chadsvasc评分公式三年级数学下册难点解析,附34个必考公式

2020年11月7日发(作者：姬氏)

三年级奥数


三年级的奥数学习是小学奥数最重要的基础阶段， 只有牢固掌握了三
年级奥数最基本的知识技巧，才能有效的促进今后的数学学习，最终
在竞赛、 以及小升初中有所斩获。


学习重点难点解析：


三年 级属于奥数学习打基础阶段，孩子进入三年级以后，随着年龄的
增长，孩子的计算能力，认知能力，逻辑 分析能力相比于一、二年级
有很大的提高，这个时期是奥数思维形成的关键时期，是学奥数的黄
金时段，所以能否把握住三年级这一黄金时段，关系到以后小升初的
成与败。


下面就简要介绍一下三年级下学期学习的关键知识点。


1.运用运算定律及性质速算与巧算


计算是数学学习的基本知识，也是学 好奥数的基础。能否又快又准的
算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。在三年级，主要学习了加法与乘法运算定律，其中应用乘法分配率是竞赛中考察巧算的一
大重点；除此之外，竞赛中还时 常考察带符号“搬家”与添括号去括
号这两种通过改变运算顺序进而简便运算的思路。例如：17×5+ 17×
7+13×5+13×7


问题解析：由于四个加项没有公共的乘数 ，不能直接应用乘法分配率。
可以考虑先分组应用乘法分配率，在观察的思路，原式=（17×5+17
×7）+（13×5+13×7）=17×（5+7）+13×（5+7）=17×12+13×
12=（17+13）×12=30×12


2、学习假设思想解决鸡兔同笼问题


鸡兔同笼问题源于我国1500年前 左右的伟大数学著作《孙子算经》，
其中记载的31题，“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足 ，
问鸡兔各几何？”翻译成现代文就是说有若干只鸡兔同在一个笼子里，
从上面数，有35个头 ；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和
兔？


问题解析：我们知道 每只鸡2只脚，每只兔子4只脚，我们不妨假设
笼子里面只有鸡，那么应该有只脚，而事实上有94只脚 ，原因就是我
们把一部分兔子假设成了鸡。


我们知道，每只兔子比鸡多2 只脚，那么一共应该有只兔子，剩下了
35–12=23只鸡。


对于一般的鸡兔同笼问题，我们有鸡数=（兔的脚数总头数–总脚数）
（兔的脚数- 鸡的脚数）


兔数=（总脚数-鸡的脚数总头数）（兔的脚数-鸡的脚数）


3.平均数应用题


“平均数”这个数学概念在同学们的日常学 习和生活中经常用到。例
如，三年级上学期期末考完试，可以计算全班同学的数学“平均成绩”，
同学与爸爸妈妈三个人的“平均年龄”等等，都是我们经常碰到的求
平均数的问题。


根据我们所举的例子，可以总结出求平均数的一般公式：总数和÷人数
（或个数）= 平均数。比如说人大附小三年级（一）班第2小组5名
同学上学期期末数学成绩分别是93，95，98 ，97，90，那么第2小
组5名同学的数学平均分是多少呢？


问题解析 ：根据我们总结的公式，首先可以求出第2小组5名同学数
学的总分一共是93+95+98+97+9 2=475，所以他们的平均分是475
÷5=95（分）。



4.和差倍应用题


和差倍问题是由和差问题、和倍问题、差倍问题三类问题组成的。


和倍问 题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的
应用题，一般可应用公式：数量和÷对应的 倍数和=“1”倍量；


差倍问题就是已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求大 小两个数
的应用题，一般可应用公式：数量差÷对应的倍数差=“1”倍量；

和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数的应用
题一般可应用公式：大数=（数 量和+数量差）÷2，小数=（数量和-
数量差）÷2。


为了帮助我们理 解题意，弄清题目中两种量彼此间的关系，常采用画
线段图的方法以线段的相对长度来表示两种量间的关 系，以便于找到
解题的途径。


5.年龄问题


基本的年龄问题可以说是和差倍问题生活化的典型应用。同时，年龄
问题也有其鲜明的特点：任何两个 人之间的年龄差保持不变。解决年
龄问题，关键就是要抓住以上两点。例如：哥哥两年后的年龄是弟弟< br>年龄的2倍，今年哥哥比弟弟大5岁，那么今年弟弟多少岁？


问题解析：由 于两人之间的年龄差不变，在2年之后哥哥仍然比弟弟
大5岁，那时哥哥是弟弟年龄的2倍，这就变成了 一道差倍问题，也
就是说弟弟的年龄在2年后是5÷（2-1）=5（岁），所以今年弟弟5-2=3< br>（岁）。


