一元二次方程解的公式容斥原理公式

2020年11月7日发(作者：陈自瑶)
容斥原理
1．关键提示： 容斥原理关键内容就是两个公式，考生只要把这两个公式灵活掌< br>握就可全面应对此类题型。另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于
解题。
2．2．核心公式： （1）两个集合的容斥关系公式： A＋B＝A∪B＋A∩B （2）
三个集合的容斥关系公式： A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
例题1：2004年中央A类真题 某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中
有26人及 格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4
人，那么两次考试都及格的人数是 ( )。 A．22 B．18 C．28 D．26 解析：设
A＝第一次考试中及格的人（26），B＝第二次考试中及格的人（24） 显然，A
＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28， 则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50
－28＝22 所以，答案为A。
例题2：2004年山东真题 某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，
62人会游 泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有（ ）
人 A.57 B.73 C.130 D.69 解析：设A＝会骑自行车的人（68），B＝会游泳的
人（62） 显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73， 则根据公式A∩B
＝A＋B－A∪B＝130－73＝57 所以，答案为A。
例题3：电 视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34
人看过8频道，11人两个频道 都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 解析：
设A＝看过2频道的人（62），B＝看过8频道的人（34） 显然，A＋B＝62
＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人（11） 则根据公式A∪B＝A＋B－A∩B
＝96－11＝85 所以，两个频道都没有看过的人数＝100－85＝15 所以，答案
为15。
例题4：2005年中央A类真题 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他
们喜欢看球 赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人
喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢 看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏
剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影 的有： A．22人 B．28
人 C．30人 D．36人 解析：设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧
的人（38），C＝喜欢看电影的人（52） A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏
剧的人（18） B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16） A∩B∩C＝三种都
喜欢看的人（12） A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100） 根据
公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C C∩A＝A＋B＋C－
（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C） ＝148－（100＋18＋16－12）＝26 所
以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C ＝52－16－26＋12 ＝22