诺亚幻想公式时间正多边形和圆

2020年11月7日发(作者：曹维廉)


正多边形和圆、弧长和扇形面积

撰稿：庄永春 审稿：邵剑英 责编：张杨
一、目标认知
学习目标
1．了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的
关系，会
应用正多边形和圆的有关知识画正多边
形．


的圆心角所对的弧长n°和扇形面 2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索 积

的计算公式，并应用这些公式解决问题．
3．了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用
公式解决
问题．

重点
1．正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关
系．



，扇形面积及它们的应用．的圆心角所对的弧长． 2n°
3．圆锥侧面积和全面积的计算公式．

难点与关键
1．正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系
2．弧长和扇形面积公式的应用；由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．
3．圆锥侧面积和全面积的计算公式．

二、知识要点透析
知识点一、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角 相等；缺一不可.
如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形).



知识点二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个 圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正
多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(1)
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算


正ｎ边形每一个内角的度数是； (1)

正ｎ边形每个中心角的度数是； (2)

正ｎ边形每个外角的度数是(3).


知识点三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中
心；当边
数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.





知识点四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆. 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分
圆

用尺规等分圆2.. 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图

知识点五、弧长公式


的圆中半径为R


)(圆的周长公式：360° 的圆心角所对的弧长

的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
n° 要点诠释：

，即的圆心角所对的弧长是圆周长的1°对于弧长公式，关键是要理解(1)

；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可
以求出第
三个量.

知识点六、扇形面积公式
1.扇形定义：
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式：
半径为R的圆中


公式： 圆面积)( 360°的圆心角所对的扇形面积

的圆心角所对的扇形面积公式： n°
要点诠释：


的扇形面积是圆面积的1°，即 (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是

；
(2)在扇形面积公式中 ，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两
个量就可
以求出第三个量.




扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 (3)


有点类
似，可类比记忆；


扇形两个面积公式之间的联系：.
(4)
知识点七、圆锥的侧面积和全面积
.
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线


，则n°，侧面展开图中的扇形面积圆心角为r，底面半径为圆锥的母线长为


，全面积圆锥的侧面积 .
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线 ，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就
是求展开图扇形面积，全面积是由侧面 积和底面圆的面积组成的.

三、规律方法指导
1．首先要结合图形真正理解掌握正多边形及其相关的一些概念；
2．在进行正多边形的有关计算时，要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角
三角形结
合勾股定理进行计算；
3．注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形；
4．注意弧长公式中，n表示1°的 圆心角的倍数，n和180都不带单位，若圆心角的单位不统
一，应先统
一单位，化为度；


．扇形面积公式与三角形面积公式类似.把弧长看作底， 5R看做高就比较容易记忆了；
6．对组合图形面积的计算问题，应认真全面观察和分析图形，避免拿起题目就盲目乱经典例
题透析 .做类型一、正多边形的概念




1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，若分别以A、B、 C、D为圆心，以
OA长为半径作弧，分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点.
求证：八边形EFGHKLMN是正八边形.




思路点拨：欲证八边形EFGHKLMN是正八边形，依据定义，只要证它的各角相等(都为135 °)，
各边也相等.


，则 的边长为a证明： 设正方形ABCD







同理可证










同理可证
∴八边形EFGHKLMN 的各边相等
而△BFG、△CHH、△DML、△AEN 都是等腰直角三角形，
由三角形的外角性质可得此八边形的每个内角都为90° +45°=135°
∴八边形 EFGHKLMN 是正八边形.








2.已知：如图，△ABC是⊙O 的内接等腰三角形，顶角∠A=36°，弦 BD、CE分别平分∠ABC、
∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形
解：∵△ABC是等腰三角形，顶角∠A=36°，
∴∠ABC=72°，∠ACB=72°，
又弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=∠BAC=36°



∴五边形AEBCD是正五边形.

类型二、正多边形的有关计算


3.已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a ，?求正六边形的周长和面
积．



思路点拨：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件 < br>是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB
于 M，在Rt△AOM?中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六
块正三 角形面积组成的．
是正六边形，ABCDEF如图所示，由于解：

所以它的中心角等于，
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，所求的正六边形的周长为6a





AB=AM=中，OA=a， 在Rt△OAM 利用勾股定理，可得边心距


OM=



OM=.
=6×× ∴所求正六边形的面积AB×
举一反三：
【变式1】已知，如图，正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的⊙O，求这个八边形的面积.
解：如图，分别连结OA，OC及AC



AOC=90°，∠ AC⊥OB由正八边形的对称性，则













探究思考：
a=?