34个小学数学必考公式


1、和差倍问题：



已知条件

公式适用范围

和差问题

几个数的和与差

和倍问题

几个数的和与倍数

差倍问题

几个数的差与倍数

已知两个数的和，差，倍数关系

①(和－差)÷2=较小数

较小数＋差=较大数

和－较小数=较大数

②(和＋差)÷2=较大数

较大数－差=较小数

和－较大数=较小数

求出同一条件下的

和÷(倍数＋1)=小数

小数×倍数=大数

和－小数=大数

差÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数

小数＋差=大数

公式

关键问题

和与差

和与倍数

差与倍数




2、年龄问题的三个基本特征：


①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的；




3、归一问题的基本特点：


问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量 ”，题目一般用“照这样的速度”……
等词语来表示。


关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量；




4、植树问题：


在直线或者不封
在直线或者不封闭
闭的曲线上植
基本类型

的曲线上植树，两
树，两端都不植
端都植树

树

一端植树

树

的曲线上植树，只有线上植
在直线或者不封闭封闭曲
基本公式

棵数=段数＋1

棵距×段数=总长

棵数=段数－1

棵距×段数=总
长

棵数=段数

棵距×段数=总长

关键问题

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系




5、鸡兔同笼问题：


基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；


基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。


基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。




6、盈亏问题：


基本概念：

一定量的对象，按照某种 标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一
种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差 异，由它们的关系求对象分组的组数或
对象的总量。


基本思路：

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求
出参加分配 的总份数，然后根据题意求出对象的总量。


基本题型：

①一次有余数，另一次不足；

基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；

基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差


基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。


关键问题：

确定对象总量和总的组数。




7、牛吃草问题：


基本思路：

假设每头牛吃草的速度 为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；
再找出造成这种差异的原因，即可确定草的 生长速度和总草量。


基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的；


关键问题：

确定两个不变的量。


基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；




8、周期循环与数表规律：


周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。


周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。


关键问题：

确定循环周期。

闰 年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；

平 年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；




9、平均数：


基本公式：

①平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数


基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近
的数或者中间数为 基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所
有差的和；再求出这些差的平均数；最 后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求
的平均数，具体关系见基本公式②




10、抽屉原理：


抽屉原则一：

如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四
种情况：

①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

观察 上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个
或多于2个物体，也就是 说必有一个抽屉中至少放有2个物体。


抽屉原则二：

如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=nm个物体：当n能被m整除时。


理解知识点：

[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；


关键问题：

构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。




11、定义新运算：


基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。


基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算， 然后按照基
本运算过程、规律进行运算。


关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。


注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。




12、数列求和：


等差数列：

在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。


基本概念：

首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．


基本思路：

等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式 中涉及四个量，如果己知其中三个，
就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可 以求这第四个。


基本公式：

通项公式：an = a1+（n－1）d；

通项＝首项＋（项数一1)×公差；

数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；

数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；

项数=（末项-首项）÷公差＋1；

公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；

公差=（末项－首项）÷（项数－1）；


关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式；




13、二进制及其应用：


十进制：
用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2
表示20，百 位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

=An ×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5 +An-6×
10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100

注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）


二进制：

用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。

（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An -6×
2n-7

+……+A3×22+A2×21+A1×20

注意：An不是0就是1。


十进制化成二进制：

①根 据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得
的余数按自下而上依次写 出即可。

②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次< br>方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。




14、加法乘法原理和几何计数：


加法原理：
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中
有m2种不同方 法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1+ m2....... +mn种不同的方法。


关键问题：

确定工作的分类方法。


基本特征：

每一种方法都可完成任务。


乘法原理：

如果完成一件 任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用
哪一种方法，第2步总有m2种方法 ……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有
mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2... ....×mn种不同的方法。


关键问题：

确定工作的完成步骤。


基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。


直线：

一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。


直线特点：

没有端点，没有长度。


线段：

直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。


线段特点：

有两个端点，有长度。


射线：

把直线的一端无限延长。


射线特点：

只有一个端点；没有长度。

①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数




15、质数与合数：


质数：

一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。


合数：

一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。


质因数：

如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。


分解质因数：

把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法 分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。


分解质因数的标准表示形式：

N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1< span=


求约数个数的公式：

P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)


互质数：

如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。




16、约数与倍数：


约数和倍数：

若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。


公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个 数的最大
公约数。


最大公约数的性质：

1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数
乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；


求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数 相除，能够整除的那个余数，就是所求的最
大公约数。


公倍数：

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小
公倍数。< br>
12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；


最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法




17、数的整除：


基本概念和符号：
< br>1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，
那么叫做a 能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；


整除判断方法：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。


整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。




18、余数及其应用：


基本概念：

对任意 自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0的余数，q叫 做a除以b的不完全商。< span=


余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的 余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余
数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。




