
1
+(a2
/b
2
)m
2
,从而混合后的糖水浓度为((a
1< br>/b
1
)m
1
+(a
2
/b
2
)m
2
)/(m
1
+m
2
),故得不等式
a
1
/b
1
<((a
1
/b
1
)m
1
+(a
2
/b
2
)m
2
)/(m
1
+m
2
)<a
2
/b
2
. (15)
其中( 13)是m
1
=b
1
,m
2
=b
2
时的特 例.
学生13:由(15)式可以看到,中间的浓度式实质上是定比分点公式,因此可以改写为 a
1
/b
1
<((a
1
/b
1
)+( a
2
/b
2
)λ)/(1+λ)<a
2
/b
2 (λ=m
2
/m
1
>
0). (16)
我还觉得,(15)虽然表达上比(13)、(14)复杂,但它的好处是,既给出了不等式,又证明了
不等式.
学生14:我还可以把(16)改写为
a
1
/b
1< br><(1-α)(a
1
/b
1
)+α·(a
2
/b2
)<a
2
b
2
(α=λ/(1+λ)>0). (17)
但我并不认为(13)就比(16)隐晦,作一步变形,有
(a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)=((a
1
/b
1
)+(a
2
/b
2
)·(b
2
/b
2
))/(1+(b
2
/
b
1
)),
这 表明(a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)内 分a
1
/b
1
与a
2
/b
2
为定比b2
/b
1
>0.故有(13)式成立.
学生15:我认为,不作变形也 能直观而简捷地说明(13)式成立.取点A(b
1
,a
1
),B(b
2
,
a
2
),C(b
1
+b
2
,a1
+a
2
),则OC是以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线,OC的斜率< br>就在OA、OB的斜率之间,这就是(13)式.
③
(点评:如果说从(1 3)到(17)有某种逻辑联系的话,那么“斜率”的新认识则体现了更多的突
破.)
教师: 同学们的讨论令我非常感动.大家不仅对“糖水情境”进行了发散性的思考,而且对所获得
的结果进行了 数形结合的证明.这使我们经历了“实验观察—直觉猜想—逻辑论证”的过程,这是一个
数学探究的基本 过程.
需要指出的是,在“糖水情境”中,要求a
i
、b
i
均为正 数,也有0<a
1
/b
1
<a
2
/b
2
< 1的限
制.而由下面的推导可以看到,有b
1
>0,b
2
>0,a< br>1
/b
1
<a
2
/b
2
便可保证(13)成 立.设
k
1
=a
1
/b
1
<a
2
/b
2
=k
2
.
有 k
1
b
1=a
1
<k
2
b
1
,(用到b
1
>0 )
k
1
b
2
<a
2
=k
2
b< br>2
.(用到b
2
>0)
相加,k
1
(b
1
+b
2
)<a
1
+a
2
<k
2
( b
1
+b
2
),
得 k
1
<(a
1< br>+a
2
)/(b
1
+b
2
)<k
2
.(用到b
1
+b
2
>0)
(点评:作为后续话题,活动5将讨论 (a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)与(1 /2)((a
1
/b
1
)+
(a
2
b
2< br>))的大小关系.)
练习3.
.求满足下列条件的最小正整数n:对于n存在正整数 k,使8/15<n/(n+k)<7/13成
立.(参见文[5]例1)
.二次函数f(x )=ax+bx+c的图象经过点(-1,0).是否存在常数a、b、c使不
等式x≤f(x)≤(x +1)/2对一切实数x都成立?若存在,求出a、b、c;若不存在,说明理
由.
.设二次 函数f(x)=ax+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x
1
、x
2
满
足0<x
1
<x
2
<1/a.当x∈(0,x
1
)时,证明x<f(x)<x
1
.(1997年高考理科第(24)
题第( 1)问)(参见文[2]例4)
.活动4——直觉的风险
教师:我这里有4杯糖水,第1杯 的浓度为a
1
/b
1
,第2杯的浓度为c
1
/d
1
,第3杯的浓度为
a
2
/b
2
,第4杯的浓度为c
2
/d
2
.已知
a
1
/b
1
>c
1
/d
1
,a
2
/b
2
>c
2
/d
2
. (18)
现将第1、3杯混合到甲杯里,将第2、4杯混合到乙杯里.试问:甲杯的浓度大还是乙杯的浓度大?
学生(众):甲杯大.
(点评:这是意料之中的回答,也是教师有意设置的陷阱,以引发探索与发现的悬念和动机.)
