珠宝英语-激浊扬清
数列找规律
【例1】
一块白白的豆腐，帅帅“咣咣咣···咔咔咔”切了六刀，最多能切成多少块？
【例2】
有一个国家的钱币仅有六元和七元两种，在这个国家里人们买东西时会出现找不开钱的情
况。
⑴出现这种情况的价格共有多少种？
⑵其中最贵的价格是多少元？
【例3】
“不好吃”肉串店老板送给帅帅十张优惠券(从1
到10分各1张)。在一个风雨交加的下午，
帅帅拿着优惠券喜滋滋的去吃肉串了，结果看见了老板在店
门口给帅帅留了一个牌子：
【例4】
下列⑴~(20)的二十个加法算式是按
一定规律排出的，得数最小的算式是哪个？请写出它的
得数。
组合专题：超难组合数学㈠
1．一棱柱以五边形A
1
A
2
A
3<
br>A
4
A
5
与B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
为上、下底，这两个多边形的每一条边及每一
条线
段A
i
B
j
(i，j＝1，2，3，4，5)分别涂上红色或绿色。若每一个
以棱柱顶点为顶点的、
以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同。证明上、下底10条边颜色一
定相同。
2．设在空间给出20个点，其中某些点涂黄色，其余点涂红色。已知在任何一个
平面上同色
点不超过3个。求证：存在一个四面体，它的四个顶点同色，且至少有一个侧面内不含
异色点。
3．某一天有若干读者去过图书馆。他们是单独
去的，但是在任何三个读者中，至少有两个
人这天在图书馆相遇。证明：一定可以找到这样两个时刻，使
得在这一天到过图书馆的
任何一个读者，至少在这两个时刻中的一个时刻是在图书馆的。
4．每一个参加循环赛的人和其余参
加比赛的人都要比赛一次。已知任何一次比赛都没有出
现平局。证明：可以找到这样的运动员，其他人或
被他战胜，或被他胜过的人战胜。
测 试 题
1．一棱柱以四边形F
1
I
1
H
1
G
1
与K
1
L
1
J
1
E
1
为下、上底，这两个多边形的每一条边及每一条线段(所有连接顶点的线段)分别涂上红色或绿色。若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂
色的线段为
边的三角形均有两条边颜色不同。证明上、下底8条边颜色一定相同。
答案及解析
证明：
先证明上底下底分别同色
假如底边有不同色线段，那
么假设F
1
I
1
为红F
1
G
1
为绿，由F
1
点连三条线段分别为F
1
E
1
,F
1
J
1
，
F
1
L
1
，三条线段中必然有两条颜色相同，
假设F
1
J
1
，F
1
L
1
都为红色，那么
三角形L
1
I
1
J
1
为全
绿三角形，矛盾，假设F
1
J
1
，F
1
L
1
都为都为绿色，那么三
角形G
1
L
1
J
1
为全红三角形，矛盾，
所以下底
边颜色全部相同。
类似可得上底边颜色全部相同。
再来证明上底下底有同色边，
假设上底边为红，下底边为绿，然后类似的F
1
E
1
,F
1
J
1
，F
1
L
1
必然有两条同色，假设F
1
J
1
，
F
1
L
1
都为都为绿色，那么三
角形G
1
L
1
J
1
为全红三角形，矛盾，假设E
1
F
1
，L
1
F
1
为红，那么
三角形G1
J
1
I
1
为全红三角形，矛盾。
所以上下8条边颜色相同。
几何专题：综合型
【例1】
如图，四边形PQRS与长方形ABCD的内侧相接，AP＝4厘米，AS＝2厘米
，QC＝7厘米，
RC＝3厘米，∠SPQ＝90°，∠QRS＝45°。请求出四边形PQRS的面积
。
【例2】
如图所示，下午6:30在北方的上空有北极星N和组成等腰直角
三角形的三颗星A、B、C(N
的左方是B，B的上方是C，C的左方是A，NB＝BC＝CA)。 <
br>数小时后，星A和星B同时沉入地平线下。后来，星C也沉下去了。如果星A、B、C逆时
针绕北
极星一周需24小时，请问：星C沉下去的时刻是几点？(地平线是水平的直线)
【例3】
如图，在△ABC中，AB＝11厘米，AC＝9厘米。
首先，在BC边
上，取点H，∠BHA＝90°；然后在BC边上，在H与C之间取点D，使∠
BAD＝60°；这样，
∠DAC是∠HAD的2倍。请问：这时线段BH的长度是线段CH的长
度的几倍？
【作业】
如图1，图中的三个四边形ABHG、CDIH和EFGI都是正方形，
当其面积分别是10平方厘
米、13平方厘米、29平方厘米时，请问：
⑴如图2，有16个
边长为1厘米的正方形方格，在图中连结这些方格的顶点，画出四边形
ABHG；
⑵请求出六边形ABCDEF的面积。
奇偶靠联想
【例1】
三个相邻偶数的乘积是一个六位数8****2，求这三个偶数。
【例2】
已知，a、b、
c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a＋b)(c＋d)e＝2890，
那么，这
5个数当中最大的数至多是______。
【例3】
请问多位数
nnnKKn
会不会是一个完全平方数？说明理由。
【例4】
如果n个奇质数中，任意奇数个数的和仍是质数，那么这个数组可称之为“完美质数组”，
⑴证明，n的最大值为4。
⑵当n＝4时，求4个质数的乘积的最小值。
