金铳兵公式三角函数诱导公式万能公式和差化积公式倍角公式等公式总结及其推导

2020年11月4日发(作者：左有权)





三角函数诱导公式万能
公式和差化积公式倍角
公式等公式总结及其推
导
Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#


三角函数诱导公式：
诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名
称的变 化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看
象限”的含义是：把角α看做锐角 ，不考虑α角所在象限，看n?(π2)±α
是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
符号判断口诀：

“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说： 第
一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二象限内只有正弦是
“+”，其余全部是“－”； 第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是
“－”； 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。

“ASCT”反Z。意即为“a ll(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照
将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函 数为正值。
三角函数诱导公式 - 其他三角函数知识
同角三角函数的基本关系式
倒数关系

tanα ?cotα=1

sinα ?cscα=1

cosα ?secα=1

商的关系

sinαcosα=tanα=secαcscα

cosαsinα=cotα=cscαsecα

平方关系

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。

倒数关系



对角线上两个函数互为倒数；

商数关系

六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。< br>（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。
由此，可得商数关系 式。

平方关系

在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下
面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan（α+β）=(tanα+tanβ )(1－tanα ?tanβ)

tan（α－β）=(tanα－tanβ)(1+tanα ?tanβ)
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α)

tan2α=2tanα(1－tan^2(α))
半角的正弦、余弦和正切公式
sin^2(α2)=(1－cosα)2

cos^2(α2)=(1+cosα)2

tan^2(α2)=(1－cosα)(1+cosα)

tan(α2)=(1―cosα)sinα=sinα1+cosα
万能公式
sinα=2tan(α2)(1+tan^2(α2))

cosα=(1－tan^2(α2))(1+tan^2(α2))



tanα=(2tan(α2))(1－tan^2(α2))
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)－3cosα

tan3α=(3tanα－tan^3(α))(1－3tan^2(α))
三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin((α+β)2) ?cos((α－β)2)

sinα－sinβ=2cos((α+β)2) ?sin((α－β)2)

cosα+cosβ=2cos((α+β)2)?cos((α－β)2)

cosα－cosβ=－2sin((α+β)2)?sin((α－β)2)
三角函数的积化和差公式
sinα?cosβ=[sin(α+β)+sin(α－β)]

cosα?sinβ=[sin(α+β)－sin(α－β)]

cosα?cosβ=[cos(α+β)+cos(α－β)]

sinα?sinβ=－ [cos(α+β)－cos(α－β)]
三角函数诱导公式 - 公式推导过程
万能公式推导

sin2α=2sinαcosα=2 sinαcosα(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα(1+tan^2(α))

然后用α2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导

tan3α=sin3αcos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3 (α)－
cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)



上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α=(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα

=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)

=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα

=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))

=4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)－3cosα

和差化积公式推导

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b) =sina*cosb-
cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-
b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2



同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积
的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-
y)2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)

sinx-siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)

cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)