军人体型标准计算公式幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案

2020年11月5日发(作者：夏爵一)

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作
logaN=b，
其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．

练习1 把下列指数式写成对数形式：

练习2 把下列对数形式写成指数形式：

练习3 求下列各式的值：

因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．

因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．
师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？
生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．
师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）
生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．
师：要特别强调的是：零和负数没有对数．
师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？
生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为 0时，
b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有 无数个值；若a=1，N
不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不 唯一的，即log11有无数多个值．因
此，我们规定：a＞0，a≠1．
师：（板书）对数 logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自
然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．
练习4 计算下列对数：
lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log5112 5．
师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．
生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．
生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．
生：10lg105=105．
生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．
alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）
证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N．
师：你是根据什么证明对数恒等式的？
生：根据对数定义．
师：（分析小结）证明 的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知

识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式 ，
从而转化成对数等式，再进行证明．
师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．
生：a＞0，a≠1，N＞0．
师：（板书）2log28=？2log42=？
生：2log28=8；2log42=2．
师：第2题对吗？错在哪儿？


师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？
生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式
alogaN=N．
师：负数和零有没有对数？并说明理由．
生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所 以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是
什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b =logaN可以看到，负数和零没有对数．
师：（板书）性质1：负数和零没有对数．
师：1的对数是多少？
生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．
师：（板书）1的对数是零．
师；底数的对数等于多少？
生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．
师：（板书）底数的对数等于1．
生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an= am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am
÷an=am-n．还有（am）n=amn；

师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）
（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即
loga（MN）=logaM+logaN．
（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）
师：（分析）我们要证明这个运算 法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义
和性质，显然性质不能证明此式 ，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算
法则加以证明，因此，我们 首先要把对数等式转化为指数等式．
师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以
M·N=ap·aq=ap+q，
所以 loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．
即 loga（MN）=logaM+logaN．

师：这个法则的适用条件是什么？
生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．


生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．
师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？
生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．
师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．
师：（板书）log62+log63=？
生：log62+log63=log6（2×3）=1．
师：正确．由此例我们又得到什么启示？
生：这是法则从右往左的使用．是升级运算． 师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！
师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．

师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．
（给学生三分钟讨论时间．）
生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以


师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想， 在证明法则（2）时，我
们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其 它证明方法？
生：（板书）

师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚 刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书
上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难 为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在
学习新概念、新公式时常常用到，而且在解 题中的应用更加广泛．
师：法则（2）的适用条件是什么？
生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．


师：（板书）lg20-lg2=？

师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．
例1 计算：



生：（板书）
解
（1）log93+log927=log93×27=log981=2；

（3）log2（4+4）=log24+log24=4；

（由学生判对错，并说明理由．）
生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）

生：第（3）题错！法则（1）的内容是：


生：第（4）题错！法则（2）的内容是：


生：首先，在同底的情况下 才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的
对数的情况下，才能 从左往右运用运算法则（1）、（2）．
师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即
loga（N）n=n·logaN．
师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证
Nn=an·logaN=（a·logaN）n，
只需证 N=alogaN．

由对数恒等式，这是显然成立的．
师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有
N=alogaN．
所以 Nn=（alogaN）n=an·logaN．



根据对数的定义有
loga（N）n=n·logaN．
师：法则（3）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
生：从左往右仍然是降级运算．
师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．
错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．
正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．
师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即



师：法则（4）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师 ：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）
例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：

解





（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）
例3 计算：

解
（1）log2（47×25）=log247+log225=7l og24+5log22=7×2+5×1=19．