数二考研几何与物理应用大全

数二几何与物理应用大全


（1） 曲率：
K?
|y|

232
(1?y')
（2） 曲率半径：
?
?
1
,

K


（1） 面积
直角坐标的情况：由曲线
y?f(x)(f(x)?0)
及直 线
x?a,x?b(a?b)
与
x
轴所
围成的曲边梯形的面积
A?
极坐标的情况：
边扇形的面积

?
b
a
f(x)dx

，所围成的曲

（
2
） 弧长

直角坐标情形
设函数
f(x )
在区间
?
a,b
?
上具有一阶连续的导数，计算曲
线y?f(x)
的长 度
S
.
S?
?
b
a< br>1?
?
f
?
(x)
?
dx
.

2
参数方程的情形 若曲线由参数方程
?
?
x?
?< br>(t)
?
y?
?
(t)
2
(
?
?t ?
?
)

2
S?
?
?
?

?
?
?
?
(t)
?
?
?
?
?< br>?
?
(t)
?
?
dt
（
3
） 旋转体的体积

计算由曲线
y?f(x)
直线
x?a
，
x?b
及
x
轴所围成的曲边梯形，
绕
x
轴旋转一周 而生成的立体的体积. 所求的旋转体的体积为
V?
（4） 旋转体的侧面积公式
S?2
?
?
b
a
?
?
f(x)
?
dx

2
?
b
a
f(x)1?f'
2
(x)dx

（5） 平行截面面积已知的立体的体积
以
A(x)
表示过点
x
且垂直于
x
轴的截面面积. 则
x?a
，
x?b
且垂直于
x
轴的两个平
面之内的 立体的体积为
V?
?
b
a
A(x)dx

（6） 功
dW?F(x)dx

（7） 引力
质量为
m
1
、
m
2
，相距为
r
的两质点 间的引力大小为
F?k
m
1
m
2
r
2

k
为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。
（8） 压力
水深< br>d
处的压强为
p?
?
gd
，
?
是水密度，< br>g
是重力加速度，如果有一面积为
A
的
平板置于水深
d
处，那么平板一侧所受的的水压力为
F?pA
。
以水深为变量
x
，建立
dF
与
dx
的关系式，积分即可
（9） 质心 即质量的中心，是物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。有质量
的物体就有质心。
（10） 形心 物体的几何中心，有体积的物体就有形心
（11） （重心） 即重力作用中心，是假定该物体的重力集中于改点。有地球引力的情况
下才有重心可言。
三心之间的联系：
重力分布均匀时，即当物体的尺寸比地球半径小得多时，质心和重心重合。
物体的密度分布均匀时，质心和形心重合。
重力分布和密度分布均匀时，三者重合。
若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,
则它的质心坐标为

其面密度
为
?
(x,y),

x
?
(x,y)dxdy
??
M
x?

?
??
?
(x,y)dxdy
M
D
y
D< br>y
?
(x,y)dxdy
??
y?

??
?
(x,y)dxdy
D
D
?
?常数时,
得D 的形心坐标:
??
x?
D
xdxdy
A
,

??
y?
D
ydxdy
A
(A 为 D 的面积)
平均值
1. 函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的平均值 公式：
y?
1
b
f(x)dx

?
a
b?a
2. 函数
f(x)
关于权函数
?(x)
在区间
[a,b]
上的加权平均值公式：
f
?
?
b
a
f(x)
?
(x)dx
?
?
(x)d x
a
b

1
b
2
f(x)dx
3. 函 数
f(x)
在区间
[a,b]
上的均方根：
b?a
?
a

例 设有一半径为
R
， 中心角为
?
的圆弧形细棒， 其线密度为常数
?
， 在圆
心处有一质量为
m
的质点
M
， 试求这细棒对质点
M
的引力。
解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系。
解：建立如图所示的坐标系，质点
M
位于坐标原点，
该圆弧的参方程为
?
x?Rcos
?
??
(??
?
?)
< br>?
22
?
y?Rsin
?
在圆弧细棒上截取一小段，其长度为
ds
，它的质量为
?
ds
，到原点的距离为
R
，其 夹角为
?
，它对质点
M
的引力
?F
的大小约为
?F ?k?
m
?
ds
R
2

?F
在水平方向( 即
x
轴)上的分力
?F
x
的近似值为
?F
x
?k?
而
ds?
m
?
ds
R
2
cos
?

(dx)
2
?(dy)
2
?Rd
?

于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力
F
x
的元素，
dF
x
?
km
?
cos
?
d
?

R
??
22
故
F
x
km
?< br>2km
??
?
?
dF
x
?
?
cos
?
d
?
?sin

R2
??
R
?
2
?
2
?
2
?
2
km
?
类似地
F
y
?
?
dF
y
?
?
sin
?
d
?
?0

??
R
?
2
?
2
因此，引力的大小为
2km
??
sin
，而方 向指向圆弧的中心。
R2