牛顿第二定律所有公式工程问题公式

2020年11月7日发(作者：申希礼)
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工程问题公式
（1）一般公式：
工效×工时=工作总量；工作总量÷工时=工效；工作总量÷工效=工时。
工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷ 工作时间＝工作效率
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间=单位时间完成工作总量的几分之几；
1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工
作 总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问
题，计算将变得比 较简便。）
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数
总数÷总份数＝平均数
2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数
3、 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
6、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
7、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
8、 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
数学图形计算公式
1、正方形：C-周长 S-面积 a-边长
周长＝边长×4 C=4a
面积=边长×边长 S=a×a=a2
2、正方体：V-体积 a-棱长
表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6=6a2
体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=a3
3、长方形: C-周长 S-面积 a-边长
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab
4、长方体:V-体积 S-面积 a-长 b-宽 h-高
表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)
体积=长×宽×高 V=abh
5、三角形:S-面积 a-底 h-高
面积=底×高÷2 S=ah÷2
三角形高=面积×2÷底
三角形底=面积×2÷高
6、平行四边形：S-面积 a-底 h-高
面积=底×高 S=ah
7、梯形：S-面积 a-上底 b-下底 h-高
面积=(上底+下底)×高÷2
8、圆形：S-面积 C-周长 ∏-圆周率 d-直径 r-半径
周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=∏d=2∏r
面积=半径×半径×圆周率 S=∏r2
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9、圆柱体：V-体积 h-高 S-底面积 r-底面半径 C-底面周长
侧面积=底面周长×高 S侧=Ch
表面积=侧面积+底面积×2 S表=S侧+2∏r2
体积=底面积×高 V=∏r2h
体积＝侧面积÷2×半径
10、圆锥体：V-体积 h-高 S-底面积 r-底面半径
体积=底面积×高÷3
和差问题的公式
（和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数
和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数)
差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数) 植树问题
1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数
盈亏问题
（盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
（大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
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溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
长度单位换算
1千米（km）=1000米(m) 1米(m)=10分米(dm) 1分米(dm)=10厘米(cm) 1米
(m)=100厘米(cm) 1厘米(cm)=10毫米(mm)
面积单位换算
1平方千米(km2)=100公顷(ha) 1公顷(ha)=10000平方米(m2) 1平方米
(m2) =100平方分米(dm2)
1平方分米(dm2)=100平方厘米(cm2) 1平方厘米(cm2)=100平方毫米(mm2)
体(容)积单位换算
1立方米(m3)=1000立方分米(dm3) 1立方分米(dm3)=1000立方厘米(cm3) 1立方
分米(dm3)=1升(l)
1立方厘米(cm3) =1毫升(ml) 1立方米(m3) =1000升(l)
重量单位换算
1吨(t)=1000 千克(kg) 1千克(kg)=1000克(g) 1千克(kg)=1公斤(kg)
人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月
小月(30天)的有:46911月
平年 2月28天, 闰年 2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时（h） 1小时（h）=60分（s） 1分（min）=60秒（s） 1
小时（h）=3600秒（s）
]

追击问题公式
相向而行）：追及路程追及速度和=追及时间 （

同向而行）：追及路程追及速度差=追及时间
追及距离除以速度差等于追及时间.追及时间乘以

速度差等于追及距离.追及距离除以追及时间等于

速度差. 追及：速度差×追及时间=追及路程

追及路程÷速度差=追及时间(同向追及)

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甲路程—乙路程=追及时相差的路程相遇：相遇路

程÷速度和=相遇时间 速度和×相遇时间=相

遇路程速度差×追及时间=追及路程 追及路程

÷速度差=追及时间(同向追及) 甲路程—乙

路程=追及时相差的路集合我所搜到的答案
基本容 工程问题是小学数学应用题教学中的重

点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象

逻辑思维能力的重要工具。它是函数一一对应思想

在应用题中的有力渗透。工程问题也是教材的难点

。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题

，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

因此，在教学中，如何让学生建立正确概念是

数学应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题

的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概

念。

联系实际谈话引入。引入设悬，渗透概念。目

的在于让学生复习理解工作总量、工作时间、工作

效率之间的概念及它们之间的数量关系。初步的复

习再次强化工程问题的概念。

通过比较，建立概念。在教学中充分发挥学生

的主体地位，运用学生已有的知识“包含除”来解

决合作问题。

合理运用强化概念。学生在感知的基础上，于
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头脑中初步形成了概念的表象，具备概念的原型。

一部分学生只是接受了概念，还没有完全消化概念

。所以我编拟了练习题，目的在于通过学生运用，

来帮助学生认识、理解、消化概念，使学生更加熟

练的找到了工程问题的解题方法。在学生大量练习

后，引出含有数量的工作问题，让学生自己找到问

题的答案。从而又一次突出工程问题概念的核心。

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，

完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工

作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的

基本数量关系是 ——工作量=工作效率×时间.

