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第9讲 曲线运动动力学解释


本讲提示：
1.本讲的理论推导尽量在听懂的基础上自己能独立完成，不然容易留下“心理阴影”。
2.新课为了激发兴趣肯定尽量结合实际讲，但是学习完后应该对理论有完整体系的认识。

总得来说，做好受虐的心理准备，听不懂回家死磕，实在不行记得让老师下讲复习。


知识点睛
曲线运动中的加速度
我们研究曲线运动，运用的坐标系不同，加速 度分量式是不同。物理学研究的时候根据研究问题的
特点不同，采用的坐标系经常不一样，比如直角坐标 系，自然坐标系，极坐标系，球坐标系，注坐标
系等，在高一暑假的讲义上，我们曾经铺垫过一些，本讲 继续讨论。
在普通的直角坐标系中，分加速度容易理解，每个坐标方向相互独立。
记为：
?v
x
?
a
x
?
?
?t
?
?v
y
?

?
a
y
?
?t
?
?v
z
?
a
z
?
?
?t< br>?
对应的动力学方程就是牛顿定律分量式，具体的应用参考我们对于抛体以及恒力曲线运动的处理 ，
这个方法比较适合恒力作用下的曲线运动。由于浅显易懂，本讲不再重复。
1.自然坐标系以及加速度分量
除了直角坐标系以外，我们还经常会用自然坐标系研 究加速度。有一类曲线运动是在已知轨道上
进行的，这时，可以在轨道上任取一参照点
o
，这样就可以在轨道上用到
o
的距离来表示运动方程。
这就是自然坐标，实际初中物 理中的匀速率运动公式
s?vt
就是这个坐标系中的方程。



我们把运动方向叫切向，垂直运动方向叫法向。对应的，每个方向的加 速度叫切向加速度，与法
向加速度。下面用数学推导相应的加速度。当质点做曲线运动时，一般速度的大 小和方向都在变化。
?
?
?
??
?v
vv?v
?v

为计算P位置加速度，将速度增量分解为与
2
平行的分量和
2
垂直的分量
1
，如图：


高一·物理·竞赛班·第9讲·学生版 讲述高端的真正的物理学

1

质点在P的加速度为
?
?
?
?v

?v
?
?
?v
a?lim?lim?lim
?t?0?t?0?t?0
?t ?t?t
??
?a
?
?a
n

??
a,a
其中
?
n
就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有规律：

易从相似三角形得：

a
n
?
v?
?
?
?
v
，
?t

其中R为P位置的“曲率半径”，

v
v
2
2
由于
?
?
，
所以还有：

a
n
?
?
v?
?
R?
R
R
如果物体做圆周运动，这个加速度又叫 向心加速度，向心加速度的规律最早由惠更斯在研究匀速
圆周运动时发现。惠更斯发现：做匀速圆周运动 的物体，其受合外力总是正比于物体质量，正比于物
体速度平方，反比于其圆轨道半径。记为：
v
2

这就是高中教材上的圆周运动向心力定理。

F
n
?m
R
应该说这个结论还是很实用的，虽然只是我们推论中的一个特殊 情况。
由于暂时我们的同学对于向量微分的运算还不了解，为了把上述推导在极坐标系里推广 ，必须把
自然坐标系的计算结果做一个形象的总结。
【总结】
（1）改变一个速度的大小的加速度分量与速度共线，由速度大小变化率决定。
（2）改变一个速度方向的加速度与该速度垂直指向旋转的内侧，大小正比于速度与角速度乘积。
利用以上推论我们引入极坐标里的加速度
2.极坐标系以及加速度分量
极坐标以到参考点
o
（又叫极点）的距离
?
以及到参考射线（极轴）的夹角< br>?
来描述平面内的点
（
?
，
?
），其数学优点是某些 平面坐标系里的很复杂的曲线方程很简单（比如以极点为圆心的圆的
方程为
?
?R）。极坐标在物理上的优势是描述一些既沿着径向运动，又绕着固定点的旋转的运动比
较直观。 < br>比如椭圆轨道卫星的运动，我们关心卫星到地面高度以及方位角。又比如我们以前学习运动关联
时 候用绳子或杆衔接的物体，既有径向速度，又有转速。都比较适合极坐标，如图:

