预计完成率公式三角形重心的推导及其应用

2020年11月4日发(作者：曲进贤)

三角形重心的推导及其应用
在新课标人教版八年级数学下册的四边形这一章节中提 出了重心这一概念，
但是并没有作出具体的阐述，为了让学生深入的了解重心的特征，适应教学的需要，我根据学生现有的知识面，对三角形的重心特征进行了适当的归纳，并进行
了合理的运用，目的 是希望学生能通过这一过程的学习从而能很好的掌握重心的
特性，并能灵活运用。

概念：三角形的重心就是它的三条中线的交点。

性质1：三角形的重心到三角形的一个顶点及其对边的距离之比是2：1。

证明：已知△ ABC中，CE、BD是AB、AC上的中线，BD与CE相交于
O，BO与DO的长之间有何关系？

解析：作BO中点M，CO中点N，连结ED、EM、DN、MN∵ED为△ABC
中位线，∴ED= BC且ED∥BC，又∵MN为△OBC中位线，∴MN= BC且MN
∥BC，∴ ED与MN平行且相等，∴EMND为□，∴MD与EN互相平分，∴
OM=OD，∴OD：OB=1： 2。

性质运用

例1 已知，如图，AD为△ABC中线，E为AD中点，F为BE延长线与
AC的交点，求AF：FC的值。

解析：过C作CG∥AD交BA延长线于G，∵D为BC中点，∴AD为△BGC
中 位线，∴A为BG中点，延长BF交GC于H，∵E为AD中点，∴H为CG
中点，∴CA与BH交点F 为△BGC的重心，

∴AF：FC=1：2。

例2 如图在△ABC中，∠BAC=90O，M为AC中点，AG⊥BM，且BG=2GM，
① 求证：BC=3AG。② 若AB=√6，求BM的长。

解析：① ∵M为AC中点且BG =2GM，∴点G为△ABC的重心，延长AG
交BC于H，∵点G为重心，∴AG=2GH且H为BC 的中点，设GH=x，则AG=2x，
AH=3x， ∵△ABC为直角三角形，∴AH=12BC ，∴ BC=6x，∴BC=3AG。

性质2：三角形三条中线所分得的6个小三角形的面 积相等，且每个小三角
形的面积都为大三角形面积的 16。

证明 如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，求证：
S1= S2= S3= S4= S5= S6