在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应

用题，我们都叫做“工程问题”.

举一个简单例子.：一件工作，甲做10天可完

成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算

作1.所谓工作效率，就是单位时间完成的工作量

，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位

，

再根据基本数量关系式，得到

所需时间=工作量÷工作效率

=6（天）?
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两人合作需要6天.

这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的

许多例子都是从这一问题发展产生的.

为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），

如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.

还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作

量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.

两人合作所需天数是

30÷（3+ 2）= 6（天）

数计算，就方便些.

∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成

反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当

知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，

也

需时间是

因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常

教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重

于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我

们的解题思路更灵活一些.

一、两个人的问题

标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两

个队等等的两个集体.
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例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天

可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续

完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

答：乙需要做4天可完成全部工作.

解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量

是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成

余下工作所需时间是

（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.

解三：甲与乙的工作效率之比是

6∶ 9= 2∶ 3.

甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工

作所需时间是6-2=4（天）.

例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完

成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40

天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要

多少天？

解：共做了6天后，

原来，甲做 24天，乙做 24天，

现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.

这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天

来代替.因此甲的工作效率

如果乙独做，所需时间是
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如果甲独做，所需时间是

答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做

28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天

完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完

成，那么乙还需要做多少天？

解：先对比如下：

甲做63天，乙做28天；

甲做48天，乙做48天.

就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48

-28=20（天），由此得出甲的

甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（

天），相当于乙要做

因此，乙还要做

28+28= 56 （天）.

答：乙还需要做 56天.

例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队

单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了

2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.

问开始到完工共用了多少天时间？

解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完

成工作量
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余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数

是

2+8+ 1= 11（天）.

答：从开始到完工共用了11天.

解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份

，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做

2天之后，还需两队合作

（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）

.

解三：甲队做1天相当于乙队做3天.

在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-

8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）

.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）

工作量.

4=3+1，

其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合

作1天.

例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队

单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队

休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用

了16天.问乙队休息了多少天？

解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工
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作量是

由于两队休息期间未做的工作量是

乙队休息期间未做的工作量是

乙队休息的天数是

答：乙队休息了5天半.

解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份

，乙每天完成2份.

两队休息期间未做的工作量是

（3+2）×16- 60= 20（份）.

因此乙休息天数是

（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.

解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.

甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.

如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作

量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是

16-6-4.5=5.5（天）.

例6 有甲、乙两项工作，单独完成甲工作要

10天，单独完成乙工作要15天；单独完成甲工

作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作

都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需

要多少天？

解：很明显，做甲工作的工作效率高，做
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乙工作的工作效率高.因此让先做甲，先做乙.

设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数

），每天完成4份，每天完成3份.

8天，就能完成甲工作.此时还余下乙工作

（60-4×8）份.由、合作需要

（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

8+4=12（天）.

答：这两项工作都完成最少需要12天.

例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15

天，如果两人合作，他

要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少

，那么两人要合作多少天？

解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成

3份，乙每天完成2份.

两人合作，共完成

3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.

因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工

作效率较高的甲.因为要在8天完成，所以两人合

作的天数是

（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.

很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.

例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲
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的工作效率比单独做时快

如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多

少小时？

解：乙6小时单独工作完成的工作量是

乙每小时完成的工作量是

两人合作6小时，甲完成的工作量是

甲单独做时每小时完成的工作量

甲单独做这件工作需要的时间是

答：甲单独完成这件工作需要33小时.

这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理

.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算

简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙

每

有一点方便，但好处不大.不必多此一举.

二、多人的工程问题

我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题

要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是

差不多.

例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，

乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60

天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

解：设这件工作的工作量是1.
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甲、乙、丙三人合作每天完成

减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完

成

答：甲一人独做需要90天完成.

例9也可以整数化，设全部工作量为180份，

甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份

，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会

方便些？

例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18

天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，

然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍

，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍

，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（

天）.

说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做

2×6=12(天），三人一共做了

2+6+12=20（天）.

答：完成这项工作用了20天.

本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24

这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工

作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完
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成3.总共用了

例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13

天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由

甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少

天？

解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙

的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲

、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，

相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3

倍.

他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲

需要

答：甲独做需要26天.

事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率

之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合

作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的

工作量，可转化为甲再做13天来完成.

例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙

组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作

多少时间能完成这项工作？

解一：设这项工作的工作量是1.

甲组每人每天能完成
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乙组每人每天能完成

甲组2人和乙组7人每天能完成

答：合作3天能完成这项工作.

解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完

成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.

现在已不需顾及人数，问题转化为：

甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完

成？

小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二

是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就

能得出答数.

例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如

果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间

与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间

一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件

2400个.问丙车间制作了多少个零件？

解一：仍设总工作量为1.

甲每天比乙多完成

因此这批零件的总数是

丙车间制作的零件数目是

答：丙车间制作了4200个零件.