水平向左 运动的物体B的速度分解为沿着绳子的分量
v

以及垂直绳子的转速
v
?
，根据自然坐标
系得到的加速度计算原理：
1.在绳子方向（径向）上一共是两个 加速度，一个改变
v

大小，与拉绳子的加速度大小一致，另
一个改变
v
?
方向，大小
a?
v
?
。

R
AB
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2

2

2.在垂直绳子方向（垂向，注意不是切向）也有两加速度，一个改变
v
?
大 小，另一个改变
v

方
vv
向，注意这个加速度不等于
v

,而等于
v

?
?
?
。 < br>R
AB
R
AB
专业的力学教材还会对这些加速度中的某些项取一堆形象 的名字方便记忆，比如著名的科里奥利
加速度，平面系5个加速度等。由于这个加速度过于依赖向量微分 的理解，这里就不引入了。
期望着以上的讨论能引起同学们对于向量代数甚至向量微积分的兴趣，因为 很复杂的物理情景理
解问题在向量微积分里可以简化为几个简单的算符。
学而思物理竞赛的教 学一种灌输一种观点，那就是方程是最美最高效率的物理语言。开始喜欢上
物理的同学一般都是因为物理 对现实的超理性理解。但多数喜欢物理的人进入大学后都容易对脱离实
际现象的数学运算产生排斥感和畏 惧感，希望同学们尽量的克服。一旦我们弄懂一个方程运算可以处
理的实际情景之广泛，就会疯狂的喜欢 上这种方程。方程会让我们对众多的问题有一个统一的观点，
方程会让我们需要记忆的量以及概念辨析的 量减少为最少。
从现实的角度，很多喜欢物理而且具备很高物理直觉天赋的同学最终在学习物理的过程 中被郁闷，
基本都是因为不适应物理的数学描述方式。我们提倡数理结合一起理解物理的教学观点也是希 望更早
的开始帮助我们同学克服上述困难。同学们要在科学道路上走的更高更远，与其被数学语言虐，不 如
学会去享受它。
当然如果我们学习物理只是作为科学知识去了解物理一下，物理确实不需要 过多的数学语言去表
达它。即便从概念以及逻辑思辨的角度去学习物理，物理也是很美丽很迷人的，因为 他可以几乎可以
无限的满足人先天本能中那种无法抑制的探索欲与求知欲。
例题精讲
【例1】 如图一条不可伸长的轻绳长为L，一端用手握住，另一端系一质量为m的小球，今使手握的< br>一端在水平桌面上做半径为R，角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球
也将在同一水平面内做匀速圆周运动，若人手做功的功率为P，求：
（1）小球做匀速圆周运动的线速度大小；
（2）小球在运动过程中受到的摩擦力的大小．
2




【例2】 如图所示，岸边的汽车用一根不可 伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离
开水面，且绳足够长，河岸离水面高h，绳子与 水平面成角度θ
。
不计船受的阻力，船的质量为m，计
算车匀速以速度v
1< br>拉动船拉力F与θ函数。

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3

【例3】 如图，把一个质量为m的物体放于半径为R的光滑圆上，用向上的拉力F拉着物体把物体往
下放：
（1）如果以恒定的拉力F让物体往下滑，计算支持力与θ函数。
（2）如果物体以恒定的竖直分速度v沿着光滑面往下滑，计算拉力F与θ函数。




【例4】 一个半径为R的半圆柱沿水平方向做加速度为a的匀加速运动，在圆柱 上搁置一竖直杆，此
杆只能沿竖直方向运动，如图，当半圆的速度向右以v运动时，且如图中角度α已知 ，求竖直杆的加
速度。







【例5】把两个质量均为m的小球用长度为2r的轻绳连接，放于光滑水平地面，分别对两球施加一对< br>瞬时冲量产生一对初速度v与-v
，
两位同学为计算绳子上张力出现了矛盾。
mv
2
A同学认为：以绳子中心为圆心，那么拉力为
r
m(2v)
2
2mv
2

B同学认为：一右端球 为圆心，拉力为
?
2rr
哪位同学考虑不周？为什么？

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【例6】如图所示，1根长为2L的细绳，两端各系1个质 量为m的小滑环，滑环套在固定的水平杆上，
细绳的中点挂1个质量为M=2m的重物。不计细绳质量和 一切摩擦，从细线与滑杆平行位置由静止释
放到水平杆与绳夹角为
?
=30°的位置时 ，已知m速度为v
(1)重物速度为多大？
(2)连接滑环与重物的细绳中的张力为多大？