教师:为什么?请举手回答.
学生16:因为第1、3杯都是浓的,所以混合之后还浓;而第2、4杯都是淡的,所以混合之后还淡.
教师:你说的是不是将(18)式两边相加,得
(a
1
/b
1)+(a
2
/b
2
)>(c
1
/d
1
)+(c
2
/d
2
).
学生16:这?这?这不是混合后的浓度式.
教师:那么,混合后的浓度应该是什么? 学生16:应该是(a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)与(c
1
+c
2
)/(d
1
+d
2
),从而有不等式
(a
1
+a
2
)/(b
1+b
2
)>(c
1
+c
2
)/(d
1
+d
2
). (19)
教师:你能由(18)推出(19)吗?同学们都来想办法,如何由(18)推出(19).
(点评:教师在引导学生,学会数学地提出问题.)
((18)式等价于a
1
d
1
-b
1
c
1
>0,且a
2
d
2
-b
2
c
2
>0;而(19)式等价于(a
1
d
1
-b
1
c
1
)+(a
2
d
2
-b
2
c
2
)+(a
1
d
2
+a
2
d
1
-b
1
c
2
-b
2
c
1
)>0,学生经过一段时间的演算,
不能获得证明.)
学生17:好像还缺点条件,如果再加上
a
1
/b
1
>c
2
/d
2
,a
2
/b
2
>c
1< br>/d
1
,
就可以证出来.
教师:条件是不能再添了.需要考虑的是,问题到底属于不会证还是不能证.
学生18:如果 浓度用百分数表示,比如说(18)中各分母都是100=b
1
=b
2
=d< br>1
=d
2
,那(19)
是成立的.
学生19:我代入数值发 现这里有问题.假设第1杯里有糖水100克、糖23克,第2杯里有糖水120
2
2
2
克、糖27克,有浓度不等式23/100>27/120.又设第3杯里有糖水100克、糖15. 5克,第4杯里
有糖水80克、糖12克,有浓度不等式15.5/100>12/80.但是
(23+15.5)/(100+100)=38.5/200<39/200=(27+12)/(120+ 80).
可见,命题
(a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)>(c
1
+c
2
)/(d
1+d
2
) (20)
是个假命题.
(点评:“正面肯定”有 困难时,可转而考虑“反面否定”.此处反例的寻找需要创造性,但不惟
一.)
教师:当我们 由直觉得出一个猜想时,面临着两种前途——证实或证伪.证实就是由已知真命题出
发,经过一步步严格 的逻辑论证,得出猜想成立;而要证伪,举一个反例就够了.学生19的反例说明由
(18)推(19) 是假命题,这同时也说明,直觉是有风险的.
练习4.
.某校初中三年级有4个班,甲班6 0人,乙班50人,丙班40人,丁班50人.黄老师教甲、丙班
代数,李老师教乙、丁班代数.期末考 试统计出4个班的代数及格率为:甲班90%,乙班92%,丙班60%,
丁班62%.问:两个教师谁 所带的学生及格率高?(参见文[6]P.28例14)
.有这样一个故事,请你判断真的会发生吗? 有一信息调查员,受托到三所学校初中三年级去调查
学生订阅《数学学习报》的情况,得出的结果是,三 所学校男生订报的比例都比女生订报的比例高,于
是他向领导汇报说:据三所学校的调查数据看,男生订 报的比例比女生大.领导令其将各校的男女生人
数报上来,计算得出相反的结论:女生订报的比例比男生 大.(比如:甲校有150个男生、60人订报,
有120个女生,46人订报;乙校有80个男生、5 0人订报,有100个女生、60人订报;丙校有120个男
生、70人订报,有140个女生、80人 订报)
.公比不同的两个等比数列之和不是等比数列.(参阅2000年高考第(20)题)
.活动5——数学新发现的研究
教师:在活动3中我们将两杯浓淡不同的糖水混合到一起之后 ,得出的糖水比浓的淡又比淡的浓,
即有不等式:a
1
、b
1
、a< br>2
、b
2
为正数,若a
1
/b
1
<a
2
/b
2
,则
a
1
/b
1
<(a1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)<a
2
/b
2
.
现在的新问题是:混合浓度(a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)与平均浓度(1/2)((a
1/b
1
)+(a
2
1
/b
2
))有一种什么样 的大小关系?换句话说,在以点a
1
/b
1
、a
2
/b2
为端点的线段内,取一点(a
+a
2
)/(b
1
+b
2
),那么这个点在线段中点的左方还是右方?