这个八边形的边长


时，OA=R 提示：如图所示，当










.


类型三、考查弧长和扇形的计算


4.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，?试计算如图所示的


的长(结果精确到0.1mm)
管道的展直长度，即





的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．要求 思路点拨：
解：R=40mm，n=110






=≈76.8=(mm)
的长∴ 因此，管道的展直长度约为76.8mm．




，求的长(?结果精确到的半径为10，∠AOB=60° 0.1) 5.如图，已知扇形AOB0.1).
AOB的面积(结果精确到和扇形


思路点拨：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满
足．



=的长 解：

= S
扇形

．52.4的面积为 因此，AOB，扇形10.5的长为
举一反三：










，】如图，为，交的直径，于点 【变式1于点

于
点．

请写出三条与(1) 有关的正确结论；



， (2)当 时，求圆中阴影部分的面积．
解：(1)答案不唯一，只要合理均可．例如：




③； ②； ； ①



是等腰三角⑤是直角三角形； ； ④⑥
形．



，则． (2) 连结



． ，，






的直径， ．为





， ．中，， 在

．

，




的中位线．， 是


．


．


．


．

类型四、圆锥面积的计算




6. 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周 长为58cm，高为
2
20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果 精确到0.1cm)
思路点拨：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面
积．


，母线长为，则 解：设纸帽的底面半径为rcm


(cm)



22.03(cm)



=×58× S22.03=638.87(cm)

2
纸帽侧2
638.87×20=12777.4(cm)

所以，至少需要12777.4cm的纸．

举一反三：



，母线长.计算这个烟囱 【变式1】如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是
.
帽侧面展开图的面积及圆心角



思路点拨：烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面的周长.








，.
解：设扇形的半径为，则，弧长为，圆心角为

∵


∴

∴



，面积是烟囱帽侧面展开图的圆心角是.
答：



ABC的斜边AB=13cm，一条直角边】如图，已知Rt△AC=5cm， 【变式2以直线AB为轴旋
转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
思路点拨：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为

两个圆锥的侧面积之和．根据可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径.
解：在Rt△ABC中，AB=13cm，AC=5cm，
∴BC=12cm．
∵OC·AB=BC·AC(由三角形面积得)，




∴．


∴


学习成果测评 .所以，这个几何体的表面积为
基础达标
一、选择题
1．若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是( )
A.4 B.6 C.8 D.12

2．下列说法：①各边相等的圆内接多边形必为正多边形；②各角相等的圆内接多边形必为正
多边形；
③各边相等的圆外切多边形必为正多边形；④各角相等的圆外切多边形必为正多边形.其中
正确的
个数是( )
个D.4 个C.2 个B.1 个A. 0




，则的值等于，内切圆的半径为 3( )
．若正三边形的外接圆的半径为





D. C. A. B.



4．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是( )
A.60° B.45° C.30° D.22.5°




5．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，?则这段弧所对的圆心角为( )
A.18° B.36° C.72° D.144°

6．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是( )





D.6 C.5A.3 B.4

7．如图所示，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另
一个圆的圆
心，则游泳池的周长为( )








m
D.24 B.18m m C.20A.12 m

8．圆锥的母线长为13cm ，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为( )
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm



9．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是（ ）





D.16 B.9 C.12 A.6

10．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80c m，
母线长
为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为( )
A.228° B.144° C.72° D.36°

二、填空题
_______.
，则它的内切圆面积为a．已知正六边形边长为11

12．如图，有一 个边长为2cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个
圆形纸片的
最小半径是________.






．如果一条弧长等于，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______ 13，当圆心角增
加
30°时，这条弧长增加________.




的长是的长的_____．如图所示，OA=30B倍，则.
14







．母线长为，底面半径为r15的圆锥的表面积=_______.



，面积是，扇形的圆心角为_____°．已知扇形的半径为2cm，扇形的弧长是 16______cm．

17．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm， 以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是
__________.(用


含的代数式表示 )

18．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为 36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油
毡，如果按
2

用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m的油毡.

三、解答题


6cm，的周长等于?求以它的半径为边长的正六边形ABCDEFO?． 1如图所示，?已知⊙.
的面积







的长为R，⊙O′和，OA、OB2 分别相．已知如图所示，所在圆的半径为R切于点C、E，且
与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长.









AD=，将AB=1，3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，
画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置(A′点转在对角线BD上)，求屏幕被着色
的 面积.








