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气缸拉力计算公式模拟信号带宽与傅里叶变换

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-07 03:45
tags:信号带宽计算公式

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2020年11月7日发(作者:景辛农)
模拟信号带宽与傅里叶变换


模拟信号的带宽就是一个模拟信号的频谱宽度 ,就是最高的频率分量-最
低的频率分量,我也觉得这个定义很抽象,所以本文试图形象化的解释一下模
拟信号的带宽,因为通信工程中涉及最多的就是声音信号,所以我们以声音
信号为例子解释一下 模拟信号带宽的问题。
很好的理解模拟信号带宽的一个预备知识是傅里叶变换,我认为傅里叶
变换是现代科学里面非常重要的一个基础,我也理解的不是很深刻。学过高等
数学的人都知道傅里叶级数 ,傅里叶级数就是傅里叶变换的基本数学形式。
下面通过声音简单介绍一下为什么傅里叶变换在通信领域 如此的重要,傅里
叶变换告诉我们,任何形式的周期函数都可以转换成正弦函数的叠加,我们
应 该理解这个道理:波的图像本质上就是一个函数,我们学习数学函数的目
的就是为了学习处理各种波动, 因此本文波和函数在本质上基本是等同
的。通信领域传输的有用波形都是周期波形(后面会简单介绍为什 么通信领域涉
及的都是周期函数),傅里叶级数提供了一种理论,这种理论把一个复杂的周期
函 数分解成简单的正弦函数,所以在通信领域提供了一种复杂问题简单化的
重要手段。其实我们解决问题的 唯一手段也就是简单化、平民化,讲天书的
教授属于外星人。
我们知道通信工程中,最先解决 的实质问题就是传递声音,电话通信网
应该是世界最早的也是最大的通信网络,一般来说通信工程涉及的 内容都是从
电话网开始的。所以,我们先大致了解一下声音的特点。声音本质上是一个
机械波, 它是依靠物体振动发声,在某种介质中传播,因此声音无法在真空中
传递(因为真空是一种无介质状态) 。这个规律就告诉我们,我们可以把声音还
原成波形来研究,那么如果用波的观点来看声音,会带来什么 变化呢?
1、如果是一个固定频率的正弦波,那么这种声音就叫做纯音,在音乐
里面很好理解 ,每个音符就是一个纯音,数学表达式:每个音符=固定频率的
一个正弦波。这里面有一个重要的概念, 纯音的幅度并不决定音调,对声音的
响度有更大的影响。简单化说明,如果我们把收音机的音量无论调大 或者是调
小(在能听见的范围内),音乐总还是这个音乐,不会变成另外一个音乐。
2、由纯 音叠加出来的波形,就叫做复合音,自然界当然大部分都是
复合音了,很明显复合音也是周期波形高等数 学告诉我们,周期函数的加
减乘除还是周期函数)。一首乐曲就是由纯音叠加出来的复杂的周期波形。
3、那么世界上就没有非周期波形的声音了吗?当然有了。非周期波形
的声音就是噪声。在物理 学上噪声就是无规律振动导致的非周期波形,当然
在日常生活中就没这么严格了,一个音乐如果你烦也可 以称之为噪声。但是无
规律的振动导致的非周期波形一定是让人不舒服的声音,因此非周期波形是噪声在日常生活中也是对的。
我是一个五音不全的人,但是当我知道音乐这个东西在数学里面居然可
以演绎成波形的叠加之后,我更惊叹造物主的神奇。我能记得住简谱,但是
不认识五线谱,虽然 我的发音装置属于有缺陷的那类人,不过这不能妨碍我对
音乐的热爱,这个就是科学带给我的乐趣所在, 智慧让我更敬畏神圣,如此复
杂美妙的东西在他那里竟然会变得如此的简单,当我们在聆听和感受音乐带
给我们的享受的同时,无处不在的能体会到大自然的神奇。尊重生命、敬畏神
圣、珍惜自然的态 度便能带给我们无穷的力量。
通过对上面声音特点的分析,我们不难得出这样的结论:通信的本质就是
传递复合音,也就是要传递一个复杂的周期波形,同时过滤掉噪声。我
们换个角度来看问题,如 果发生源发出的就是一个复合音,不带噪声。那么
通信的本质就变成这样了:传递周期性的复合音,避免 通信途中引入噪声。
本文只涉及第一个问题:如何传递周期性的复合音
花点时间,复习一下余玄 函数。cos(x)=sin(x+π2),余弦函数和正弦函
数是一样的波形,仅仅是相位差了二分之 一π,他们的周期都是2π。从波形
