食堂盈亏计算公式容斥原理公式及运用完整版

2020年11月7日发(作者：卞周)





容斥原理公式及运用
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】



在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一
种新的计数方法。 这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中
的所有对象的数目先计算出来，然后再 把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算
的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

一、容斥原理1：两个集合的容斥原理

如果被计数的事物有A、B两类 ，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既
是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减 去。如下图所示。
【示例1】??一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并 且有
4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
数学得满分人数→ A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有
一门得满分人数→A∪B。A∪B =15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。

二、容斥原理2：三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B 、C三个集合的元素个数相加后发
现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2 次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复 计算
了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A ∩
B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B -B∩C-C∩A+A∩
B∩C。即得到：


【示例2】??某班有学生4 5人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25
人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有2 4人，足球、排球都参加的有12人，
足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三 项都参加的有多少
人？
参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参 加的→A∩B，足
球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩ C。
三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A- B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3
人。