.(1)求扇形的弧长．面积为4．(2)如图已知扇形的圆心角为，若将此扇形
卷成一个圆锥，则这个圆锥的底面面积为多少？





能力提升
一、选择题
1．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是( )
A.36° B.60° C.72° D.108°



的一边放在定直线ABCD的正方形上，按顺时针方向绕点2 ．如图所示，把边长为2D旋转到
如图的位
( )
所经过的路线长度为B′运动到点B置，则点








D. B. A.1 C.
3．如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（ ）



D. C.3： A.6：1 1B.

4．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，?从点A出 发绕侧面
一周，再回
到点A的最短的路线长是( )







C. D.3
B. A.






．将其绕．如图，在，中， 5点顺时针旋转一周，则分

别以 为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（ ）











D. C. A. B.




．曲线… 6．如图，叫做“等腰直角且是等腰直角三角形， 三角形的渐开




，的圆心依次按，…，那么”线 ，其中

循环．如果，

曲线

和线段 ） 围成图形的面积为
（．









． C
B． A ．


．D

二、填空题

，面积为，则内切圆的半径为．已知正多边形的周长为12cm__________.
7
8．一个圆内接正六边形与内接正方形面积之差为4，则此圆的面积为__________.

9．已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为__________.（弓形的弧为劣弧）

10．已知圆锥体的侧面积是底面积的3倍，则圆锥的侧面展开图的圆心角为__________.

三、解答题
11．已知⊙O的半径为R，求它的内接正三角形ABC的内切圆的内接正方形DEFG的面积.





12．如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO=4cm，∠APB=60°，求阴影部分的.
周长






13．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；


，1是正三角形， 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图


，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；




丙同学：我能证明边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形；
……
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；
（2）请你证明，各内角都相等 的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形（不必写已
知、求证）；




（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）.

14．如图，已知直角扇形AOB，半径OA=2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过



.
围成的阴影部分面积MP与半圆弧及，求P于交AO∥MP引
M．






答案与解析
基础达标
一、选择题
1.C
点 拨：本题用多边形的外角和为一定值360°，正多边形的每个外角可用360除以边数得到，
然后求出 外角的补角就是每一个内角来列方程比较简单，设正多边形为n边形，则

，解得n=8.

2.C
点拨：①各边相等的圆内接多边形，各边所对的中心角相等， 各顶点必平分圆，所以得到的多
边形必为为正多边形，①正确；②各角相等的圆内接多边形不一定为正多 边形，如长方形各角为
直角相等，以对角线的交点为圆心到顶点的距离为半径的圆就是外接圆，长方形是 这个圆的内接
各角相等的四边形，但不是正四边形，所以②错；③各边相等的圆外切多边形不一定为正多 边形，
如菱形就是它内切圆的外切各边相等的四边形，却不是正四边形，所以③不对；④各角相等的圆< br>外切多边形必为正多边形是正确地，所以选C.
3.A


OC=所以OA.则∠OAB=30°，， 点拨：如图，OA=R，OC=r正三角形的每个内角是60°
A.
选



4.C 5.D 6.B 7.D 8.D

9.C







=12所以圆锥的侧面积r=3=4这里 点拨：如图圆锥的侧面积，，
，
选．
C.




10.C

二、填空题

11.

12.2cm；
点拨：若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这 个圆形纸片的最小半径就是这个正
作，垂足为点M，∠EOM=30°,所六边形的外接圆的半径，如图 已知EF=2cmOE=2EM=EF=2cm.

，
以






15. 14.3 13.45° ，




，； 16.



，弧长为

由扇形面积公式可所在圆的半径为，R 点拨：设扇形的面积为S，


；再根据弧长公式.
得：，解得n=120°

2

17.130cm 18.158.4

三、解答题
1．设正六边形边长为a，则圆O半径为a，



a=3.
，∴a=62由题意得：
如图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，



， AB，垂足为D过O作OD⊥



AB=，AD= 则∠DOA=30°，


OD=cm， 在Rt△ABC中，




.
S ∴
正六边形




上OD O′C，则O′在 2．连结OD、

由，解得：∠AOB=60° ，


的半径，解得⊙O′ Rt 由△OO′C??



的周长为.
，所以⊙ O′
3．连结BD′，设屏幕被着色面积为S，
则S=S+S+S=S+S，
BDD′矩形△ABDABCD扇形BDD′△BC′D′扇形
， A′BD′在Rt△中，A′B=1

A′D′=AD=，
，∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°


.






