三线交易公式完全平方公式(一)

2020年11月8日发(作者：杭锡命)


1.6完全平方公式(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.
●教学重点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
●教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
●教学方法
自主探索法
学生在教 师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其
结构特点，然后达到合理、 熟练地应用.
●教具准备
投影片四张
第一张：试验田的改造，记作(§1.6.1 A)
第二张：想一想，记作(§1.6.1 B)
第三张：例题，记作(§1.6.1 C)
第四张：补充练习，记作(§1.6.1 D)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］去年，一位老农在一次“科 技下乡”活动中得到启示，将一块边长为
a
米的正方
形农田改成试验田，种上了优质的 杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”
活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子， 于是他想把原来的试验田，边长增加
b
米，形
成四块试验田，种植不同的新品种.
同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？
(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)
［生］我能帮这位爷爷.
［师］你能把你的结果展示给大家吗？
［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.



图1－25
［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？
［生］改造后的试验田变成了边长为(
a
+
b
)的大正方形，因此，试验田 的总面积应为
2
(
a
+
b
).
［生］也可以把试 验田的总面积看成四部分的面积和即边长为
a
的正方形面积，边长为
b
的正方 形的面积和两块长和宽分别为
a
和
b
的面积的和.所以试验田的总面积也可表 示为
a
2
+2
ab
+
b
2
.
［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了
什么？ < br>［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.
222即(
a
+
b
)=
a
+2
ab
+
b

［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式
222
［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公 式(
a
+
b
)=
a
+2
ab
+
b
.其实，据有
关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了 这个公式.
我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推< br>导出这样的公式呢？
(出示投影片§1.6.1 A)
想一想：
2
(1)(
a
+
b
)等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？
2
(2)(
a
－
b
)等于什么？你是怎样想的.
(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)
［生］用多项式乘法法则可得
2
(
a
+
b
)=(
a
+
b
)(
a
+
b
)=
a
(
a
+
b
)+
b
(
a
+
b)
22
=
a
+
ab
+
ab
+
b

22
=
a
+2
ab
+
b

222
所以(
a
+
b
)=a
+2
ab
+
b
(1)
［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？
222
［生］几何解释完全平方公 式给我们以非常直观的认识，但几何解释(
a
+
b
)=
a
+ 2
ab
+
b
,
受到了条件限制:
a
>0且
b
>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，
a
,b
可以是正数，可以是负数，
零，也可以是单项式,多项式.
［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.
22222
［生］ 也可利用多项式乘法法则，则(
a
－
b
)=(
a
－
b
)(
a
－
b
)=
a
－
ab
－< br>ba
+
b
=
a
－2
ab
+
b
.
222
［生］我是这样想的，因(
a
+
b
)=
a
+2
ab
+
b
中的
a
、
b
可 以是任意数或单项式、多项式.


22
我们用“－
b
” 代替公式中的“
b
”,利用上面的公式就可以得到(
a
－
b
)=［
a
+(－
b
)］.
［师］这位同学的想法很好.因为他很留 心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着
这个思路做下去吗？我们一块试一下.
［师生共析］
2222
(
a
－
b
)=［
a
+(－
b
)］=
a
+2·
a
·(－
b< br>)+(－
b
)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
222
(
a
+
b
)=
a
+2·
a
·
b
+
b

22
=
a
－2
ab
+
b
.
于是，我们得到又一个公式：
222
(
a
－
b
) =
a
－2
ab
+
b
(2)
［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？
［生］公式(1)用语言描述为：两个数 的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2
倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等 于这两个数的平方和与它们积的2倍
的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整 式的运算简便.
2.应用、升华
出示投影片(§1.6.1 B)
［例1］利用完全平方公式计算：
22
(1)(2
x
－3);(2 )(4
x
+5
y
);
2
(3)(
mn
－
a
).
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步
化简.
解：(1)方法一：

［例2］利用完全平方公式计算
22
(1 )(－
x
+2
y
);(2)(－
x
－
y
) ;

222

(3)(
x
+
y
－z
);(4)(
x
+
y
)－(
x
－
y
);
22
(5)(2
x
－3
y
)(2
x
+3
y
).
22
分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可 转化为(2
y
－
x
)或(
x
－2
y
),再 运用平方
2
差公式；(2)题需转化为(
x
+
y
),利用和 的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(
x
+
y
)
22 2
－
z
］(或［
x
+(
y
－
z
) ］、［(
x
－
z
)+
y
］),再用完全平方公式计算；(4 )题可利用完全平方公
式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性 质变形，再用
平方差公式和完全平方公式.
22
解：(1)方法一：(－
x
+2
y
)=(2
y
－
x
)
22
=4
y
－4
xy
+
x
；
2 2222
方法二：(－
x
+2
y
)=［－(
x
－2
y
)］=(
x
－2
y
)=
x
－4
xy
+4
y
.
22222
(2)(－
x
－
y
)=［－(
x
+
y
)］=(
x
+
y< br>)=
x
+2
xy
+
y
.
2222
(3)(
x
+
y
－
z
)=［(
x
+
y
)－
z
］=(
x
+
y
)－2(
x+
y
)·
z
+
z