解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全
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部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每

天完成5份，由此得出乙每天完成2份.

乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份）

，丙完成30-16=14（份），就知

乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.

已知

甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.

综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

12∶8∶7.

当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是

2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）.

例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，

乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B

，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开

始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个

仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在

相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.

解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓

库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一

个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每
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小时搬运 5，丙每小时搬运4.

三人共同搬完，需要

60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.

甲需丙帮助搬运

（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.

乙需丙帮助搬运

（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.

三、水管问题

从数学的容来看，水管问题与工程问题是一

样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量

或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水

量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，

不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工

程问题的解题思路基本相同.

例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水

池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过

3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入

0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

解：甲每分钟注入水量是 ：（1-19× 3）

÷10=115

乙每分钟注入水量是：19-115=245

因此水池容积是：0.6÷（115-245）=27（
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立方米）

答：水池容积是27立方米.

例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等

.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的

13，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间

注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增

开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开

了几根水管？

分析：增开水管后，有原来2倍的水管，注水

时间是预定时间的1-13=23，23是13的2倍，

因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时

间注水量的4倍。设水池容量是1，前后两段时间的

注水量之比为：1：4，

那么预定时间的13（即前一段时间）的注水

量是1（1+4）=15。

10根水管同时打开，能按预定时间注满水，每

根水管的注水量是110，预定时间的13，每根水

官的注水量是110×13=130

要注满水池的15，需要水管15÷130=6（

根）

解：前后两段时间的注水量之比为：1：

[（1-13）÷13×2]=1：4
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前段时间注水量是：1÷（1+4）=15

每根水管在预定13的时间注水量为：1÷10

×13=130

开始时打开水管根数：15÷130=6（根）

答：开始时打开6根水管。

例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁

两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单

开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要

4小，丁管需要6小时，现在水池有六分之一的水

，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打

开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

分析：

，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.

以后（20小时），池中的水已有

此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一

只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井

口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙

需要多少小时才能爬到井口？

看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但

爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到

达井口.

因此，答案是28小时，而不是30小时.
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例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如

果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果

打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打

开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.

2小时半比1小时半多60分钟，多流入水

4 × 60= 240（立方米）.

时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水

量是

240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米

），

8个水龙头1个半小时放出的水量是

8 × 8 × 90，

其中 90分钟流入水量是 4 × 90，因此原

来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（

立方米）.

打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除

去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存

的5400，需要

5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.

答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.

水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的
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水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中

原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每

小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池

水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果

打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两

管，要几小时才能将满池水排空？

解：设满水池的水量为1.

A管每小时排出

A管4小时排出

因此，B，C两管齐开，每小时排水量是

B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是

答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满

池水排完.

本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗

入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作

量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”

.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，

把原有水设为8与12的最小公倍数 24.

17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍

算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这

是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和
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例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长

出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、

水管排出的水量，是完全类同的.

例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且

长得一

草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多

少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？

解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数

×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛

每星期吃草量”作为草的计量单位.

原有草+4星期新长的草=12×4.

原有草+9星期新长的草=7×9.

由此可得出，每星期新长的草是

（7×9-12×4）÷（9-4）=3.

那么原有草是

7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.

对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草

的总量是

这些草能让

90×7.2÷18=36（头）

牛吃18个星期.

答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.
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例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“

新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的

”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一

个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水

排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之

间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一

条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？

“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面

目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.

例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场.

从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样

多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，

如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一

个观众到达时间是8点几分？

解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个

计算单位.

从9点至9点9分进入观众是3×9，

从9点至9点5分进入观众是5×5.

因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟

来的观众是

（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.

9点前来的观众是
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5×5-0.5×5=22.5.

这些观众来到需要

22.5÷0.5=45（分钟）.

答：第一个观众到达时间是8点15分.

挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲

队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的

310，两队单独挖各需几天？

分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共310-

16=430

2÷(310-16)

=2÷430

=15(天)

1÷(16-115)=10(天)

答:甲单独做要15天,乙单独做要10天 .

.一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时

间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成

。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚

好在规定日期完成。若甲乙二人合作，完成工作

需多长时间？

解设:规定时间为X天.(甲单独要X-2天,乙单

独要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天)

1(X-2)×2 + X(X+3)=1
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X=12

规定要12天完成

1÷[1(12-2)+1(12+3)]

=1÷(16)

=6天

答:两人合作完成要6天. 例：一项工程，甲

单独做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要

48天完成。甲先做42天，乙做还要几天？答：设

甲的工效为x,乙的工效为y

63x+28y=1

48x+48y=1

x=184

y=1112

乙还要做（1-4284）÷（1112）=56（天）

工程问题公式】

（1）一般公式：

工效×工时=工作总量；

工作总量÷工时=工效；

工作总量÷工效=工时。

（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问

题的公式：

1÷工作时间=单位时间完成工作总量的几分
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之几；

1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。


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