19、余数、同余与周期：


同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，
读作a同余于b模m。


同余的性质：

①自身性：a≡a(mod m)；

②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；

③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；


关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md


被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；


费尔马小定理：

如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。




20、分数与百分数的应用：


基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

分数的性质：分数 的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不
变。

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。


常用方法：

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方 法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比
例和转换成倍数关系；把不同的标 准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成
同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准 为一倍量。

④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设 某
种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。

⑤量不变思维 方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变
化，而这个量是始终固定不变的。 有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。
B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和 分量都发生变化，但分量之间
的差量不变化。

⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。




21、分数大小的比较：


基本方法：

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。

③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，
可以用同倍率的 变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。




22、分数拆分：


将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：






23、完全平方数：


完全平方数特征：

1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.约数个数为奇数；反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。


平方差公式：

X2-Y2=（X-Y）（X+Y）


完全平方和公式：

（X+Y）2=X2+2XY+Y2


完全平方差公式：

（X-Y）2=X2-2XY+Y2




24、比和比例：


比：

两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。


比值：

比的前项除以后项的商，叫做比值。


比的性质：

比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。


比例：

表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或


比例的性质：

两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。


正比例：

若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。


反比例：

若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。


比例尺：

图上距离与实际距离的比叫做比例尺。


按比例分配：

把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。




25、综合行程：


基本概念：

行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.


基本公式：

路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间


关键问题：

确定运动过程中的位置和方向。


相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速- 水速）×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水 速=（顺水速度- 逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

主要方法：画线段图法


基本题型：

已知路程（相遇路 程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、
速度差）中任意两个量，求第三个量。




26、工程问题：


基本公式：

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率


基本思路：

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
< br>②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），
利用上述三 个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.


关键问题：

确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。




27、逻辑推理：


条件分析—假设法：

假设可能情况 中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情
况，说明该假设情况是不成立的， 那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶
数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数 。


条件分析—列表法：

当题设条件比较多，需要多次假设才能 完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法
就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行 、列分别表示不同的对象
与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。


条件分析—图表法：

当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间 的关系，有连线则表
示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有< br>认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。


逻辑计算：

在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算， 根据计算的
结果为推理提供一个新的判断筛选条件。


简单归纳与推理：

根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特 殊情况推广到一般
情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。




28、几何面积：


基本思路：

在一些面积 的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、
旋转、翻折、分解、变形、重 叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外
需要掌握和记忆一些常规的面积规律。


常用方法：

1.连辅助线方法

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的 是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置
上）。

4.利用特殊规律
< br>①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直
角三角形的面 积）

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。




29、时钟问题—快慢表问题：


基本思路：

1、按照行程问题中的思维方法解题；

2、不同的表当成速度不同的运动物体；

3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；

4、时间是标准表所经过的时间；

5、合理利用行程问题中的比例关系；




30、时钟问题—钟面追及：


基本思路：

封闭曲线上的追及问题。


关键问题：

①确定分针与时针的初始位置；

②确定分针与时针的路程差；


基本方法：

①分格方法：

时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每 小时走60分
格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分
格。

②度数方法：

从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转 36060度，即6°，时针每分
钟转36012X60度，即12度。




31、浓度与配比：


经验总结：

在配比的 过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度
的变化成反比。

溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。

溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。

溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。


基本公式：

溶液重量=溶质重量+溶剂重量；

溶质重量=溶液重量×浓度；

浓度= 溶质溶液×100%=溶质（溶剂+溶质）×100%


经验总结：
在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度
的变化成反比。




32、经济问题：


利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；

卖价=成本×（1+利润的百分数）；

成本=卖价÷（1+利润的百分数）；

商品的定价按照期望的利润来确定；

定价=成本×（1+期望利润的百分数）；

本金：储蓄的金额；

利率：利息和本金的比；

利息=本金×利率×期数；

含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；




33、不定方程：


一次不定方程：

含有两个未知数的 一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二
元一次不定方程；


常规方法：

观察法、试验法、枚举法；


多元不定方程：

含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；


多元不定方程解法：

根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未 知数，这样就把三元一次方程变
成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；


涉及知识点：

列方程、数的整除、大小比较；


解不定方程的步骤：

1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；


技巧总结：

A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显 的未知数，同时考虑用
范围小的未知数表示范围大的未知数；

B、消元技巧：消掉范围大的未知数；




34、循环小数：


把循环小数的小数部分化成分数的规则：


①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各
位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。


②混循环小数小 数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的
数与不循环部分的数字所组成的数之 差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循
环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的 位数相同。


分数转化成循环小数的判断方法：


①一 个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那
么这个分数化成的小数必 定是混循环小数。


②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么 这个分数化成的小数
必定是纯循环小数。