测试题
1．在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡
片排成一行，得到一个11位数；
再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个11位数。请证明这两个
11位数的和至少
有一位数字是偶数。
2．甲、乙两人将正整数5至11分别写在7张卡片上。他们将卡片背
面朝上，任意混合后，
甲取走3张，乙取走2张，剩下的2张卡片他们谁也没看。甲看了手里的3张卡片
后对
乙说“你的2张卡片上的数之和是偶数”。试问：甲手里的是哪三个数？答案是否唯一？
答案：
1．【分析】如果在求和时发生进位现象，那么考虑从右往左数
的第一次进位，由于是第一次
进位，所以这一个数位上没有进位过来的，那么这只有这一个数位上的两个
数字
都是5时才有可能成立，而这一位向上一位进1后，所得的和的这一位上的数字
是0，是个
偶数。也就是说如果发生进位，那么所得的和至少有一个数字是偶数；
如果这两个11位数在求和时不
发生进位现象，由于没有进位，那么每一位上的
两个数字相加就得到和数的一个数字，于是这两个11位
数的各位数字之和的和
就等于这两个11位数的和的各位数字之和，而前者是两个相同的数相加，是个<
br>偶数；后者是11个数相加，那么其中必有偶数(否则，11个奇数相加，仍是奇数)，
所以不发
生进位时仍然至少有一位数字是偶数。
2．【分析】甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数
，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的
手中。因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和是偶数时
，甲才能说出自
己的断言．而这就意味着这4 张卡片上的数的奇偶性相同，即或者都是偶数，或
者都是奇数。但由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，
只能是奇数。所以3
张写着偶数的卡片全部在甲的手里。
穷举用技巧
【例1】
N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是
。
【例2】
如果连续N个自然数，每个自然
数的数字和都不是11的倍数，则称这连续的N个自然数为
一条“龙”，n为这条龙的长度。比如1，2
，3，…，28就是一条龙，它的长度是28。问：
龙的长度最长可以为多少？写出一条最长的龙。
【例3】
黑板上写有1、2、3、……、100
这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，
直到剩下两个数为止。如剩下的两数互质则判
甲胜，否则判乙胜。
⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？
⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？
【例4】
如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
测试题
【例1】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数。
【例2】在
1
到
100
中，恰好有
6
个约数的数有多少个？
答案：
【例1】【分析】
由于
30?2?3?5
，从质数的观点看整除，如果自然
数N能被30整除，那么自然数
N至少含有三个质因数2，3，5。设：
N?2
r1
?3
r
2
?5
r
3
?L
。自然数N
恰有30个不
同的因数，根据约数的个数公式：
（r
1
?1）（?r
2
?1）（?r
3
?1）?L?30?2?3?5
。注意
到
2?3?5
是三个约数之积，由此可知自然数N中质因数的个数恰好有3个。因此
（， 12，
4）
的一个排列。
（r
1
?1）（?r
2
?1）（?r
3
?1）?2?3?5
，由此可知
（r
1
，r
2<
br>，r
3
）
必是
综上所述，所求的自然数有：
2?3
2
?5
4
，
2?3
4
?5
2
，
2<
br>2
?3?5
4
，
2
4
?3?5
2
，
2
4
?3
2
?5
，
2
2
?34
?5
。
【例2】【分析】
6
只能表示为?
5?1
?
或
?
1?1
??
2?1
?
，所以恰好有
6
个约数的数要么能表示成某个质
数的
5
次方
，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，
100
以内符合前者的
只有
32
，符合后者的数枚举如下：
2
2
?32
2
?522
?72
2
?112
2
?132
2
?172<
br>2
?192
2
?23
3
2
?23
2
?53
2
?73
2
?11
5
2
?25
2<
br>?3
7
2
?2
LLL
LLL
LLL
LLL<
br>8种
4种
2种
1种
所以符合条件的自然数一共有
1
?8?4?2?1?16
(种)。