222
=
x
+
y
+
z
+2
xy
－2
zx
－ 2
yz
.
22
(4)方法一：(
x
+
y
)－(
x
－
y
)
2222
=(
x
+2< br>xy
+
y
)－(
x
－2
xy
+
y< br>)
=4
xy
.
22
方法二：(
x
+y
)－(
x
－
y
)
=［(
x
+y
)+(
x
－
y
)］［(
x
+
y)－(
x
－
y
)］=4
xy
.
22
(5)(2
x
－3
y
)(2
x
+3
y
)
2
=［(2
x
－3
y
)(2
x
+3
y
)］
222
=［4
x
－9
y
］
4224
=16
x
－72
xy
+81
y
.
Ⅲ.随堂练习
课本P
34
，1.计算：
(1)(
x－2
y
);(2)(2
xy
+
x
);
(3)(
n
+1)－
n
.
解：(1)(
x
－2
y
)=(
x
)－2·
x
·2
y
+( 2
y
)=
x
－2
xy
+4
y

( 2)(2
xy
+
x
)=(2
xy
)+2·2
xy< br>·
x
+(
x
)=4
xy
+
xy
+< br>2222
22
1
2
2
1
5
2
12
2
1
2
2
1
2
2
1
422
1
5
22
1
5
1
5
222
4
5
2
1
25
x
2

(3)方法一：(
n
+1)－
n
=
n
+2
n
+1－
n
=2
n
+1.
22
方法二：(
n
+1)－n
=［(
n
+1)+
n
］［(
n
+1)－n
］=2
n
+1.
Ⅳ.课后作业
1.课本习题第1、2、3题.
2.阅读“读一读”，并回答文章中提出的问题.
Ⅴ.活动与探究
甲、乙两人合养了
n
头牛，而每头牛的卖价恰为
n
元.全部卖完后两人分钱方法如下：
先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩 下不足十元，轮到乙拿去，为了平
均分配，甲应该补给乙多少元钱？
2
［过程］因牛
n
头，每头卖
n
元，故共卖得
n
元.
令
a
表示
n
的十位以前的数字，
b
表示
n
的个位数字 .即
n
=10
a
+
b
,于是
n
2
=(10
a
+
b
)
2
=100
a
2
+
22
20
ab
+
b
=10×2
a
( 5
a
+
b
)+
b
.
2
因甲先取10元， 而乙最后一次取钱时不足10元，所以
n
中含有奇数个10元，以及最


后剩下不足10元.
22
但10×2
a
(5
a
+
b
)中含有偶数个10元，因此
b
中必含有奇数个10元，且
b<10，所以
b
只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数 中，只有16和36含有奇数个10，
2
因此
b
只可能是16或36，但这两 个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即
剩下不足10元).
［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.
●板书设计
1.8 完全平方公式(一)
一、几何背景
试验田的总面积有两种表示形式：
22
①
a
+2
ab
+
b

2
②(
a
+
b
)
222
对比得：(a
+
b
)=
a
+2
ab
+
b

二、代数推导
2
(
a
+
b
)=(
a+
b
)(
a
+
b
)
22
=
a
+2
ab
+
b

22< br>(
a
－
b
)=［
a
+(－
b
)］
22
=
a
－2
ab
+
b

三、例题讲例
例1.利用完全平方公式计算：
2
(1)(2
x
－3)
2
(2)(4
x
+5
y
)
2
(3)(
mn
－
a
)
四、随堂练习(略)
●备课资料
一、杨辉
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪 中叶活动于苏杭一带，其著
作甚多.

他著名的数学书共五种二十一卷.著有《详解 九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》
二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(127 4年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续
古摘奇算法》二卷(1275年).
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和
发展，有的还编 成了歌诀，如九归口诀。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横
图”及有关的构造方法，同时 “垛积术”是杨辉继沈括“隙积术”后，关于高阶等差级数的
研究.杨辉在“纂类”中，将《九章算术》 246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分
为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、 方程、勾股等九类.
他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习


算纲目”是中国数学教育史上的重要文献.
二、参考练习
1.填空题
(1)(－3
x
+4
y
)
2
= .
(2)(－2
a
－
b
)
2
= .
(3)
x
2
－4
xy
+ =(
x
－2
y
)
2
.
(4)
a
2
+
b
2
=(
a
+
b
)
2
+ .
(5)
1
a
2
+ +9
b
2
=(
1
a
+3
b
)
2
42
.
(6)(
a
－2
b
)
2
+(
a
+2
b
)
2
= .
2.选择题
(1)下列计算正确的是( )
A.(
m
－1)
2
=
m
2
－1
B.(
x
+1)(
x
+1)=
x
2
+
x< br>+1
C.(
1
x
－
y
)
2
=1
x
2
－
xy
－
y
2
24

D.(
x
+
y
)(
x
－
y
)(< br>x
2
－
y
2
)=
x
4
－
y
4

(2)如果
x
2
+
mx
+4是一个完 全平方式，那么
m
的值是( )
A.4 B.－4 C.±4
(3)将正方形的边长由
a
cm增加6 cm,则正方形的面积增加了( )
A.36 cm
2
B.12
a
cm
2

C.(36+12
a
)cm
2
D.以上都不对
3.用乘法公式计算
(1)(
1
x
－
1
y
)
2
2
3

(2)(
x
2－2
y
2
)
2
－(
x
2
+2
y
2
)
2

(3)29×31×(30
2
+1)
(4)999
2

答案：1.(1)9
x
2
－24
xy
+16
y
2

(2)4
a
2
+4
ab
+
b
2
(3)4
y
2
(4)－2
ab

(5)3
ab
(6)2
a
2
+8
b
2

2.(1)D (2)
C
(3)
C

3.(1)
1
x
2
－
1
xy
+
1
y
2
(2)－8
x
2
y
2
4
39

(3)809999 (4)998001







D.±8