【例7】长度为L的轻杆上端连接着一个质量为m的 体积可忽略的小重物B。杆的下端被用铰链固接与水平面上的A点。同时，置于同一水平面上的立方体C恰好与B接触，立方体C的质量为M。
今 作一个微小扰动，使杆子向右倾倒，设B与C、C与水平面间无摩擦，而B与C刚刚脱离接触的 瞬
间，杆与地面夹角恰好为???，计算此时B的速度以及杆上拉力。




【例8】一绳的一端连接于A点,绳上距A点为a处系有一重物B,其质量为m，绳的;另一 端通过定滑
轮C,现以恒定速率v收绳,当绳收至图示位置时,写出此时人的拉力符合的两个方程,(α ,已知β已知)
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5

【例9】试证明在有心力作用下（时刻指向一个固定点的力 ），做曲线运动的物体角动量（物体质量m
速度v以及到固定点距离r以及r与v夹角正弦乘积mvrs inθ）守恒。



【例10】计算以速度v平抛的物体抛出后轨迹曲率 半径与时间的函数，以此模型推导抛物线
x
2
?2py
曲率半径公式。








课后练习 < br>1.如图所示，半径为
r
的圆筒，绕竖直中心轴
?
转动，小物块
a
靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的摩擦
因数为
?
，现要使
a
不下滑，则圆筒转动的角速度
?
至少为（ ）
A．
?
g
g
g
B．
?
g
C． D．
r
r
?
r


2.如图所示， 在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为
，离轴心
r
，B的质量为
m
，A、B与盘面间相互作用
m2kg20cm1kg
，离轴心
r10cm
A
?
1
?
B
?
2< br>?
的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求
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（1）当圆盘转动的角速度
?
0
为多少时，细线上开始出现张力？
（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（
g?10ms
）








3.水平 桌面上放着三个圆柱体A,B,C，它们的半径均为r，质量m
B
=m
C
=m
A
。先让它们保持如图所示
的位置，然后从静止开始释放，若不计接触面间的摩擦，求 A触及桌面时的速度,已知分离时AB连
线与水平夹角为θ
。


2











趣味物理故事



清朝全息相片之谜

清朝时候，有个姓汪的官员外出，乘马车走在一处河堤上．天空忽 然阴云密布，随即雷鸣电闪，大
雨倾盆．汪某急忙让车子停在一棵大柳树下躲避．
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雨过天晴，汪某下车方便，回头时猛地看见车窗内有几个人影，心中不禁一惊．揭开车帘看，车厢
里空无一人，仔细审视，原来人影是在车窗玻璃上．回家后，人影依然不散，家人都以为神异，就把这块玻璃取下供奉起来．

20几年后，汪家的儿童用弓箭游戏，不小心打碎了玻 璃．奇怪的是，每一块碎片上的影像仍然是
完整的．

汪某的外甥，翰林院侍 读张亮基得到一块碎片，拿去给他的好友姚元之看．姚元之把自己看到的情
况记录下来，并收入他所写的 《竹叶亭杂记》书中．

书中记载：放平了看，这是一块残缺的玻璃片，但斜向阳光看 去，就有一个“仙人”坐在里面，仪
容端庄，面色微红，双目炯炯，胸前飘着长长的白须，头戴红色道冠 ，穿紫色衣服，右手执一柄羽毛
扇，身旁还侍立着一个童子．

姚元之在清代 嘉庆、道光两朝，做官近40年，经历丰富，博学能文，著述严谨．囿于当时认识水
平，姚元之把这一奇 异现象解释为在雷雨时刻，一位避劫的仙灵精气聚合不散，附着在玻璃上而成．
学习效果反馈：





代课教师：
通过今天学习，你觉得：
1. 本讲讲义内容设置：
A． 太难太多，吃不透
B． 难度稍大，个别问题需要下去继续思考
C． 稍易，较轻松
D． 太容易，来点给力的

2. 本节课老师讲解你明白了：
A .40%以下
B .40%到80%
C .80%以上但不全懂
D .自以为都懂了

3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）







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