(点评:与以上4个活动情境不同,此处的直观不明显.)
学生20:这个问题的结论好像不太好说,会不会与浓度的具体取值有关?
学生21:我估计 还与溶液的质量有关.若将a
1
/b
1
、a
2
/b
2
记为质点在数轴上的坐标,而质点
的质量为b
1
、b
2
, 则
(a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2)=((a
1
/b
1
)·b
1
+(a
2
/b
2
)·b
2
)/(b
1
+b
2
). (21)
这正是质点的质心.直观上看,在a
1
/b
1
<a
2
/b
2
的前提下,当b
1
<b
2
时,质心在中 点的右
方;当b
1
>b
2
时,质心在中点的左方.这从(15)式也 可以看出来,当m
1
=m
2
时,
(a
1
+a2
)/(b
1
+b
2
)=(1/2)((a
1
/b
1
)+(a
2
/b
2
)).
当m
1
≠m
2
时,两式不相等.
(点评:(21)式又使不明显的直观明显了,因为着眼点作了转移.)
教师:大家对题意的 初步理解表明,这是一个探索性的命题.现在请奇数行的同学向后转,4个人
一小组展开讨论.
(点评:问题的难度和发散度都比较大,教师在组织合作学习.)
学生22:我们小组用特值 探索法发现,确如学生21所说,(1/2)((a
1
/b
1
)+(a
2
/b
2
))
与(a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)之间可大可小可相等,比如在a
1
/b
1
=11/30<1/2=a
2
/b
2
的前
提下:
(1)取a
1
=11,b
1
=30,a
2
=1,b
2
=2时,有
(1/2)((a
1
/b
1
)+(a2
/b
2
))=13/30>3/8=(a
1
+a
2< br>)/(b
1
+b
2
);
(2)取a
1
=1 1,b
1
=30,a
2
=15,b
2
=30,有
(1/2)((a
1
/b
1
)+(a
2
/b
2))=13/30=(11+15)/(30+30)=(a
1
+a
2
) /
(b
1
+b
2
);
(3)取a
1
=1 1,b
1
=30,a
2
=16,b
2
=32,有
(1/2)((a
1
/b
1
)+(a
2
/b
2))=13/30<14/31=(a
1
+a
2
)/(b
1+b
2
).
在这3种情况下a
2
/b
2
是等 值的,1/2=15/30=16/32,但结论却是不同的,我们感到非常有
趣,不知大家是否有同样 的惊讶与迷惑.
(点评:数据的选择用心良苦,应能激发兴趣与好奇.)
学生23:我们小组用作差比较法.作差:
(1/2)((a
1
/b
1
)+(a
2
/b
2
))-((a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
))
=((a
1
b
2
+a
2
b
1
)/2b
1
b
2
)-((a
1
+a2)/(b
1
+b
2
)) =(a
1
b
2
+a
2
b
1
-a
1
b
1
b
2
-a
2
b
1
b2
)/2b
1
b
2
(b
1
+b
2)
=(b
1
-b
2
)(a
2
b
1< br>-a
1
b
2
)/2b
1
b
2
(b< br>1
+b
2
)
=((b
1
-b
2
) /2(b
1
+b
2
))((a
2
/b
2
) -(a
1
/b
1
)).
因为已知条件保证了(b
1
+b
2
)>0,(a
2
/b
2
)-(a
1
/b
1
)>0,所以,有3种结论:
(1)当b
1
<b
2
时,
(1/2)((a
1< br>/b
1
)+(a
2
/b
2
))<(a
1+a
2
)/(b
1
+b
2
); (22)
(2)当b
1
=b
2
时,
(1/2)((a
1< br>/b
1
)+(a
2
/b
2
))=(a
1+a
2
)/(b
1
+b
2
); (23)
(3)当b
1
>b
2
时,
(1/2)((a
1< br>/b
1
)+(a
2
/b
2
))>(a
1+a
2
)/(b
1
+b
2
). (24)
(点评:这个方法非常成功,问题也解决得很完整.)
学生24:我们小组使用分析法来寻找 结论成立的充分条件,假设(1/2)((a
1
/b
1
)+(a
2< br>/b
2
))>(a
1
+a
2
)/(b
1+b
2
).
去分母、化简,只需
a
1
b
2
+a
2
b
1
>a
1
b
1
b
2
+a
2
b
1
b
2
(b
1< br>-b
2
)(a
2
b
1
-a
1
b2
)>0.