若将此扇形卷成一个圆(2)；求得，代人R求出由(1)思路点拨：4.


锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求底面圆的半径，即得底面圆的面


积．




，,所以R=30解：（1；）因为 ，



，所以；又因为



=（）2，圆锥底面圆面积


20 所以扇形形的弧长是 ，


圆锥底面圆面积是 .


能力提升
一、选择题
1.C 2.D

3.B





点拨：如图，作等边三角形ABC的高AD，设AB=BC=AC=a ，


AD=，所以等边三角形ABC的面积则BD=，由勾股定理得

=；设正六边形的边长为b，正六边形的中心与各顶点相连将正六边形

；所以正六边形的面积，b每个正三角形的边长为分成六个正三角形，



，选=B.

；
，所以如果面积相等，则
4.C

5.C







中，r=BC，，，这里 点拨：圆环的面积=R=AB，


C.
，，所以选
6.C



和线段 点拨：曲线 围成图形的面积是由三个扇形和一个等腰直角三角形组

=，扇形BDE的面积面成，扇形ACD的积

=，扇形ECF的面积




和线段=围ABC=；△的面积，所以曲线

=，选成图形的面积C.

二、填空题
7.2cm；
点拨：要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念，设正多边形是正n边形，圆半
径为r


，∴正多边形的边长是12cm ∵正多边形的周长是




又∵正多边形的面积是，
2cm.
故应填





8.；
点拨：已知一个圆 内接正六边形与内接正方形面积之差为4，求圆的面积，就要用圆的半径表
示内接正六边形和内接正方形 的面积，如图所示圆内接正六边形中OE=EF=R，所以





=面积OM=；在圆内；所以正六边形的EM=，所以

，所以正方形的面积AC=2R=接正方形中，；因为圆内接正

AB=，所以，OA=R，



=，所以4六边形与内接正方形面积之差为，所以，所以



=圆的面积.



9.；



点拨：如图：∵弓形弦长等于半径R ，∴弓形的弧所对的圆 心角为60°

∴扇形的面积为 .


.
三角形的面积为



故应填.∴弓形的面积为..
即
总结升华：
注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差.本题若没有括
号里的条件，则有两种情况.

10.120°；



=，因为圆锥体的侧面积是底面积的=，底面积 点拨：如图，圆锥的侧面积3





，又因为，所以n=120°.
倍，所以，所以




三、解答题
11.思路点拨：要求正方形的面积就要先求边长，已知的是⊙O的半径为 R，中间有内接正三
角形的内切圆，然后才是内切圆的内接正方形，要找到正方形的边长与R的关系.



解：连结OB、OC，设小圆与BC的切点为 M，连结OM，

OM=，则小圆的直径为DF=R，∴， OC=RMOC=60°BOC=120°BCOM则⊥、∠，∠，∵

，DE=∴由勾股定理得

=. ∴S
DEFG正方形
总结升华：
正多边形与圆的有关计算都会在直角三角形中进行，圆的半径、正多边形的边长的一 半、边心
距构成直角三角形，这是解决正多边形与圆的问题中常构造的辅助三角形，要能把正多边形、圆
中的已知条件与所求的元素通过这个直角三角形中联系起来.



和的长，连结OAPB、OB，12. 思路点拨：此题欲求阴影部分的周长，须求PA、根据切线长 定
理得PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠BPO=30°，在Rt△PAO中可 求



，因此可求出AOB=120°的长，从而能求出出PA的长，根据四边形内角和定理可得∠.
阴影部分的周长


解：连结OA、 OB
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°


APO=∠APB=30° ∠



，PAO 中，△ 在Rt

∴PB=PA=
∵∠APB=60°，∠PAO=∠PBO=90°


，∴ ∴∠ AOB=120°



=＋cm
=PB=PA ∴阴影部分的周长＋

阴影部分的周长为答： cm.

13.解：





对）由图知（1



对的





同理可证，其余各角都等于


图1中六边形各内角相等；





对 （2，）对

又





同理


七边形ABCDEFG 是正七边形；
（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，……），各内角相等的圆内接多边形< br>是正多边
形.

14.思路点拨：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，


，连结只有用“割补法

OP. ”


解：连结OP

∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP⊥OB
又OM=BM=1，OP=OA=2
00

∴∠1=60，∠2=30


PM=∴由勾股定理得



， 而
的面积为BMQ，则直角扇形Q于M交半圆PM设




∴



= =
总结升华：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的.
常见的错误是不能正确的分割图形，因而无法计算.面积，最后通过面积的加减得出结论