上看,正弦函数和余弦函数正好是波峰对谷底、谷底对波峰的两个波 ,换句话
说正弦函数可以非常容易的表示余玄函数。我们再复习一下正弦函数,决定一
个正弦函 数波形的参数有什么呢?(注:教科书上定义正弦函数就是
f(x)=sin(x),为了表述简单,我 们不用这么严格的概念,我们把一个正弦波形
都叫正弦函数了)。
任何形式的正弦波都可以用 下面的函数来表示:f(x)=A*sin(nx+m)。从这
个函数中我们可以得到,影响一个正弦函 数波形的几个因素如下:
1、周期:(n这个参数决定周期),直观来看,周期决定着波形的密度,< br>标示周期常用的另外一个名称是频率,频率=周期的倒数。周期越短、频率越
高、波形越密。
2、振幅:(A这个参数决定振幅),直观来看,振幅决定着波形的强度。
3、位移:(m这 个参数决定位移),直观来看,位移决定着波的起始位置。
如果两个波的周期和振幅一致,平移其中一个 波(平移m这么长),那么这两个
波就重叠了。
通过对上面的参数分析,如果不考虑波的移动 速度和开始时间,则周期、
振幅是两个衡量波形的重要指标了。再回到声音的特点,音符的频率是决定音符的唯一标准(我们并不是说谁的嗓门大,谁就能唱出更高音,而是谁的音
域更宽才能唱出更高 音),所以我就得到了一个重要的结论,我们可以用频率
唯一标示一个纯音,也就是说在声音领域,我们 用频率一个参数就完全标
识了一个音符,然后用这些音符就可以构成一个美妙的音乐。另外一个直观的< br>科学常识是:人耳能听见的声音频率在20Hz~20KHz之间,低于20Hz的称为次
声波, 高于20KHz的称为超声波,所以对声音的描述频率的重要度远远高于
幅度,同样的道理在研究波、通 信等领域里面,频率是非常重要的一个自变
量。我们从波的图像上也很容易形象的理解这个问题,幅度仅 仅是说在纵坐标
上,两个波哪个振动的更猛烈,而频率决定振动的宽度。所以我们得到一个重
要 的结论:研究正弦波,本质就是研究其频率。
好了,理解了声音就是由正弦波构成的复杂周期波形这个 道理之后,我
们再回头看傅里叶变换,看看大师带给我们美妙的生活。傅里叶,1768年生
于 法国,1807年提出任何周期信号都可用正弦函数级数表示,这就是傅里叶
伟大而平凡的发现。(看看 傅里叶出生的年代确实令我汗颜,200年以后居然我
还没有完全理解前人的思想,而我们居然还自诩是 高度的文明,聪明的民族,
科技飞速的发展)
下面是傅里叶级数的展开公式:
其中 ,函数f(x)是一个周期为2π的周期函数,等式的右边明显就是一
个正弦函数和一个余玄函数,而且 这两个函数的周期都是一样的。傅里叶
级数本质告诉我们,任何一个复杂的周期函数都可以分解成k个正 弦函数和余
玄函数的和。我们先不看a和b了,因为前面说过对正弦波的研究,频率比振
幅重要 ,这里唯一提醒大家的是,a、b有可能为0,就意味着这个频率的波可
能没有。
我们只来看 看k这个数字。我们发现,分解开来的正弦函数、余玄函数的
周期都是和级数相关的。比如当k=2的时 候,f(x)就展开成如下等式(先不考虑
a、b参数):
(cos1x+sin1x)+(cos2x+sin2x)
这个等式就是分析复杂周期波的 重要精髓,我们可以发现,一个复杂的周
期波原来通过傅里叶级数展开,变成一个有规律的数列,每个波 的频率分别是:
2π、2π2、2π3….我们再引申一下,对于周期为T的周期函数,傅里叶
展开之后的每个波的频率是多少呢?当然是T、T2、T3。
我们就得到一个很有意思的规律,傅里叶 展开之后第一个波和原始波
的频率相同,所以在物理学上第一个波也叫做基波,后面的序列也叫做谐波< br>,这样我们就把一个复杂波的运算化解为了一个频率运算,因此这个过程很
多地方叫做频谱分析。 非常明显,基波是周期最长的分量同时也是频率最低
的分量。这个时候可能有人会好奇,傅里叶级数k到 底取多少算完呢?这个地方
涉及一个定理,狄里赫利收敛定理,他给出了傅里叶级数收敛的判断条件,满
足狄里赫利条件的函数,傅里叶级数都可以收敛。
好了,我们回到文章的开头。什么是模拟信 号的带宽呢?通过傅里叶级数展
开一个周期性的模拟信号,最高的频率减去最低频率就是这个模拟信号的 带宽!

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