因为a
2
b
1
>a
1
b
2
,故只需b
1
>b
2
.
同理可得
( 1/2)((a
1
/b
1
)+(a
2
/b
2
))=(a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)
的充分条件是b
1
=b
2
;而
(1/2)((a1
/b
1
)+(a
2
/b
2
))<(a
1
+a
2
)/(b
1
+b
2
)
的充分条件是b
1
<b
2
.
(点评:与作差法在运算上差别不大,但不如作差法紧凑.)
教师:3个小组分别运用不同的 思考方法进行了成功的探索.一开始,我们对糖水情境的结论很模
糊,学生21的物理揭示提供了一个导 向,学生22的验证强化了这个导向,学生23、学生24则进入到
理性思考的阶段,并最终获得正确的 结论.这就是我们数学小发现的全过程,当中还有许多情感体验:
22
22
困惑、惊讶 和喜悦等等.当然,这个发现过程并没有完结,比如,糖水从2杯增加到3杯、4杯……时,
会有什么结 论?并且我们已经预见到,作差比较
(1/n)((a
1
/b
1
) +…+(a
n
/b
n
))-((a
1
+…+a
n< br>)/(b
1
+…+b
n
))
在运算量上高速增长,需要寻找 新的数学方法来简捷解决.所有这一切,我们将作为悬念,留给有兴趣
的同学去思考,作为课题,留给有 余力的同学去创造.
练习5.
.数轴上从左到右放置有三个质点A
1
、A
2
、A
3
,其坐标依次为a
1
/b
1
、a
2
/b
2
、a
3
/b
3
.当
三质 点的质量均为13时,其质心为G
0
;当三质点的质量为b
1
/(b
1
+b
2
+b
3
),b
2
/(b
1
+b
2
+b
3
),b
3
/(b
1
+b< br>2
+b
3
)时,其质心为G
1
.直观上看,当0<b
1
<b
2
<b
3
时,G
1
在G
0
的
右方;而当b
1
>b
2
>b
3
>0时,G
1
在G
0
的左方.请据此写出一个不等式,并加以证明.
.设a
i
、b
i
为正数,且
a
1
/b< br>1
≤a
2
/b
2
≤…≤a
n
/b
n
.
则
(1)当b
1
≤b
2
≤…≤b
n
时,
( 1/n)((a
1
/b
1
)+…+(a
n
/b
n< br>))≤(a
1
+…+a
n
)/(b
1
+…+b
n
); (25)
(2)当b
1
≥b
2
≥…≥b
n
时,
( 1/n)((a
1
/b
1
)+…+(a
n
/b
n< br>))≥(a
1
+…+a
n
)/(b
1
+…+b
n
). (26)
进而讨论:
(1)等号成立的充要条件;
(2)a
i
>0是否必要.
(提示:取x
i
=a
i
/b
i
,y
i
=b
i
/(b
1
+…+b
n
),由(25)有
.
这正是契比雪夫不等式,可用排序原理来直接证明.)(参见文[7]P.24)
(点评:这 个系列活动课的组织富于情节、引人入胜,正例与反例并存.其中最鲜明的特点是:思
维情境的直观显明 性,总体结构的系列递进性,学生活动的生动主体性,探究发现的开放发散性,活动
过程的积极建构性, 更深入细致的评析,将留给读者去进行.)
参考文献
罗增儒.解题分析——人人都能做解法的改进.中学数学教学参考,1998,7
罗增儒.“尚未成功”的突破.中学数学教学参考,2000,8
罗增儒.数学解题学引论.西安:陕西师范大学出版社,1997
罗增儒.解题分析——1998年高考题与数学直觉.中学数学教学参考,1998,8~9
罗增儒.解题分析——谈谈“显然”与“可证”.中学数学教学参考,1999,4
罗增儒,钟湘湖.直觉探索方法.郑州:大象出版社,1999
嵇国平,汤正谊.两个优美而有用的不等式.中学数学月刊,2000,6
996年开始,化学科已停止使用“浓度”,改用“质量分数”和“体积分数”.
事实上,c=((a+m)/(b+m))-(a/b)=m(b-a)/b(b+m)>0.
式中将a
1
/b
1
放大为a
2
/b
2
可 得全式小于a
2
/b
2
,而将a
2
/b
2
缩小为a
1
/b
1
又可得全
式大于a
1
/b
1
.
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